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        二次根式中的“雙非負性”

        2020-09-06 13:43:34顧世兵
        初中生世界·八年級 2020年8期
        關(guān)鍵詞:根號根式等式

        顧世兵

        在二次根式a中,存在兩個非負的性質(zhì)。一是被開方式a≥0,這是因為負數(shù)沒有平方根的緣故。它是所有二次根式有意義的先決條件,具有很強的隱蔽性。我們在解題時,稍不留神就會掉入陷阱里。二是二次根式的值a≥0,這是因為a表示a的算術(shù)平方根的緣故。它是所有關(guān)于二次根式的等式成立必須要尊重的事實,是檢驗運算結(jié)果是否合理的重要依據(jù)。這兩條非負性質(zhì)在“二次根式”這一章中既是重點又是難點,具有非常重要的地位,理解它是我們學(xué)好這一章節(jié)內(nèi)容的前提。

        下面讓我們一起走進二次根式的雙非負世界。

        一、直接用雙非負性解決問題

        1.利用a中的a≥0解決問題。

        例1已知x、y滿足x-3+5y+2=0,求x-y的值。

        【解析】通過觀察等式的結(jié)構(gòu)我們可以發(fā)現(xiàn):等式左邊是兩個二次根式的和,右邊剛好為0。我們知道,互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和等于0,但根據(jù)a≥0可知x-3≥0,5y+2≥0,在它們都不為負的情況下,只有x-3=0且y+2=0時原等式才成立,則x-3=0,y+2=0,所以x=3,y=-2,則x-y=3-(-2)=5。

        2.利用a中的a≥0解決問題。

        例2已知x、y滿足x-3+53-x=y+2,求x+y的值。

        【解析】觀察式子的結(jié)構(gòu),左邊仍是兩個二次根式的和,但右邊是y+2,不為0,故例1的思路不再適用。我們經(jīng)過進一步細細觀察后發(fā)現(xiàn):等式左邊的兩個根式的被開方式x-3和3-x剛好互為相反數(shù)。根據(jù)a中a≥0可得x-3≥0且3-x≥0,可知只有x=3(兩個不等式聯(lián)列成的不等式組的解集)時,這兩個不等式才同時成立。把x=3代入x-3+53-x=y+2便可得y=-2,所以x+y=3+(-2)=1。

        【點評】例1和例2都是通過一個等式解出包含兩個未知數(shù)的特殊方程。它們的形式存在相似之處。我們首先要通過觀察等式的特征辨別出題目的類型,然后根據(jù)題型選擇具體的解法。

        二、二次根式的雙非負性對與它相等的代數(shù)式的約束

        所有與二次根式相等的代數(shù)式都必須要保持與這個二次根式符號的一致性,如公式“a2=|a|”和“(a)2=a(a≥0)”。為什么前一個公式的結(jié)果中的a有絕對值,而后一個卻沒有呢?這是由二次根式的雙非負性決定的。在公式“a2=|a|”中,由被開方式a2≥0得a取一切實數(shù),但二次根式a2卻是非負的,故無法保證a與a2符號的一致性,因此a2不能與a相等,只能是a2=|a|;而在公式(a)2=a中,被開方式a非負,(a)2也非負,它們保持著符號的一致

        【解析】觀察等式兩邊的特點,顯然等式的右邊是利用公式a2=|a|化簡出的,因等式的左邊“-(x-2)2”表示(x-2)2的負的平方根,故-(x-2)2≤0,根據(jù)等式兩邊符號的一致性可知:等式的右邊也必須滿足2-x≤0,所以x≥2。

        【解析】從四個選項來看,它們的差別只在符號上,因此我們只要用二次根式的雙非負性篩選各選項即可。先看被開方式是否非負:由-a3≥0得a≤0,因此選項C、D的被開方式a不符合非負的條件,它們都無意義,應(yīng)舍去;再看二次根式是否非負:由-a3≥0知化簡的結(jié)果應(yīng)為非負,結(jié)合a≤0便可得選項A為負,與原式的符號不一致,也應(yīng)舍去,因此只有選項B符合題意。

        【點評】利用二次根式的雙非負性分析問題,有助于我們提高解題的準確率,有助于我們對二次根式的進一步理解。三、利用雙非負性反思計算結(jié)果的合理性二次根式的雙非負性較為隱蔽,我們在解有關(guān)二次根式的問題時,要養(yǎng)成用這兩條非負性檢驗答案合理性的習(xí)慣。

        例5已知2x+5=x+1,則x=。

        【解析】這是一道含有根式的方程,解它的障礙在于根號的存在,如何去掉根號是我們首先要考慮的問題。利用“開方”與“平方”是互為逆運算的關(guān)系,我們可以通過“平方法”去根號。把等式兩邊平方得(2x+5)2=(x+1)2,所以2x+5=x2+2x+1,解得x=-2或x=2。那么這兩個計算結(jié)果是否都合理呢?我們可以利用二次根式的雙非負性檢驗一下,當x=-2時,雖然被開方式2x+5≥0,有意義,但是等號的右邊x+1=-1<0,而等式左邊2x+5≥0,兩邊的符號不一致,故x=-2不能使等式成立;當x=2時,等式兩邊符號一致,且計算結(jié)果都等于3,故x=2能使等式成立。綜上,x=2。

        可以說,有二次根式存在的地方,都有雙非負性的存在,這一性質(zhì)是我們解決問題、理解等式、反思結(jié)果的重要依據(jù),掌握并利用好它,我們定會學(xué)好這一章的內(nèi)容。

        (作者單位:江蘇省句容市行香中學(xué))

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