左效平

圓心角與圓周角關系定理是圓中一個重要的應用性定理，下面舉例介紹其應用.

一、構造直徑上的圓周角

例1 （2019·山東·聊城）如圖1，BC是半圓O的直徑，D，E是[BC]上兩點，連接BD，CE并延長交于點A，連接OD，OE. 如果∠A=70°，那么∠DOE的度數(shù)為（ ）.

A. 35° B. 38° C. 40° D. 42°

解析：如圖1，連接CD，∵BC是半圓O的直徑，∴∠BDC = 90°，

∴∠ADC = 90°，∴∠ACD=90° - ∠A = 20°，

∴∠DOE = 2∠ACD = 40°，故選C.

點評：構造直徑上的圓周角得到直角三角形是解題的關鍵.

二、利用垂徑定理等量代換

例2（2019·內蒙古·赤峰）如圖2，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于點C，點D是⊙O上一點，∠ADC=30°，則∠BOC的度數(shù)為（ ）.

A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°

解析：如圖2，∵∠ADC = 30°，∴∠AOC = 2∠ADC = 60°.

∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于點C，∴[AC] =[ BC].

∴∠BOC = ∠AOC = 60°. 故選D.

點評：熟練掌握垂徑定理實現(xiàn)等量代換是解題的關鍵.

例3（2019·山東·威海）如圖3，⊙P與x軸交于點A（-5，0），B（1，0），與y軸的正半軸交于點C. 若∠ACB = 60°，則點C的縱坐標為（ ）.

A. [13] + [3] B. 2[2] + [3] C. 4[2] D. 2[2] + 2

解析：如圖3，連接PA，PB，PC，過P作PD⊥AB于D，PE⊥OC于E，

∵∠ACB = 60°，∴∠APB = 120°，∵PA = PB，∴∠PAB = ∠PBA = 30°，

∵A（-5，0），B（1，0），∴AB = 6，∴AD = BD = 3，

∴PD = [3]，PA = PB = PC = 2[3]，∵PD⊥AB，PE⊥OC，∠AOC = 90°，

∴四邊形PEOD是矩形，∴OE = PD =[ 3]，PE = OD = 2，

∴CE = [PC2-PE2] = [12-4] = 2[2]，∴OC = CE + OE = 2[2] + [3]，

∴點C的縱坐標為2[2 ]+ [3]，故選B.

點評：正確作出輔助線將角進行等量代換是解題的關鍵.