周 圍 張 維 唐 俊 王 強(qiáng)

1(重慶郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院 重慶 400065)2(重慶郵電大學(xué)移動(dòng)通信技術(shù)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 重慶 400065)

0 引 言

MIMO技術(shù)主要是指收發(fā)兩端都配備多根天線(xiàn)，現(xiàn)在已成功應(yīng)用于IEEE 802.11n 、802.16e等標(biāo)準(zhǔn)的制定[1]以及第三代移動(dòng)通信合作計(jì)劃(3GPP)[2]等無(wú)線(xiàn)通信方面。然而，傳統(tǒng)的MIMO系統(tǒng)為了控制計(jì)算復(fù)雜度限制了天線(xiàn)數(shù)目，大量的數(shù)據(jù)需求不能被滿(mǎn)足，因此大規(guī)模MIMO技術(shù)被提出[3]。大規(guī)模MIMO是指在基站側(cè)部署幾十或幾百根天線(xiàn)，同時(shí)服務(wù)少量的用戶(hù)數(shù)[4]，可以提高無(wú)線(xiàn)通信系統(tǒng)的頻譜利用率，使得數(shù)據(jù)傳輸更加穩(wěn)定和可靠[5]，目前已成為5G的熱門(mén)研究方向之一[6]。

隨著調(diào)制階數(shù)和天線(xiàn)數(shù)目的增加，大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中最優(yōu)的最大似然(Maximum Likelihood,ML)檢測(cè)算法復(fù)雜度呈指數(shù)級(jí)上升，很難應(yīng)用在實(shí)際中。由于大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中基站天線(xiàn)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于用戶(hù)端天線(xiàn)數(shù)，通信信道之間漸進(jìn)正交，可以極大地降低噪聲和干擾的影響，因此可以在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中應(yīng)用傳統(tǒng)的線(xiàn)性檢測(cè)算法，在降低算法復(fù)雜度的同時(shí)保證算法性能能夠達(dá)到線(xiàn)性近似最優(yōu)，如迫零(Zero Forcing,ZF)檢測(cè)算法、MMSE檢測(cè)算法等。但是這類(lèi)算法隨著收發(fā)天線(xiàn)數(shù)量增加，需要對(duì)高維度的矩陣求逆，復(fù)雜度超過(guò)了實(shí)際應(yīng)用中可接受的范圍。

為了解決復(fù)雜度較高的問(wèn)題，近年來(lái)一些學(xué)者提出了MMSE算法的近似求解算法，總體分為3種類(lèi)型。第一類(lèi)為級(jí)數(shù)展開(kāi)類(lèi)，如Neumann級(jí)數(shù)展開(kāi)[7]。第二類(lèi)為迭代類(lèi)近似求解法，如高斯(Gauss-Seidel,GS)算法[8]、連續(xù)超松弛(Successive Over-Relaxation, SOR)算法[9]等。第三類(lèi)為基于矩陣梯度搜索的算法，如共軛梯度(Conjugate Gradient, CG)法[10]、最速下降(Steepest Descent, SD)法[11]等。

本文以數(shù)值分析中WSSOR迭代[12]的思想為基礎(chǔ)，提出一種高性能低復(fù)雜度的檢測(cè)算法，將WSSOR迭代算法改進(jìn)為矩陣的形式應(yīng)用在信號(hào)檢測(cè)中，避免復(fù)雜的矩陣求逆運(yùn)算，極大地降低了計(jì)算復(fù)雜度，以少量的迭代次數(shù)達(dá)到近似最佳性能。并且提出一種簡(jiǎn)單的量化方法來(lái)選擇最優(yōu)的松弛參數(shù)和加權(quán)因子，以此來(lái)提高算法的穩(wěn)定性和加快收斂速度；另外，將信道譯碼中的比特對(duì)數(shù)似然比算法應(yīng)用在改進(jìn)后的WSSOR檢測(cè)算法中，通過(guò)求解出的軟輸出信息進(jìn)一步提高檢測(cè)的性能。

1 系統(tǒng)模型

大規(guī)模MIMO系統(tǒng)模型如圖1所示，該系統(tǒng)由N根天線(xiàn)的基站和K個(gè)單天線(xiàn)終端用戶(hù)構(gòu)成(N≥K)。

圖1 大規(guī)模MIMO系統(tǒng)

令s=[s1,s2,…,sK]T表示K×1維發(fā)射符號(hào)向量，其中sK∈Q表示第K個(gè)用戶(hù)的發(fā)送符號(hào)，Q表示調(diào)制符號(hào)集。令H=[h1,h2,…,hK]表示N×K維的信道增益矩陣，n是均值為0、方差為σ2的加性高斯白噪聲向量，y=[y1,y2,…,yN]T是基站端接收到的N×1維信號(hào)矢量，則系統(tǒng)模型可表示為：

y=Hs+n

(1)

1.1 MMSE檢測(cè)算法

信號(hào)檢測(cè)是接收端接收到的信號(hào)向量y在具有干擾和衰落的信道條件下，準(zhǔn)確地估計(jì)出發(fā)射向量x，以此來(lái)提高通信質(zhì)量。 MMSE檢測(cè)算法估計(jì)的發(fā)射向量可以表示為：

(2)

W-1=(HH+H+σ2Ik)-1

(3)

1.2 精確的對(duì)數(shù)似然比計(jì)算

信道譯碼就是將接收到的信息進(jìn)行判決，通過(guò)判決準(zhǔn)則使得譯碼后錯(cuò)誤概率達(dá)到最小。通過(guò)信道譯碼中的對(duì)數(shù)似然比(Log-Likehood Ratio,LLR)算法對(duì)估計(jì)的發(fā)射符號(hào)進(jìn)行軟判決，使估計(jì)值更加準(zhǔn)確，從而提高檢測(cè)性能。為了計(jì)算軟輸出信息的LLR值，由式(2)可以得到估計(jì)的發(fā)射符號(hào)：

(4)

(5)

(6)

2 算法設(shè)計(jì)

2.1 WSSOR迭代算法

文獻(xiàn)[12]將前向的SOR迭代和逆序結(jié)合后的對(duì)稱(chēng)連續(xù)超松弛(Symmetric Successive Over-Relaxation,SSOR)迭代進(jìn)行加權(quán)結(jié)合，以此來(lái)求解線(xiàn)性方程組，也就是WSSOR算法的原理。用以下步驟來(lái)表示W(wǎng)SSOR算法求解線(xiàn)性方程組Ax=b的過(guò)程。

(1) 前半部分表示為：

(7)

(2) 后半部分表示為：

(8)

(9)

式中：θ為加權(quán)因子。文獻(xiàn)[12]給出了松弛參數(shù)ω和加權(quán)因子θ的最合適范圍并證明了此算法收斂速度快且精度高。

2.2 改進(jìn)的WSSOR檢測(cè)算法

基于WSSOR的檢測(cè)算法是將整個(gè)WSSOR迭代過(guò)程改進(jìn)為矩陣的形式應(yīng)用在信號(hào)檢測(cè)中，具體步驟如下：

算法1基于WSSOR迭代的信號(hào)檢測(cè)算法步驟

輸入：H,y,i(迭代次數(shù))。

初始化：

1.分解Hermitian正定矩陣為對(duì)角矩陣、下三角矩陣和上三角矩陣：W=D+L+LH

4.后半部分迭代:

可以看出，當(dāng)θ=0時(shí)，WSSOR迭代就化簡(jiǎn)為SSOR算法；當(dāng)θ=1時(shí)，WSSOR迭代算法化簡(jiǎn)為SOR迭代算法。由于W是Hermitian正定矩陣，當(dāng)0<ω<2時(shí)，不管初始值取多少，基于WSSOR迭代的信號(hào)檢測(cè)算法都是收斂的。

WSSOR迭代相對(duì)于SOR算法有如下優(yōu)點(diǎn)：① SOR迭代算法將新值和舊值之間取加權(quán)平均，增加算法的精度，SSOR迭代算法通過(guò)對(duì)稱(chēng)操作利用Chebyshev加速技巧[13]使得算法收斂得更快，而WSSOR將兩種算法進(jìn)行加權(quán)結(jié)合，既保證了算法的精度，也提高了算法的收斂速度。② WSSOR算法的松弛參數(shù)ω和加權(quán)因子θ的值對(duì)收斂速度的影響并不明顯，可以通過(guò)簡(jiǎn)單的量化來(lái)獲取這兩個(gè)參數(shù)。

2.3 量化松弛參數(shù)、加權(quán)因子

求解最優(yōu)松弛參數(shù)的公式[14]為：

(10)

式中：ρ(·)表示矩陣譜半徑；B=D-1W-IK。

在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，對(duì)角線(xiàn)矩陣D中所有元素將會(huì)收斂到一個(gè)固定的N值[15]，有：

(11)

則矩陣B的譜半徑可以化簡(jiǎn)為：

(12)

當(dāng)N和K的值足夠大且K/N接近定值時(shí)，矩陣W的最小和最大譜半徑可以近似為[14]：

(13)

(14)

將λmax和λmin分別代入式(12)得到矩陣B的最小譜半徑b1和最大譜半徑b2為：

(15)

(16)

根據(jù)b1和b2，可分別獲得兩個(gè)松弛參數(shù)ω1、ω2：

(17)

(18)

WSSOR算法的松弛參數(shù)是ω1和ω2取平均，即：

(19)

2.4 近似對(duì)數(shù)似然比計(jì)算

改進(jìn)的WSSOR檢測(cè)算法通過(guò)迭代更新，避免了濾波矩陣W的求逆問(wèn)題，復(fù)雜度從O(K3)下降到O(K2)。改進(jìn)后的WSSOR軟輸出檢測(cè)算法需要利用信道譯碼的LLR軟信息解碼出更加精確的值。由式(5)不難發(fā)現(xiàn)，在計(jì)算對(duì)數(shù)似然比時(shí)需要計(jì)算用戶(hù)的SINR，因此又涉及矩陣W的求逆運(yùn)算，復(fù)雜度再次上升。為了降低算法的復(fù)雜度，在求解SINR時(shí)矩陣W是對(duì)角占優(yōu)的，可以將W-1簡(jiǎn)化為D-1來(lái)進(jìn)行計(jì)算，則均衡后的近似信道增益和NPI方差分別為：

(20)

(21)

3 算法分析

3.1 復(fù)雜度分析

對(duì)于基于WSSOR迭代的軟輸出信號(hào)檢測(cè)算法，計(jì)算復(fù)雜度由下面三個(gè)部分組成：

由這三部分組成的基于WSSOR迭代的信號(hào)檢測(cè)算法總共需要i(2K2+4K)+4K2+4K次乘法運(yùn)算。由于每種檢測(cè)算法進(jìn)行軟判決時(shí)的復(fù)雜度都一樣，所以只需要比較硬判決方式下不同算法的復(fù)雜度。表1給出了三種不同算法在硬判決中計(jì)算復(fù)雜度的分析對(duì)比情況。

表1 不同檢測(cè)算法硬判決計(jì)算復(fù)雜度對(duì)比

如表1所示，Neumann級(jí)數(shù)展開(kāi)信號(hào)檢測(cè)算法在迭代次數(shù)超過(guò)兩次之后，復(fù)雜度的階數(shù)就上升到了O(K3)，而WSSOR檢測(cè)算法對(duì)于任意迭代次數(shù)其復(fù)雜度都是O(K2)。WSSOR迭代算法的復(fù)雜度階數(shù)與SSOR算法一樣，雖然比SSOR迭代算法多運(yùn)算了2K次乘法，復(fù)雜度提升，但其性能得到了顯著提高。

3.2 仿真結(jié)果分析

為了驗(yàn)證改進(jìn)后的WSSOR軟輸出信號(hào)檢測(cè)算法的性能，在MATLAB R2016a仿真軟件上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。仿真條件如表2所示，假設(shè)信道狀態(tài)信息已知。

表2 仿真條件

圖2(a)給出了未加合適的松弛參數(shù)和加權(quán)因子時(shí)，不同檢測(cè)算法在硬判決方式下的BER(Bit Error Rate)性能比較。由圖可知，三種不同的檢測(cè)算法都隨著迭代次數(shù)的增加，BER性能也得到了提升；并且在迭代次數(shù)相同時(shí)，基于WSSOR迭代的信號(hào)檢測(cè)算法的性能明顯和收斂速度優(yōu)于其他兩種近似算法。

如圖2(b)所示，在硬判決中加上合適的松弛參數(shù)和加權(quán)因子后，改進(jìn)的WSSOR檢測(cè)算法和SSOR檢測(cè)算法都有更好的BER性能。如在迭代次數(shù)i=2，信噪比為15 dB時(shí)，Neumann級(jí)數(shù)展開(kāi)算法的BER性能為4×10-2左右，SSOR檢測(cè)算法的性能為2.8×10-3左右，而WSSOR檢測(cè)算法的性能為7.5×10-4左右，與傳統(tǒng)MMSE算法BER相差僅小于0.2×10-4?？梢钥闯龈倪M(jìn)的WSSOR信號(hào)檢測(cè)算法已經(jīng)達(dá)到近似最佳線(xiàn)性檢測(cè)性能。且與圖2(a)相比，松弛參數(shù)的取值對(duì)SSOR算法的影響很大，但改進(jìn)的WSSOR檢測(cè)算法對(duì)松弛參數(shù)并不敏感，性能影響不明顯。

圖2 不同檢測(cè)算法在硬判決方式下的BER性能對(duì)比

圖3顯示了不同檢測(cè)算法在軟判決輸出方式下的BER性能對(duì)比，與圖2(b)對(duì)比可以看出，各種算法的檢測(cè)性能在軟判決的方式下都得到了明顯的提升。如在軟判決中，當(dāng)信噪比為6 dB時(shí)，各種算法在迭代次數(shù)i=2的誤碼率就接近4×10-4；而在硬判決中，當(dāng)誤碼率為4×10-4時(shí)，卻需要18 dB的信噪比。因此，改進(jìn)后的WSSOR軟輸出檢測(cè)算法的性能明顯優(yōu)于Neumann級(jí)數(shù)展開(kāi)法和SSOR迭代檢測(cè)算法，通過(guò)少量的迭代次數(shù)就能達(dá)到近似最佳的MMSE檢測(cè)性能。

圖3 不同檢測(cè)算法在軟判決方式下的BER性能對(duì)比

圖4為改進(jìn)的WSSOR軟輸出檢測(cè)算法的BER性能隨著迭代次數(shù)以及信噪比的變化情況。可以看出，改進(jìn)后的WSSOR軟輸出算法的BER性能隨著信噪比的增加而極大提升；同時(shí)在不同信噪比的影響下，該算法均能通過(guò)僅僅2到3次迭代就趨于穩(wěn)定，并且收斂速度也很快。

圖4 改進(jìn)的WSSOR軟輸出檢測(cè)算法BER性能與迭代次數(shù)的關(guān)系

4 結(jié) 語(yǔ)

本文基于WSSOR迭代的思想提出了一種高性能低復(fù)雜度的信號(hào)檢測(cè)算法，利用算法迭代的特性避免了高維度的矩陣求逆操作，使算法復(fù)雜度從O(K3)下降到O(K2)。為了保證算法能應(yīng)用在實(shí)際中，本文還提出了一種簡(jiǎn)單的量化方法來(lái)求解該算法的松弛參數(shù)和加權(quán)因子，增加算法的穩(wěn)定性并且加快收斂速率。最后利用信道編譯碼中的比特對(duì)數(shù)似然比算法進(jìn)行軟判決，進(jìn)一步提升了檢測(cè)性能。仿真結(jié)果表明，該算法在復(fù)雜度降低的情況下，在誤碼率性能和收斂速度方面比其他近似迭代算法有明顯的優(yōu)勢(shì)，且通過(guò)2到3次的迭代就能夠?qū)崿F(xiàn)近似線(xiàn)性最佳性能。