◇ 安徽 石 敏

1 問題提出

“數(shù)學(xué)運(yùn)算”是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一,是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括理解數(shù)學(xué)運(yùn)算對象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果等.數(shù)學(xué)運(yùn)算是一種思維過程,是學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)逐步形成的關(guān)鍵能力和必備品格,能從側(cè)面反映學(xué)生的思維品質(zhì).這種品質(zhì)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)和提出問題、用數(shù)學(xué)的方法分析和解決問題.注意到,運(yùn)算對象是體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的載體,其來自于具體問題的抽象,對它進(jìn)行深入理解可以拓寬其應(yīng)用領(lǐng)域,體現(xiàn)出數(shù)學(xué)廣泛的應(yīng)用性.運(yùn)算對象背景、概念形成過程、應(yīng)用形式的正確理解,是提升運(yùn)算能力、發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的基礎(chǔ).

錯(cuò)誤地理解運(yùn)算對象或不明確運(yùn)算方法,都會(huì)對數(shù)學(xué)運(yùn)算有影響.表現(xiàn)為運(yùn)算法則的偏離、運(yùn)算思路的卡頓、運(yùn)算方法的覆是為非、運(yùn)算程序的雜亂無章、運(yùn)算結(jié)果的謬誤百出等.本文以數(shù)列問題求解中的運(yùn)算對象的理解性障礙為例,談其對數(shù)學(xué)運(yùn)算的影響.旨在強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算過程中,對運(yùn)算對象理解的意識(shí),繩愆糾違.

2 數(shù)列問題中，運(yùn)算對象理解性障礙舉隅

1)忽視數(shù)列中變量n 的適用范圍,盲目使用運(yùn)算法則

數(shù)學(xué)運(yùn)算是一種邏輯推理,應(yīng)在嚴(yán)密的運(yùn)算法則下進(jìn)行.每種運(yùn)算的運(yùn)算法則都有其適用范圍,有其實(shí)際的意義和作用,蘊(yùn)含著問題解決的基本思想.運(yùn)算對象應(yīng)在其適用的法則下進(jìn)行運(yùn)算才能獲得正確的結(jié)果,對運(yùn)算對象適用范圍理解的障礙,會(huì)導(dǎo)致在法則的選擇上張冠李戴.

A.(－∞,3) B.(－∞,3]

C.(－∞,2) D.(－∞,2]

錯(cuò)解注意到二次函數(shù)f(x)＝x2－λx,開口向上,對稱軸為x＝,而n∈N*,所以{an}為遞增數(shù)列等價(jià)于函數(shù)f(x)在[1,＋∞)單調(diào)遞增,即≤1,所以λ≤2,故選D.

分析數(shù)列是特殊的函數(shù),它與一般函數(shù)又不同,它是定義在正整數(shù)集(或其子集)上的函數(shù),如果用函數(shù)的方法運(yùn)算數(shù)列問題,需對這一特殊運(yùn)算對象重新定位.沒有理解清楚運(yùn)算對象需在正整數(shù)集的范疇下進(jìn)行,把實(shí)數(shù)集上的運(yùn)算法則直接移植過來,是導(dǎo)致上述求解錯(cuò)誤的原因.

正解1對錯(cuò)解的修訂.

錯(cuò)解中λ≤2是{an}為遞增數(shù)列的充分非必要條件, 除 此 之 外, 注 意 到, 當(dāng)即得2＜λ＜3 也符合條件,綜上,λ∈(－∞,3).故選A.

正解2正確理解運(yùn)算對象,選擇恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)算法則.

注意到,an＋1－an＝(n＋1)2－λ(n＋1)－n2＋λn＝2n＋1－λ.因?yàn)閧an}為遞增數(shù)列,所以an＋1－an＞0,即2n＋1－λ＞0恒成立,所以λ＜2n＋1,只需λ＜(2n＋1)min,即λ＜2×1＋1＝3,所以λ＜3.故選A.

數(shù)列作為運(yùn)算對象,其單調(diào)性的判斷若采用函數(shù)的方法處理,需兼顧運(yùn)算對象的特殊性,即自變量是正整數(shù)這一特點(diǎn).數(shù)列的特殊性也決定了其單調(diào)性的判斷有數(shù)列自身的方法,數(shù)列{an}為遞增數(shù)列等價(jià)于an＋1－an＞0,數(shù)列{an}為遞減數(shù)列等價(jià)于an＋1－an＜0.

例2已知數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和為Sn,a1＝1,Sn＋1＝2Sn(n∈N*),則a10＝____.

錯(cuò)解由Sn＋1＝2Sn,得Sn＝2Sn－1,兩式相減得an＋1＝2an,所以數(shù)列{an}是以2為公比的等比數(shù)列,所以a10＝a1×210－1＝512.

分析運(yùn)算的對象是數(shù)列的前n 項(xiàng)和Sn、數(shù)列的遞推公式以及它們之間的關(guān)系,Sn和an的關(guān)系滿足(n∈N*),an＝Sn－Sn－1在n≥2的條件下才適用,得到的結(jié)論an＋1＝2an只能說明該數(shù)列從第2 項(xiàng)開始成等比數(shù)列.沒有注意an＝Sn－Sn－1的適用范圍,是導(dǎo)致上述求解錯(cuò)誤的原因.

2)不理解數(shù)列中的相關(guān)符號,導(dǎo)致運(yùn)算程序混亂

具體問題中,為了達(dá)到概括性、準(zhǔn)確性、一般性的要求,描述運(yùn)算對象的語言必然是抽象的、難以理解的.讀懂抽象的數(shù)學(xué)語言,揭示運(yùn)算對象的內(nèi)涵,數(shù)學(xué)運(yùn)算才能有序展開.反之,則會(huì)在運(yùn)算程序上出現(xiàn)缺失、顛倒、重復(fù)、混亂等不同現(xiàn)象.

(1)判斷數(shù)列{a2n}是否為等比數(shù)列,并說明理由,若是,寫出其通項(xiàng)公式；

以第(1)問為例,說明問題.

錯(cuò)解1數(shù)列{a2n}不是等比數(shù)列.由an＋2＝(1＋,得a3＝7,可見,所以數(shù)列{a2n}不是等比數(shù)列.

分析沒有理解{a2n}的內(nèi)涵,導(dǎo)致運(yùn)算程序錯(cuò)誤.

錯(cuò)解2數(shù)列{a2n}成等比數(shù)列.由條件知3,所以{a2n}為等比數(shù)列,且其通項(xiàng)公式為

分析錯(cuò)在用特殊代替一般.運(yùn)算程序的構(gòu)建從特殊開始,運(yùn)算方法的探尋從直覺開始,這都是對的,但在此基礎(chǔ)上構(gòu)建理性的運(yùn)算程序才是最終的目標(biāo),用特殊和直覺代替邏輯推理,是解法致誤的根本原因.

錯(cuò)解3數(shù)列{a2n}是等比數(shù)列.由

分析數(shù)列{a2n}是等比數(shù)列的證明完全正確.問題在通項(xiàng)公式的求解中,a2n是數(shù)列{a2n}的第n 項(xiàng)而非2n 項(xiàng),所以其通項(xiàng)公式為a2n＝a2×3n－1＝3n.

把數(shù)學(xué)運(yùn)算抽象為符號運(yùn)算,是數(shù)學(xué)表達(dá)最具創(chuàng)新性、最具革命性的一步,是近代數(shù)學(xué)得以發(fā)展的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)表達(dá)中用字母符號代替數(shù)字符號,才能得到更加一般、具有普適性的結(jié)論.作為學(xué)習(xí)者而言,只有完全理解用字母所描述的運(yùn)算對象的內(nèi)涵,才能使數(shù)學(xué)運(yùn)算的程序符合邏輯地有序展開.理解并應(yīng)用好抽象的符號所描述的運(yùn)算對象,問題才能正確求解.鑒于此,具體問題中,正確理解符號所描述運(yùn)算對象的內(nèi)涵,才能設(shè)計(jì)并執(zhí)行恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)算程序,合理地解決問題.

3)實(shí)際問題中抽象不出具體數(shù)列,致使思維卡頓

在很多情況下,數(shù)學(xué)運(yùn)算是在一定的情境中進(jìn)行的,結(jié)合具體情境,抽象出運(yùn)算對象是解決問題的首要任務(wù).明確運(yùn)算對象,用字母符號代替運(yùn)算對象,才能得到更一般的結(jié)論.在此基礎(chǔ)之上,才能談及運(yùn)算方法的選擇、運(yùn)算程序的設(shè)計(jì)、運(yùn)算結(jié)果的檢驗(yàn).否則數(shù)學(xué)運(yùn)算就會(huì)成為無本之木,問題的解決亦會(huì)無的放矢.抽象不出運(yùn)算對象的直接結(jié)果就是問題解決中思維的卡頓,甚至束手無策.

A.440 B.330 C.220 D.110

“算得對、算得準(zhǔn)”并不是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的全部,尤其是在計(jì)算機(jī)和信息技術(shù)高度發(fā)展的時(shí)代.發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)是一個(gè)系統(tǒng)的過程,至少應(yīng)從以下幾個(gè)方面展開：理解運(yùn)算對象,掌握運(yùn)算法則,學(xué)會(huì)運(yùn)算的應(yīng)用,概括通性通法,感悟運(yùn)算的思想方法.其中,正確理解運(yùn)算對象是前提和基礎(chǔ),是發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的載體.