謝寶江，婁偉明，羅揚(yáng)帆，王華昕，李 珂

（1.國網(wǎng)浙江省電力有限公司臺(tái)州供電公司，浙江 臺(tái)州 318000；2.上海電力大學(xué)，上海 200090）

0 引言

鋰離子電池由于其較高的比能量、較長的循環(huán)壽命和相對較低的制造成本被廣泛應(yīng)用于各種電動(dòng)汽車[1-3]。當(dāng)車用動(dòng)力電池的容量衰減到初始容量的70%左右時(shí)，就不滿足電動(dòng)汽車?yán)m(xù)航里程和安全性能的要求而退役。退役后的電池應(yīng)用到對電池性能要求不高的儲(chǔ)能系統(tǒng)、UPS 等領(lǐng)域仍然有可觀的價(jià)值[4]。由于退役電池在功率密度、能量密度和容量等方面存在著一定程度的老化現(xiàn)象，因此必須建立準(zhǔn)確的電池管理系統(tǒng)來估計(jì)電池工作狀態(tài)[5-6]。電池SOC（荷電狀態(tài)）表征了電池剩余能量的變化，是能量管理和預(yù)測電池運(yùn)行狀態(tài)的重要依據(jù)。因此，準(zhǔn)確估計(jì)電池的SOC 對退役電池的梯次利用和提高電池的管理技術(shù)具有重要意義[7]。

常見的SOC 估算方法包括安時(shí)積分法、開路電壓法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)智能算法、擴(kuò)展卡爾曼濾波算法[8-9]。其中安時(shí)積分法原理簡單，工程應(yīng)用較多，但必須提供準(zhǔn)確的SOC 初值。開路電壓法需要靜置足夠長的時(shí)間，使電池達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，這顯然不適于動(dòng)態(tài)條件。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)智能算法需要大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集來訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，其實(shí)際估算效果不佳?；陔姵貭顟B(tài)空間方程的卡爾曼濾波方法具有很強(qiáng)的適用性和通用性，克服了需要電池SOC 初值以及大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行訓(xùn)練的問題。同時(shí)，其濾波技術(shù)可以顯著降低采樣噪聲的影響。擴(kuò)展卡爾曼濾波算法忽略了泰勒展開式的高階項(xiàng)，而鋰離子電池的強(qiáng)非線性特性會(huì)不可避免地帶來較大估計(jì)誤差，進(jìn)而致使濾波器發(fā)散。近年來，UKF（無跡卡爾曼濾波）算法在電池SOC 估計(jì)領(lǐng)域比較活躍，但在實(shí)際應(yīng)用中，存在以下問題：它可以在一定程度上降低噪聲的影響，但異常的測量噪聲仍然對濾波效果有較大的影響；由于外部因素的影響，在一個(gè)或多個(gè)采樣周期內(nèi)超出正常范圍的采樣數(shù)據(jù)將使SOC 估計(jì)算法產(chǎn)生誤差，并且收斂速度降低。為了解決這個(gè)問題，文獻(xiàn)[10]將系統(tǒng)狀態(tài)噪聲和觀測噪聲進(jìn)行對稱采樣處理，將兩者同時(shí)引入到Sigma 點(diǎn)采集中減小了噪聲對估算精度的影響，但對模型精度要求較高。文獻(xiàn)[11]將系統(tǒng)狀態(tài)以其方差的平方根形式傳播，降低了常規(guī)Sigma 點(diǎn)卡爾曼濾波器算法的復(fù)雜性，提高了對狀態(tài)估計(jì)誤差的抑制能力，不過未考慮到觀測模型和狀態(tài)方程會(huì)跟隨系統(tǒng)不斷變化。文獻(xiàn)[12]將粒子濾波算法引入到UKF中，并通過UKF 算法計(jì)算每個(gè)粒子的估計(jì)值和協(xié)方差，解決了系統(tǒng)采樣噪聲干擾問題，但該算法固有粒子匱乏且計(jì)算量較大，在應(yīng)用中實(shí)時(shí)響應(yīng)性能較差。文獻(xiàn)[13]用奇異值分解代替標(biāo)準(zhǔn)UKF的Cholesky 分解，避免了協(xié)方差矩陣非正定時(shí)濾波算法計(jì)算終止，從而抑制了系統(tǒng)采樣過程中的非線性誤差，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)噪聲和量測噪聲二者所帶來影響較大時(shí)，上述濾波算法的估計(jì)精度難以得到保證。

文章針對以上鋰電池在狀態(tài)估計(jì)中存在的一些問題，H∞控制具有強(qiáng)魯棒性的特點(diǎn)，因此被廣泛應(yīng)用于模型動(dòng)態(tài)不確定和強(qiáng)非線性的系統(tǒng)，文章提出將H∞控制和UKF 算法相結(jié)合，以提高對退役電池SOC 的估算性能。該方法利用H∞理論提高對異常值和非高斯噪聲的魯棒性。通過不斷更新修正協(xié)方差矩陣保證了矩陣的半正定性，提高了濾波器的適應(yīng)能力，解決傳統(tǒng)UKF 不能跟隨真實(shí)估計(jì)狀態(tài)不斷修正噪聲方差造成估計(jì)不準(zhǔn)甚至發(fā)散，以及數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法的不確定性問題，實(shí)現(xiàn)退役電池SOC 準(zhǔn)確估算。

1 鋰離子電池模型

1.1 鋰離子等效電路模型

常用的電池模型包括電化學(xué)模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和集總參數(shù)等效電路模型。在3 種模型中，等效電路模型因其結(jié)構(gòu)簡單、易于參數(shù)識(shí)別，而且能更好地反映電池動(dòng)靜態(tài)特性而被廣泛使用。集總參數(shù)等效電路模型包括：Rint 模型、一階RC 模型、高階RC 模型、PNGV 模型等。本文選擇一階RC 等效電路來建立退役電池的狀態(tài)空間模型。模型的電路結(jié)構(gòu)如圖1 所示，R0是退役電池的歐姆電阻（電阻R0，chg表示放電歐姆電阻，電阻R0，dischg表示充電歐姆電阻）；Rs和Cs分別表示電池極化電阻和極化電容；It表示電池的端電流；Uocv表示電池的開路電壓，與電池SOC 存在函數(shù)關(guān)系；Uout表示電池的輸出電壓。

圖1 退役電池等效電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

根據(jù)電路原理，一階RC 等效電路可表示為：

式中：SOCt代表t 時(shí)刻的SOC；η 為庫倫效率，與放電速度、溫度等有關(guān)；QN為電池的額定容量。

SOC 的狀態(tài)方程可以描述為離散時(shí)間形式：

根據(jù)退役電池的RC 等效電路模型，選取電池核電狀態(tài)SOC 和極化電壓Us作為系統(tǒng)狀態(tài)變量。電池的狀態(tài)空間方程為：

式中：T 為采樣時(shí)間；k 為離散時(shí)間變量。

1.2 參數(shù)辨識(shí)

常見的參數(shù)辨識(shí)算法包括最小二乘法[14]、預(yù)報(bào)誤差法、極大似然估計(jì)法等。最小二乘法是一種數(shù)據(jù)優(yōu)化工具，以殘差平方和最小為準(zhǔn)則實(shí)現(xiàn)函數(shù)的最佳匹配。其被廣泛應(yīng)用于各種數(shù)值分析場景中。對于諸如退役電池這種強(qiáng)非線性系統(tǒng)，可以采用最小二乘法來識(shí)別模型參數(shù)。HPPC 是測試電池充放電特性的一種測試環(huán)境，同時(shí)也作為電池參數(shù)識(shí)別的數(shù)據(jù)來源。

當(dāng)電池有電流加載時(shí)，由于歐姆內(nèi)阻的作用使得電池電壓下降。當(dāng)電池電流卸載后，極化電容放電，使電池電壓緩慢抬升。將對電池進(jìn)行充放電測試的過程分為10 個(gè)階段。利用MATLAB軟件對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，通過最小二乘法識(shí)別SOC 各個(gè)階段的電池模型參數(shù)。圖2 為電池在SOC 值為90%并靜置到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，對電池進(jìn)行脈沖放電10 s 和靜置40 s 過程的電壓響應(yīng)過程。

電池的歐姆內(nèi)阻可由電池電流加載瞬間電壓的變化計(jì)算得到。若U1=3.973 V，U2=3.843 V，I=1.2 A，則得到Rs=0.108 Ω。其中：U1表示電池電量為90%并且在穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的端電壓；U2表示脈沖放電電流加載瞬間電池的端電壓；而電流I 是0.2 C 的持續(xù)恒定電流。

在電池的極化電容放電期間，其電壓輸出方程為：

圖2 SOC 為0.9 時(shí)電流激勵(lì)和對應(yīng)的電壓響應(yīng)曲線

將式（6）中的Uocv，ItRs，τs看作待定系數(shù)，對方程進(jìn)行系數(shù)替換可得：

式（8）—（10）為電池模型參數(shù)識(shí)別的計(jì)算公式，然后通過非線性最小二乘法擬合每個(gè)SOC階段的電池參數(shù)。

模型中電阻電容等參數(shù)受到電池電量變化的影響。式（11）—（13）為建立的SOC 和模型參數(shù)的函數(shù)關(guān)系。

使用MATLAB 的cftool 工具箱擬合式（11）—（13）的系數(shù)。擬合曲線如圖3 所示，函數(shù)表達(dá)式系數(shù)如表1—3 所示。

圖3 參數(shù)辨識(shí)曲線

表1 歐姆內(nèi)阻R0 與SOC 的函數(shù)關(guān)系

表2 極化內(nèi)阻Rs 與SOC 的函數(shù)關(guān)系

表3 極化電容Cs 與SOC 的函數(shù)關(guān)系

1.3 模型驗(yàn)證

退役動(dòng)力電池的等效電路模型驗(yàn)證采用DST（動(dòng)態(tài)壓力測試）工況，DST 工況是基于實(shí)車運(yùn)行數(shù)據(jù)的特定電流電池工作測試方案，可以檢驗(yàn)電池的動(dòng)靜態(tài)性能，其過程曲線如圖4 所示。

文中所搭建的退役電池模型仿真結(jié)果與電池實(shí)測值的對比如圖5 所示。由圖5 可知，仿真模型能夠很好反映電池的即時(shí)響應(yīng)和滯后響應(yīng)，符合實(shí)際電池具有的動(dòng)靜態(tài)特性。

圖4 DST 工況過程

圖5 電池模型輸出電壓與實(shí)際電壓比較

電池仿真模型輸出電壓的誤差曲線如圖6 所示。由圖6 可知，仿真模型輸出端電壓和電池實(shí)際端電壓的絕對誤差保持在0.2 V 以內(nèi)。說明文中搭建的一階RC 等效電路模型及模型參數(shù)識(shí)別的結(jié)果滿足實(shí)際需求，這為后續(xù)標(biāo)準(zhǔn)UKF 算法的改進(jìn)提供了有力支持。

圖6 模型輸出電壓誤差

2 HUKF 算法估計(jì)退役電池SOC

按照標(biāo)準(zhǔn)UKF 算法的原理，根據(jù)當(dāng)前時(shí)刻狀態(tài)和上一時(shí)刻的預(yù)測值，再結(jié)合電池狀態(tài)方程式（4）和觀測方程式（5），得到當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值。退役鋰離子電池的離散狀態(tài)空間方程可以描述為：

式中：xk，yk分別表示系統(tǒng)k 時(shí)刻的狀態(tài)向量和觀測向量；f 和h 分別為系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)和觀測函數(shù)；wk表示過程噪聲，由模型參數(shù)誤差造成，協(xié)方差為Qk；vk表示由系統(tǒng)傳感器采樣不準(zhǔn)確引起的測量噪聲，協(xié)方差為Rk。

UKF 算法主要由4 部分構(gòu)成：系統(tǒng)變量初始化、Sigma 點(diǎn)采集、時(shí)間更新和測量更新。UKF 算法利用無跡變換來處理非線性函數(shù)的預(yù)測均值和誤差協(xié)方差，而不是擴(kuò)展卡爾曼濾波算法的近似等效，同時(shí)也不必要對雅可比矩陣進(jìn)行求導(dǎo)計(jì)算，因此提高了估算精度和計(jì)算速度。

2.1 標(biāo)準(zhǔn)UKF 算法

2.1.1 初始化

設(shè)初始狀態(tài)變量為x0，狀態(tài)變量的均值為，初始協(xié)方差為P0。則有：

2.1.2 Sigma 點(diǎn)采集

計(jì)算Sigma 點(diǎn)采樣點(diǎn)x（i）和相應(yīng)的權(quán)值ω：

式中：m 為均值權(quán)重；c 為協(xié)方差權(quán)重；參數(shù)λ=α2（n+ki）-n 是用來減小總預(yù)測誤差的縮放比例系數(shù)；一般情況下α 取值較小，為0≤α≤1 用來控制平均值處Sigma 點(diǎn)權(quán)重；β=2，用來控制狀態(tài)估計(jì)的誤差，提高估算精度。

2.1.3 時(shí)間更新

2.1.4 量測更新

非線性變換Sigma 點(diǎn)為：

2.2 HUKF 算法

在工程應(yīng)用中，UKF 算法容易受到異常采樣、初始值不確定以及Cholesky 無法分解非半正定矩陣等因素的影響，導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)散。為了克服UKF 算法在計(jì)算協(xié)方差時(shí)遇到的病態(tài)矩陣，將H∞理論[15]運(yùn)用到UKF 中，來描述系統(tǒng)不確定性的影響。該濾波器對于具有有界能量的所有可能干擾實(shí)現(xiàn)最小估計(jì)誤差[16]。所設(shè)計(jì)濾波器滿足如下條件：

式中：x0和P0|0分別是初始狀態(tài)向量及其協(xié)方差矩陣；γ 是限制不確定性的正標(biāo)量參數(shù)。

當(dāng)且僅當(dāng)所有時(shí)刻K 的估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣Pk|k滿足式（30）時(shí)，存在式（29）中所示的H∞濾波器為：

式中：max{·}為求最大值函數(shù)；eig{·}為求矩陣特征值函數(shù)。

由以上可知，HUKF 與標(biāo)準(zhǔn)UKF 的原理和結(jié)構(gòu)相似。HUKF 通過引入調(diào)整因子γ 來更新修正UKF 中計(jì)算協(xié)方差時(shí)遇到的病態(tài)矩陣，從而確保了估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣的非負(fù)定性。調(diào)整因子γ用來平衡H∞魯棒控制和最小均方誤差的性能。當(dāng)γ 趨于無窮大時(shí)，HUKF 近似等效與標(biāo)準(zhǔn)UKF。這也說明標(biāo)準(zhǔn)UKF 的H∞范數(shù)可能非常大，導(dǎo)致對模型參數(shù)不確定性的穩(wěn)定性差。HUKF 實(shí)現(xiàn)所有可能干擾的最小估計(jì)誤差。受不確定性影響的H∞濾波器的有界誤差性能可以按照文獻(xiàn)[17]中所示的算法證明。

2.3 HUKF 算法流程

將電池狀態(tài)方程式（4）以及觀測方程式（5）代入上述標(biāo)準(zhǔn)UKF 算法公式中，可以得到電池SOC、極化電壓Us等參數(shù)的實(shí)時(shí)預(yù)測值。算法具體步驟如下：

圖7 HUKF 算法流程

3 實(shí)驗(yàn)與仿真分析

3.1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

為了驗(yàn)證本文所提出的HUKF 算法的高效性和準(zhǔn)確性，搭建如圖8 所示的鋰電池測試平臺(tái)。該試驗(yàn)測試平臺(tái)可以編程控制負(fù)載電流大小，包括恒流、恒壓、恒功率以及自定義電流工況放電?？膳c鋰電池組在線狀態(tài)測試設(shè)備聯(lián)合工作，極大方便了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)獲取和實(shí)驗(yàn)曲線的分析。與PC機(jī)對接后，可以動(dòng)態(tài)顯示電池工作狀態(tài)的監(jiān)測曲線，并可以分析和處理數(shù)據(jù)。該測試平臺(tái)也帶有掉電保護(hù)功能和過流、過壓報(bào)警并自動(dòng)停止放電。本文以從某電動(dòng)公交退役的天能鋰電池作為測試對象，電池型號為ITR22P22S132，其額定電壓為3.7 V，額定容量為2.2 Ah。

圖8 電池測試系統(tǒng)

3.2 算法驗(yàn)證

以美國制定的UDDS（城市道路循環(huán)）工況為試驗(yàn)條件在上述實(shí)驗(yàn)平臺(tái)下對電池做充放電實(shí)驗(yàn)。電池測試的環(huán)境溫度設(shè)定為23 ℃，電池SOC初值設(shè)定為0.7。采樣周期為1 s，電池SOC 的理論參考值通過安時(shí)積分法獲取。HUKF 和UKF 算法的SOC 估算對比曲線如圖9 所示。由圖9 可知，在設(shè)定SOC 錯(cuò)誤初值（為0.5）的情況下，文中提出的HUKF 算法比UKF 算法收斂速度要快。HUKF 算法在100 s 左右能收斂到穩(wěn)定階段，而UKF 算法需要70 s 左右。這是因?yàn)閁KF 權(quán)重和采樣點(diǎn)的分布導(dǎo)致協(xié)方差在幾次更新后失去正定性，導(dǎo)致過濾結(jié)果無效。當(dāng)濾波效果最佳時(shí)，增益矩陣保持穩(wěn)定。隨著系統(tǒng)模型的變化，增益矩陣很難快速跟上穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的需要，這就會(huì)阻止系統(tǒng)快速收斂。HUKF 算法通過不斷更新修正協(xié)方差矩陣保證了矩陣的半正定性，這使得濾波算法得以繼續(xù)進(jìn)行。在算法開始階段SOC 設(shè)定值與實(shí)際值存在較大誤差時(shí)能夠快速靠近真實(shí)狀態(tài)，因而具有更快的跟蹤速度[18-21]。

圖10 是HUKF 和UKF 算法的估計(jì)誤差比較曲線。由圖10 可知，HUKF 算法的跟蹤性能明顯優(yōu)于UKF 算法。一方面，HUKF 算法估計(jì)的絕對誤差維持在0.05 以內(nèi)，而UKF 算法的絕對誤差大于0.05；另一方面，UKF 算法對于非高斯噪聲和系統(tǒng)異常值的魯棒性較差，在收斂階段曲線波動(dòng)較大，不能有效預(yù)測電池SOC 變化趨勢，而HUKF 算法對惡劣環(huán)境的適應(yīng)能力較強(qiáng)。

圖9 UDDS 工況下HUKF 與UKF 算法SOC 估計(jì)的對比曲線

圖10 UUDS 工況下SOC 估計(jì)誤差對比曲線

綜上所述，文中提出的HUKF 算法在收斂速度、估算精度和魯棒性上都比UKF 有一定提高，驗(yàn)證了改進(jìn)算法的先進(jìn)性。

4 結(jié)語

UKF 算法作為經(jīng)典的濾波算法，被廣泛應(yīng)用在目標(biāo)跟蹤和飛行控制等領(lǐng)域。H∞控制理論是解決魯棒性問題的有效工具。文中將2 種理論相結(jié)合，應(yīng)用在退役動(dòng)力電池的SOC 估計(jì)中，克服了系統(tǒng)采樣異常值和非高斯噪聲的影響，保證了濾波算法得以繼續(xù)進(jìn)行，提高了估計(jì)算法在系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生突變時(shí)的穩(wěn)定性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在電流工況變化劇烈情況下，HUKF 算法仍能保持比UKF 高的濾波精度和魯棒性，同時(shí)也有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。