鄭 浪，田仲初，張祖軍

（1.湖南交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南 長沙 410004； 2.長沙理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410015）

臂澆筑拱橋作為我國近10 a新興的拱橋施工工藝，我國學(xué)者對其進行了較為系統(tǒng)的研究，文獻［1］-［2］中，吳欣、王祺順等人研究了懸臂澆筑施工過程中施加臨時預(yù)應(yīng)力后與索力的耦合效應(yīng)；文獻 ［4］中，周超基于最優(yōu)化理論及 “一次張拉到位”的思想，利用ANSYS求解了施工階段最優(yōu)索力并分析了索力敏感性因素；文獻 ［5］中盧云貴等人對施工過程中索力、截面應(yīng)力、扣塔偏位的控制方法進行了分析研究；胡大琳等人基于最小彎曲能量法對施工階段索力進行了優(yōu)化，以達到降低拱圈截面應(yīng)力的目標(biāo)。

綜上，我國懸臂澆筑拱橋研究已取得相當(dāng)成果，尤其在索力優(yōu)化領(lǐng)域，研究成果有效指導(dǎo)了實際工程的施工及監(jiān)控，達到了通過調(diào)整索力優(yōu)化拱圈截面應(yīng)力的目標(biāo)。但調(diào)索改善截面應(yīng)力方式具有一定的局限性［6-8］，如跨徑過大、節(jié)段自重較重時，調(diào)整索力可能達不到理想的效果，且一味增大索力會造成扣塔局部應(yīng)力集中，不利于結(jié)構(gòu)安全［9-10］。本文基于最優(yōu)化理論，以某在建的特大跨懸臂澆筑拱橋為研究對象，通過優(yōu)化拱圈節(jié)段懸臂澆筑長度，探討其對索力及拱圈截面應(yīng)力的影響規(guī)律，該項研究成果可為同類型工程施工及監(jiān)控提供一種新的思路。

1 最優(yōu)化理論

在實際工農(nóng)業(yè)等生產(chǎn)活動及科學(xué)研究中，我們會遇到很多優(yōu)化問題，這些優(yōu)化問題絕大部分不是單一目標(biāo)存在，而是多個目標(biāo)之間相互聯(lián)系，相互影響。在多個目標(biāo)之間找到一個平衡，取得最優(yōu)解的方法，稱為多目標(biāo)優(yōu)化方法。其數(shù)學(xué)模型如下：

式中：J表示目標(biāo)函數(shù)，xi表示設(shè)計變量；gj、hk、wl為狀態(tài)變量；N表示設(shè)計變量的總數(shù)目，m1＋m2＋m3表示狀態(tài)變量的總數(shù)。

在多目標(biāo)問題求解時，由于復(fù)雜的約束條件與目標(biāo)函數(shù)之間相互耦合，因此很難求得最優(yōu)解。目前常用的方法是將有約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為無約束的優(yōu)化問題，引入罰函數(shù)為實現(xiàn)這一算法的有效途徑，數(shù)學(xué)表達式為：

式（2）、式（3）中：J0為目標(biāo)函數(shù)；q為約束條件；Px為設(shè)計變量的外罰函數(shù)；Pg、Ph、Pw分別表示狀態(tài)變量的混合罰函數(shù)；χ為某一整數(shù)；αj為容許誤差。

當(dāng)所有設(shè)計變量均滿足約束條件時，則根據(jù)罰函數(shù)，有Px（xi）＝0，此時式（2）則可表述為：

引入罰函數(shù)后，將多目標(biāo)有約束問題轉(zhuǎn)換成無約束問題，再基于共軛梯度法確定搜索方向，迭代公式如下：

2 工程概況

本文研究對象為一在建鋼筋混凝土拱橋，主橋采用斜拉扣掛懸臂澆筑施工工藝。拱圈凈跨徑240 m，凈矢高40 m，凈矢跨比1／6，拱軸系數(shù)m＝1.85，混凝土截面寬10 m、高4.5 m，主拱圈混凝土標(biāo)號為C60，拱圈沿橋軸線方向分為2個托架現(xiàn)澆段 （拱腳位置），34個懸臂澆筑段，1個合龍段 （拱頂）。拱圈頂、腹、底板均為變高設(shè)計。橋型布置圖及斜拉扣掛節(jié)段劃分示意圖見圖1、圖2。

圖1 橋型立面布置圖 （單位：cm）Figure 1 Bridge fa?ade layout（Unit：cm）

圖2 節(jié)段劃分示意圖圖 （單位：cm）Figure 2 Schematic diagram of segmentation（Unit：cm）

3 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型及有限元模型建立

a.目標(biāo)函數(shù)的選取：拱橋在懸臂澆筑過程中，其控制性指標(biāo)為拱圈節(jié)段截面應(yīng)力水平，故選取主拱圈各節(jié)段應(yīng)力平方和最小為目標(biāo)，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)如下：

b.設(shè)計變量的選?。阂愿鞴?jié)段懸臂澆筑長度lni為設(shè)計變量。

c.約束條件的選取：

① 主拱圈施工過程中應(yīng)保證截面最大拉應(yīng)力應(yīng)小于混凝土抗拉強度設(shè)計值，f≤1.96 MPa。

②根據(jù)規(guī)范要求，扣索應(yīng)力應(yīng)留有2.5倍安全系數(shù)富余，即σs≤744 MPa。

使用ANSYS APDL建立該橋參數(shù)化有限元模型 （見圖3），主拱圈及交界墩使用Solid65三維實體單元模擬，扣、錨索采用桿單元LINK10模擬，扣塔構(gòu)件采用梁單元Beam188模擬；兩拱腳及交界墩底采用固結(jié)約束方式，錨索在錨錠處模擬為固結(jié)，扣塔立柱與橫向聯(lián)系間設(shè)置虛擬剛性梁?？鬯骺埸c與主拱圈實體單元共節(jié)點。因主拱圈截面為實體單元，不便施加集中力和集中彎矩，在每個節(jié)段澆筑分界面處設(shè)置質(zhì)量節(jié)點MASS21作為加載節(jié)點，然后將節(jié)段澆筑分界面連同質(zhì)量節(jié)點聯(lián)系截面剛化，將集中力和集中彎矩施加于加載節(jié)點，拱圈節(jié)段長度與扣點位置以參數(shù)數(shù)組的形式表示，以方便后繼優(yōu)化。

使用ANSYS中的 “單元生死功能”模擬懸臂澆筑施工過程。網(wǎng)格劃分采用六面體掃掠、映射劃分和四面體自由劃分相結(jié)合的方法，在扣點處加密，遠離扣點的位置網(wǎng)格可適當(dāng)稀疏一些。

圖3 有限元模型示意圖Figure 3 Diagram of the finite element model

4 優(yōu)化計算結(jié)果

使用MATLAB工具箱編制懸臂澆筑長度形lni優(yōu)化程序，借助MATLAB強大的矩陣計算能力，尋求數(shù)學(xué)最優(yōu)解，并將優(yōu)化結(jié)果導(dǎo)入ANSYS程序中，將ANSYS僅當(dāng)求解器使用，調(diào)用其 “batch”批處理模式，在后臺同時運行多個指定的命令文件，根據(jù)ANSYS輸出的有限元計算結(jié)果，MATLAB程序繼續(xù)執(zhí)行矩陣運算，如此反復(fù)，直至收斂于最優(yōu)解，收斂誤差為ANSYS中默認執(zhí)行的

1E-6。

經(jīng)MATLAB搜索收斂于最優(yōu)解，提取設(shè)計變量結(jié)果如下：

表1 優(yōu)化后設(shè)計變量計算結(jié)果表Table 1 Calculation result calculation table after optimization cm

將優(yōu)化后的設(shè)計變量導(dǎo)入ANSYS中關(guān)于節(jié)段懸臂澆筑長度的數(shù)組中重新賦值，設(shè)置相應(yīng)荷載步，耦合對應(yīng)節(jié)段扣索索力，對結(jié)構(gòu)進行施工階段分析。

4.1 優(yōu)化后施工階段扣索索力結(jié)果

由于節(jié)段懸臂澆筑長度的變化，扣索索力也會隨之發(fā)生變化，提取優(yōu)化后各節(jié)段施工過程中最大索力值，如圖4、表2所示 （以西岸半跨為例）。

圖4 優(yōu)化前后懸臂澆筑過程扣索索力峰值對比圖 （單位：kN）Figure 4 Comparison of peaks of cable tensions during cantilever casting before and after optimization（Unit：kN）

表2 優(yōu)化前后扣索索力值對比表（單位：kN）Table 2 Comparison of the cable strength values before and after optimization（Unit：kN）

優(yōu)化計算結(jié)果表明：由于拱圈節(jié)段長度的變化，扣索索力剛度影響矩陣也隨之變化，對扣索索力值有較大影響。調(diào)整拱圈節(jié)段懸臂澆筑長度后，大部分扣索索力值增幅較為明顯，其中變化最大的是17?？坼^索，增量708.1 kN，增幅40.8%，說明在原設(shè)計索力下，扣索處于低應(yīng)力狀態(tài)，未充分挖掘其承載能力，索力隨拱圈節(jié)段澆筑長度變化后，大部分扣索索力值增大，且索力分布也更為均勻，較好利用了材料性能。

4.2 優(yōu)化后施工階段拱圈截面應(yīng)力結(jié)果

施工節(jié)段拱圈截面拉應(yīng)力為懸臂澆筑拱橋施工控制性指標(biāo)，它決定了懸澆過程中拱圈的安全性、耐久性等，故本文目標(biāo)函數(shù)為懸臂澆筑節(jié)段拱圈各截面拉應(yīng)力平方和，在ANSYS中提取各施工階段下截面最大應(yīng)力，由于靠近扣點的混凝土單元存在應(yīng)力失真現(xiàn)象，根據(jù)圣維南原理，選取每個拱圈節(jié)段中間斷面，求得各斷面頂?shù)装遄畲罄瓚?yīng)力如圖5、表3所示。

圖5 優(yōu)化前后頂?shù)装遄畲罄瓚?yīng)力對比結(jié)果 （單位：MPa）Figure 5 Comparison of maximum tensile stress of top and bottom plates before and after optimization（Unit：MPa）

表3 優(yōu)化前后拱圈節(jié)段最大拉應(yīng)力Table 3 Maximum tensile stress of the arch ring segment before and after optimization MPa

以拱圈11＃節(jié)段為例，其應(yīng)力路徑曲線及跨中截面應(yīng)力云圖6、圖7所示。

計算結(jié)果表明：

a.優(yōu)化前拱圈各節(jié)段截面拉應(yīng)力水平普遍較高，頂板拉應(yīng)力峰值達2.15 MPa，大于C60混凝土抗拉強度設(shè)計值1.96 MPa，拱圈在施工過程中存在開裂現(xiàn)象，對施工過程中結(jié)構(gòu)強度及耐久性有不利影響；迭代優(yōu)化后，頂板拉應(yīng)力峰值顯著降低，最大拉應(yīng)力為1.82 MPa，降幅15.34%，小于抗力限制且有一定富余。

圖6 應(yīng)力路徑曲線圖Figure 6 Stress path graph

圖7 截面應(yīng)力云圖 （單位：MPa）Figure 7 Cross-section stress（Unit：MPa）

b.優(yōu)化后底板應(yīng)力值較優(yōu)化前有些許增大，應(yīng)力增長后仍小于抗力限值且富余較大，結(jié)果在可接受范圍內(nèi)。

c.由圖5可知，優(yōu)化后拱圈截面頂?shù)装鍛?yīng)力差減小，應(yīng)力流分布均勻，不存在截面應(yīng)力流“斷層跳躍”現(xiàn)象。

4.3 合龍工況應(yīng)力對比結(jié)果

根據(jù)ANSYS優(yōu)化結(jié)果，提取合龍工況下優(yōu)化前后拱圈各截面應(yīng)力值，并與一次成拱下拱圈截面應(yīng)力進行對比，計算結(jié)果表明：優(yōu)化調(diào)整后的拱圈應(yīng)力線更逼近于一次成拱狀態(tài)應(yīng)力，截面應(yīng)力分布得到良性改善，應(yīng)力差明顯減小，更接近于理想的均壓狀態(tài)，優(yōu)化效果良好。

圖8 合龍工況下拱圈截面應(yīng)力線對比Figure 8 Comparison of stress lines of arch rings under closing conditions

5 結(jié)論

本文基于最優(yōu)化理論，以某在建的特大跨懸臂澆筑拱橋為工程背景，建立該橋懸臂澆筑節(jié)段長度優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，并使用ANSYS求解了優(yōu)化結(jié)果，可得到以下結(jié)論：

a.拱圈節(jié)段長度對扣索索力剛度矩陣有 “連帶”影響，懸臂澆筑節(jié)段長度的變化，會顯著影響施工過程中扣索索力峰值，在實際工程施工時應(yīng)予以關(guān)注。

b.改變拱圈節(jié)段懸臂澆筑長度，對施工過程中截面應(yīng)力峰值及分布有較大影響，以該橋為例，優(yōu)化后拱圈頂板拉應(yīng)力峰值顯著降低，降幅15.34%，且應(yīng)力流分布更為均勻。

c.改變拱圈節(jié)段懸臂澆筑長度，對拱圈成拱后截面應(yīng)力線分布有一定影響，以該橋為例，優(yōu)化后拱圈應(yīng)力線更逼近于 “一次成拱”狀態(tài)，應(yīng)力差減小，接近均壓狀態(tài)。