史昊儒

1 問題的提出

一檔綜藝節(jié)目中，舞臺(tái)上有三扇關(guān)閉了的門呈現(xiàn)在參賽者面前，其中一扇門后面引出這名貴豪車，而另外兩扇門后面則是一只羊。參賽者可以隨機(jī)指向其中的一扇門。如果選中后面有車的那扇門，那參賽者就可以贏得這輛名貴豪車。每當(dāng)參賽者選定了任一扇門后，節(jié)目主持人會(huì)在打開該扇門前，就繞到門的后面，然后從剩下的兩扇門打開藏有羊的一扇（剩下的兩扇門中至少存在一扇門后藏的是羊）。接下來參賽者可以重新選擇。那么參賽者如何做才能盡可能地打開后面藏有豪車那扇門呢？

這個(gè)問題非常經(jīng)典，但是很多人仍然囿于思維的桎梏，無法接受正確的答案。直覺在做數(shù)學(xué)題時(shí)非常重要，能讓我們快速達(dá)到目的，但有時(shí)卻是一種錯(cuò)覺，尤其是概率題[1]。接下來將用3種不同的方法辨析。

2 樹狀圖分析

圖1 樹狀圖

如圖1所示，不妨設(shè)參賽者選擇了A門。那么有3種情況，豪車分別在A、B、C三扇門后，且此時(shí)概率相同[2]。

情況一：豪車在A門后：

此時(shí)主持人隨機(jī)打開B、C中的一扇門，露出一只羊，另一個(gè)門里仍然是羊，此時(shí)堅(jiān)持選擇A門，則可以得到豪車。

情況二：豪車在B門后：

此時(shí)主持人只能打開沒有豪車的C門露出羊，另一扇B門里是豪車，此時(shí)堅(jiān)持選擇A門，則只能看到A門后的羊。

情況三：豪車在C門后：

此時(shí)同情況二，堅(jiān)持選擇A門，則只能看到A門后的羊。

上述三個(gè)情況發(fā)生概率相同，情況一更改選擇不能得到豪車，而情況二、三更改選擇能得到豪車。所以對(duì)于這三種等可能的情況，參賽者選擇另一扇門得到豪車的概率是2/3，大于原有選擇的1/3。如果參賽者事先選擇的是B門或者C門，由于等可能發(fā)生，那也和前面的邏輯分析是一致的。所以無論參賽者事先選擇了哪扇門，他都應(yīng)該在排除一個(gè)錯(cuò)誤答案后再選擇另一扇門。

3 歸謬法

大部分人無法接受正確答案的原因，可能是2/3與1/3者兩個(gè)數(shù)的差不大，從而導(dǎo)致依靠直覺做出了錯(cuò)誤的判斷，那么我們把這個(gè)問題推廣到以下兩個(gè)問題。

問題一：有100扇門，其中1扇門后是一輛豪車，另外99扇門后都是羊，參賽者選中1扇門后，主持人在剩余99扇門中找出有羊的98扇門打開?，F(xiàn)在，參賽者面臨未打開的兩扇門，有一次更改選擇的機(jī)會(huì)。請(qǐng)問他要不要更改選擇？

這種情況下，可能大部分人的直覺就可以做出正確的判斷：要更換選擇。因?yàn)樵久可乳T后有豪車的概率都是1%，選定一扇門之后，另外99扇門加在一起，有豪車的概率就是99個(gè)1%相加，等于99%。去掉98個(gè)錯(cuò)誤答案之后，如果豪車在這99扇門的其中一扇里，那么就一定是在剩下的那扇門里，此時(shí)這扇門里有豪車的概率就等于最初這99扇門里有豪車的概率，是99%。那么如果更改選擇，得到豪車的概率就從1%變?yōu)榱?9%，結(jié)果顯而易見。

問題二：有100扇門，其中1扇門后是一輛豪車，另外99扇門后都是羊，參賽者選中一扇門后，主持人在剩余99扇門中打開后面有羊的1扇門。現(xiàn)在，參賽者面臨未打開的98扇門，有一次更改選擇的機(jī)會(huì)。請(qǐng)問他是否應(yīng)該更改選擇？

這種情況下，去掉99個(gè)答案中1個(gè)錯(cuò)誤答案，就相當(dāng)于把原有的99扇門加在一起得到豪車的概率99%，平均分給剩下的98扇門，相當(dāng)于（99/98）%，因?yàn)椋?9/98）%＞1%，所以也應(yīng)該更改選擇。

由上面兩個(gè)問題，可以推斷出更改選擇后得到豪車的概率更大一些。所以我們可以得出結(jié)論：類似問題中，只要在參賽者選定一個(gè)答案后，再去掉剩余選項(xiàng)中的任意數(shù)量的錯(cuò)誤答案，參與者更改自己選擇，總會(huì)有更大概率獲勝。

4 第三個(gè)人的選擇

以上的情景發(fā)生后，也就是參賽者選擇A門，主持人在B門、C門之后排除了一個(gè)非豪車的答案，那么對(duì)于參賽者來說，換剩余的那個(gè)門，得到豪車的概率更大。當(dāng)參賽者換門之后，不妨設(shè)排除的是C門。此時(shí)參賽者面前只面臨兩扇沒有打開的門了。一扇是之前選擇的A門，一扇是豪車概率為2/3的B門。

該參賽者保持沉默不語時(shí)，此時(shí)引入除主持人、觀察者之外的第三個(gè)人參與。該嘉賓只面臨兩扇未打開的門：A門和B門，后面分別是豪車和羊。那么請(qǐng)問，該嘉賓如何做才能使得自己選擇到門后豪車的概率更大？

顯然，對(duì)于嘉賓來說，面臨的是“二門問題”，如果任選一個(gè)，則門后是豪車的概率是1/2。我們發(fā)現(xiàn)，這時(shí)看到同一種畫面，參賽者和嘉賓得到的概率是不同的。參賽者認(rèn)為A門、B門后是豪車的概率分別為1/3，2/3。那么對(duì)于同一種畫面，參賽者和嘉賓得到的概率不同，是否矛盾呢？正確答案是不矛盾。因?yàn)殡m然呈現(xiàn)在眼前的畫面一樣，但是參賽者知道更多的信息——B門是打開C門之后剩下的選擇。知道信息的不同，會(huì)得到不同的概率。這一事實(shí)非常容易理解。比如對(duì)于看到幕后的主持人，三個(gè)門的概率分別是100%、0%和0%。因?yàn)橹鞒秩酥赖男畔⒏唷吹搅四缓?。所以，知道信息最少的嘉賓的判斷，和知道最先選擇了A門的這一信息的參賽者得到的概率是不同的。

該嘉賓要想選擇到后面藏有豪車概率更大的門，隨機(jī)選的概率是1/2。他的最佳選擇除了詢問主持人正確答案之外，應(yīng)該問剛才發(fā)生了什么。嘉賓若知道參賽者事先選擇A門，然后排除C門這一信息之后，對(duì)其來說，A門、B門后面是豪車的概率也隨即變?yōu)?/3、2/3。

從這個(gè)問題中，我們可以得出結(jié)論：知道信息的不同，做出判斷的概率就不同。對(duì)于嘉賓來說，他如果不知道參賽者事先選擇的門，則他可能遇到兩種情況：1）參賽者事先選擇的是A門，然后排除C門；2）參賽者事先選擇的是C門，然后排除A門。所以對(duì)于是針對(duì)哪種情況做出眼前畫面一無所知的嘉賓做出的概率是1/2和1/2。如果嘉賓詢問，那么他就知道了是發(fā)生了1）或者2）中的哪種情況，從而得到和參賽者一樣多的信息。

5 條件概率

之所以會(huì)反直覺，是因?yàn)槿说纳钪杏龅降膶?shí)際問題多數(shù)是先驗(yàn)概率，事件之間是相對(duì)獨(dú)立事件。比如是否引入第三個(gè)嘉賓不會(huì)影響參賽者做出正確的概率判斷。但是，從剩余兩個(gè)門中排除一個(gè)錯(cuò)誤答案，對(duì)參賽者的觀察產(chǎn)生了影響。

在概率論中，我們用P（A）表示隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性大小。條件概率是指事件A在另外一個(gè)事件B已經(jīng)發(fā)生條件下的發(fā)生概率[3]。我們用P（A|B）表示條件概率，即在隨機(jī)事件A在隨機(jī)事件B已經(jīng)發(fā)生的情況后的可能性大小[4]。事件A與事件B的聯(lián)合概率表示為P（AB），意思是指事件A和事件B同時(shí)發(fā)生的概率[5]。

聯(lián)合概率中，所以可以推出條件概率：

我們約定其中一扇門后面是豪車的隨機(jī)事件A、B、C，則三扇門后有豪車的概率P(A)=P(B)=P(C)=1/3；約定主持人打開三扇分別是隨機(jī)事件KA、KB、KC。

不妨假設(shè)參賽者首先選擇的是A門，而主持人做了KC（打開了C門）。那么這道題就是求參賽者在看到主持人打開C門后，堅(jiān)持自己的事先選擇而繼續(xù)選擇A門且背后是豪車的條件概率P(A|Kc)是多少？如果選擇另一扇門B門且背后是豪車的條件概率P(B|Kc)是多少？

根據(jù)條件概率公式我們有：

將P(A)=P(B)=1/3和P(KC)=1/2等代入公式（2）、公式（3），得出：

所以更換選擇才能使得抽中豪車的概率更大。

6 結(jié)語

對(duì)于復(fù)雜的概率問題，可以通過樹狀圖等方法直觀感受，也可以查找其中的條件概率計(jì)算。注意區(qū)分獨(dú)立隨機(jī)事件和條件下的隨機(jī)事件。由于兩個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生可能并不互相獨(dú)立，所以條件概率和獨(dú)立概率并不相等。

現(xiàn)實(shí)生活中，很多情況下的更優(yōu)答案和我們的直覺認(rèn)知是不一樣的。直覺來源于經(jīng)驗(yàn)。因此我們需要保持理性的思維，對(duì)待科學(xué)問題不能想當(dāng)然；另一方面也要積累正確的經(jīng)驗(yàn)，這樣才能在一些情況下?lián)碛懈咏硇苑治龅闹庇X。