于秀坤

對(duì)于較簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件，可直接根據(jù)概率的意義求其概率;對(duì)于較復(fù)雜的隨機(jī)事件，當(dāng)涉及因素較多時(shí)，可利用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法求其概率.具體選擇哪種方法，應(yīng)根據(jù)事件的操作步驟作出判斷，下面舉例介紹.

一、結(jié)果數(shù)較多的兩步事件用列表法

當(dāng)一次試驗(yàn)涉及兩個(gè)因素時(shí)，選擇列表和畫(huà)樹(shù)狀圖均可，但當(dāng)可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為了不重不漏地一一列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法.

例1 為阻斷疫情向校園蔓延，確保師生生命安全和身體健康，教育部2020年1月29日下發(fā)通知，要求2020年春季學(xué)期延期開(kāi)學(xué)，“停課不停學(xué)”，統(tǒng)籌利用網(wǎng)絡(luò)電視資源進(jìn)行教學(xué). 某校為了讓學(xué)生能夠達(dá)到最佳的學(xué)習(xí)效果，確定老師們可以選用以下三種直播授課方式：A. 智慧云直播，B. 釘釘直播，C.騰訊會(huì)議直播.

（1）張明老師從三種網(wǎng)絡(luò)授課方式中隨機(jī)選取一種，是智慧云直播的概率為 ;

（2）張明和李剛兩位老師從中隨機(jī)各選取一種網(wǎng)絡(luò)直播方式進(jìn)行授課，請(qǐng)你求出張明和李剛兩位老師選取不同的網(wǎng)絡(luò)直播授課方式的概率.

分析：（1）直接利用概率公式計(jì)算可得;（2）列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式求解.

解：（1）張明老師從三種網(wǎng)絡(luò)授課方式中隨機(jī)選取一種，是智慧云直播的概率為[13].

（2）根據(jù)題意，列表格如下：

[ A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） ]

共有9種等可能的結(jié)果，其中兩位老師選取不同的網(wǎng)絡(luò)直播授課方式的結(jié)果有6種，所以P（兩位老師選取不同的網(wǎng)絡(luò)直播授課方式） = [69] = [23].

點(diǎn)評(píng)：一般地，對(duì)于結(jié)果數(shù)較多的兩步隨機(jī)事件發(fā)生的概率問(wèn)題，選用列表法較方便，列表時(shí)應(yīng)注意不重不漏.

二、兩步以上事件選畫(huà)樹(shù)狀圖法

在某個(gè)隨機(jī)事件中，如果涉及兩步以上的事件發(fā)生的概率計(jì)算，為了直觀得到所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，一般采用畫(huà)樹(shù)狀圖的方法列舉所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，再利用公式計(jì)算概率.

例2 小明、小亮和小強(qiáng)三人準(zhǔn)備下象棋，他們約定用“拋硬幣”的游戲方式來(lái)確定哪個(gè)人先下棋，規(guī)則如下： 三人手中各持有一枚質(zhì)地均勻的硬幣，他們同時(shí)將手中硬幣拋落到水平地面為一個(gè)回合，落地后，三枚硬幣中，恰有兩枚正面向上或者反面向上的兩人先下棋;若三枚硬幣均為正面向上或反面向上，則不能確定其中兩人先下棋，需要重新拋一次硬幣.

請(qǐng)你求出一個(gè)回合能確定兩人先下棋的概率.

分析：本題涉及三步完成的隨機(jī)事件，可采用畫(huà)樹(shù)狀圖的方法列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果和恰有兩枚正面向上或者反面向上的結(jié)果，再根據(jù)概率公式計(jì)算兩人先下棋的概率.

解：根據(jù)題意畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

觀察可知，一共有8種等可能的結(jié)果，一個(gè)回合能確定兩人先下棋的情況有6種，則一個(gè)回合能確定兩人先下棋的概率是[68] = [34].

點(diǎn)評(píng)：畫(huà)樹(shù)狀圖法通常應(yīng)用于兩步以上隨機(jī)事件發(fā)生的概率的求解.

綜上，列表法與畫(huà)樹(shù)狀圖法都是列舉事件可能出現(xiàn)的結(jié)果的有效方法.一般地，對(duì)于兩步隨機(jī)事件發(fā)生的概率問(wèn)題，選用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法均可;而對(duì)于涉及兩步以上的隨機(jī)事件，通常選用畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率.

1. （2020·新疆）四張看上去無(wú)差別的卡片上分別印有正方形、正五邊形、正六邊形和圓，現(xiàn)將印有圖形的面朝下，混合均勻后從中隨機(jī)抽取兩張，則抽到的卡片上印有的圖形都是中心對(duì)稱圖形的概率為（ ）.

A. [14]? ? B. [13]? C. [12]? D. [34]

2. 小亮和小偉一起參加象棋比賽，他們所在的小組共有5名選手. 抽簽袋里有2紅、2黑、1白共5個(gè)小球，摸到同色的成為首輪對(duì)手，摸到白球的首輪輪空. 現(xiàn)在小組其他3名選手首先依次各摸走一個(gè)小球，小亮看到第1個(gè)選手摸走的是紅球，他對(duì)小偉說(shuō)根據(jù)這3名選手的摸球結(jié)果我已經(jīng)知道咱倆恰好首輪對(duì)陣的概率了. 請(qǐng)求出這個(gè)概率是多少.

答案： 1.C 2. [16]