姚 怡，許 威

（同濟大學數(shù)學科學學院，上海200092）

現(xiàn)今，期權是金融市場上一種重要的衍生品對沖工具，在歐美國家已被廣泛使用，在中國國內也發(fā)展迅速。決定期權定價的關鍵因素是股票的價格分布。Black Scholes期權定價模型假定股票的收益率服從幾何布朗運動，因其簡單實用是目前應用最廣泛的模型。但是長期市場驗證表明，該模型存在諸如“波動率微笑”的定價偏差，真實的股票價格的分布在短時間內具有尖峰厚尾的特點，是Black Scholes期權定價模型不能刻畫的。1987年Madan和Seneta［1］首先提出了Variance Gamma過程，以此過程來描述股票價格的波動。Variance Gamma過程以Gamma獨立增量過程作為時變過程來構造布朗運動，增加了控制峰度的參數(shù)，能更好地吻合短時間上股票收益分布比正態(tài)分布高峰厚尾、長時間上趨于正態(tài)分布的實證結果。

在Madan和Seneta提出Variance Gamma過程后，大量學者研究了基于Variance Gamma（VG）模型的金融衍生品定價問題。1990年，Madan和Seneta［2］給出了基于VG模型的期權定價方法，并與Black Scholes期權定價模型進行比較。1998年，Chang等［3］刻畫了VG過程的特征函數(shù)，給出了標準歐式期權價格的閉形解，并驗證了基于VG模型模擬股票價格，能很好解決Black Scholes模型中的“波動率微笑”問題。1999年，Carr和Madan［4］提出了使用快速傅里葉變換方法解決VG模型下的期權定價問題。Fiorani［5］給出了PIDE的顯隱式差分數(shù)值求解方法。2004年，Hirsa和Madan［6］將其推廣到美式期權的定價中。2008年，F(xiàn)ang和Oosterlee［7］使用傅里葉余弦級數(shù)展開方法定價歐式期權。2018年，Pachón［8］使用切比雪夫級數(shù)近似的方法定價VG模型下的歐式期權。近年來，國內學者也對VG模型下期權的定價進行了研究。奚煒［9］給出了VG期權定價模型的一種完備解析表達形式。肖爽［10］將鞅方法和特征函數(shù)法相結合求得歐式期權的解析解。李暢［11］做了期權定價實證分析，證明了VG模型下期權價格與市場價格趨勢一致，擬合程度良好，優(yōu)于傳統(tǒng)Black Scholes模型。但是上述方法都較為復雜，理解與實現(xiàn)不易，特別是在定價VG過程下的美式期權時有一定的困難，且計算運行時間較長。

本文在VG模型下，提出了基于柳樹結構的定價歐式與美式期權的方法。柳樹法［12］最初通過構造離散的馬爾科夫過程來刻畫幾何布朗運動對歐式期權定價。柳樹結構的優(yōu)點是每個時刻上的資產(chǎn)價格數(shù)是常數(shù)，因此，隨著時間步數(shù)的增加，柳樹上節(jié)點的總個數(shù)是線性增長的，而不是二叉樹中的平方增長，提高了數(shù)值方法的效率。柳樹法的簡單結構示意圖可參見文獻［13］。

在VG模型下，本文提出柳樹的構造過程主要分為兩步：首先在計算對數(shù)資產(chǎn)價格四階矩的基礎上，利用Johnson曲線轉換公式的逆變換，將服從標準正態(tài)分布的離散節(jié)點轉換成服從VG過程的價格節(jié)點，得到標的資產(chǎn)價格的估計；然后由于VG模型滿足的條件概率函數(shù)復雜的特性，使用傅里葉余弦近似的方法，計算得到資產(chǎn)價格節(jié)點相鄰時刻間的轉移概率，從而完整構造基于VG模型的柳樹。在已構建柳樹的基礎上，使用倒推的方法對歐式與美式期權定價。另外，還對使用該算法計算歐式期權價格時產(chǎn)生的截斷誤差進行分析，證明定價歐式期權時柳樹法的收斂性質。最后，對柳樹法定價VG模型下歐式期權的結果與蒙特卡洛方法、傅里葉余弦級數(shù)展開方法［7］的結果進行比較。

1 VG模型下期權的柳樹法定價

1.1 資產(chǎn)價格估計

VG過程由Madan和Seneta提出，是純跳躍Levy過程中最為典型的一種。VG過程Xt是將布朗運動置于Gamma過程的時變下獲得：

其中b(t；θ，σ)=θt+σW(t)是漂移項為θ、波動率為σ的布朗運動，W(t)是標準布朗運動；γ(t；μ，υ)是均值為μ、方差為υ的Gamma過程。由文獻［3］可知，參數(shù)σ控制VG過程的波動率，參數(shù)υ控制VG過程的峰度，參數(shù)θ控制VG過程的偏度。

在VG指數(shù)模型下，股票價格基于方程

其中ω=)，ω為在風險中性測度下的修正項。為了簡便運算，首先將資產(chǎn)價格取對數(shù)，令R t=(r+ω)t+X t，則時刻t的資產(chǎn)價格S t即為S t=S0?eR t。由文獻［3］可知，VG過程X t的特征函數(shù)φX t為

所以R t的特征函數(shù)為

又由文獻［14］可知，若過程R t存在相應的特征函數(shù)，則該過程的n階矩皆可由相應的特征函數(shù)求得，如式（5）：

所以VG過程下的R t的四階矩為：

其中，E[R t]、V[R t]、S[R t]、K[R t]分別為R t的期望、方差、偏度與峰度。

為了構造基于VG模型的資產(chǎn)價格柳樹結構，首先需要得到資產(chǎn)價格節(jié)點的估計。將時間區(qū)間［0，T］離散為N個時間節(jié)點，即0=t0＜t1＜…＜t N=T，t n=nΔt，n=1，2，…，N，Δt=T/N。在 任意時間節(jié)點t n，可以在計算對數(shù)資產(chǎn)價格四階矩的基礎上，通過Johnson曲線，將服從標準正態(tài)分布的離散節(jié)點轉換成服從過程R t四階矩的離散節(jié)點=1，2，…，m，再轉換為資產(chǎn)價格節(jié)點，i=1，2，…，m，在柳樹上的每個離散時間節(jié)點t n，都估計m個可能的資產(chǎn)價格節(jié)點。

利用Johnson曲線轉換公式的逆變換，將一個標準正態(tài)分布的隨機變量轉換成一個滿足式（6）Rt的四階矩的隨機變量，首先生成離散節(jié)點再轉換為資產(chǎn)價格節(jié)點從而估計資產(chǎn)價格的分布。Johnson提出的方法［15］可以將任意連續(xù)隨機變量轉換成正態(tài)分布的隨機變量Z。其主要原理是通過計算已知變量的四階矩，然后代入統(tǒng)一的公式中估計該變量的離散值。該模型可以靈活匹配任意變量的期望、方差、偏度和峰度，并且根據(jù)偏度和峰度便可唯一地確定模型中所需函數(shù)的具體類型。Johnson曲線的公式如下：

基于文獻［16］提出的算法，參數(shù)a、b、c、d和函數(shù)g(?)的類型都可以根據(jù)對應隨機變量的四階矩求得。而根據(jù)Johnson曲線的逆變換，則可以將一個標準正態(tài)分布的隨機變量Z轉換成給定的分布X，即

由此，可以利用Johnson曲線的逆變換，可得基于VG模型的資產(chǎn)價格柳樹。該算法總結如下：

對于一個標的資產(chǎn)，給定其初始價格S0，將時間區(qū)間[0，T]劃分為N個時間步數(shù)，在每個時刻t n有m個可能的資產(chǎn)價格，且滿足式（2）。時刻t n的m個資產(chǎn)價格離散值可通過以下步驟得到：

（1）定義資產(chǎn)回報Rt=ln(S t/S0)，通過式（6）計算R t的期望、方差、偏度和峰度。

（2）構造序列{(z i，q i)}，令q i=(i-0.5)γ/m，γ=0.6，q i=q m+1-i，i=1，2，…，m/2.標 準 化q i， 即q i=q i/i=1，2，…，m；z1=N-1(q1/2)，z i=N-1(+q i/2)，i=1，2，…，m，其中N(?)是標準正態(tài)分布的累積密度函數(shù)。

（3）根據(jù)步驟（2）中的{z i}，由式（7）可以計算出隨機變量R t的離散值：

對于不同的分布族，對應的參數(shù)a、b、c、d可通過文獻［16］得到。

（4）估計時刻t的m個標的資產(chǎn)價格值：

1.2 轉移概率計算

時刻t n的資產(chǎn)價格柳樹節(jié)點為S(t n)=時刻t n+1的柳樹節(jié)點為S(t n+1)=從t n到t n+1時刻的轉移概率矩陣[]的計算方法如下：

基于t n+1時刻的資產(chǎn)價格節(jié)點S(t n+1)計算出累計分布函數(shù)區(qū)間節(jié)點[]，其中

（2）計算從t n時刻的節(jié)點轉移到t n+1時刻的節(jié)點的條件轉移概率。

其中，p()是以為條件的條件密度函數(shù)。

傅里葉變換和逆變換的形式為

其中，f(x)和φ(u)分別為R t的概率密度函數(shù)與特征函數(shù)，φ(u)的表達式見式（4）。對于定義在[0，π]上的函數(shù)，其余弦展開如下式：

其中A k=f(θ)cos(kθ)dθ。式中的∑′符號表示在求和時的第1項需要乘以可以將上述余弦展開公式做換元變換，以作用于任意有限區(qū)間[a，b]∈R上。

從而傅里葉余弦展開變?yōu)橄率剑?/p>

其中系數(shù)A k為Fourier-Cosine系數(shù)，定義如下：

由傅里葉變換存在的必要條件可知，被積函數(shù)的值在趨近∞時應該趨向于零，所以可將積分區(qū)間從R進行縮減至區(qū)間［a，b］，并仍保留精度。即有

Fang和Oosterlee［7］中對［a，b］區(qū)間的確定給出了一種方法

其中，c n為n階累積量。若隨機變量x的特征函數(shù)記作φx(u)，記Ψ(u)=lnφx(u)，則c n：=(-i)nΨn(0).

序列系數(shù)A k又與條件特征函數(shù)φ1有直接的關系，可寫為

其中，φ1(u；x)=φ(u)?eiux，φ(u)已由式（4）給出。

又根據(jù)傅里葉理論，cosine序列函數(shù)屬于C∞([a，b]∈R)，有非零導數(shù)及指數(shù)收斂的性質。因此，序列系數(shù)截斷N0項，得到條件密度函數(shù)的逼近表達式：

對于任意區(qū)間[c，d]?[a，b]，對f(y|x)做積分便可以求得區(qū)間［c，d］對應的累計分布函數(shù)

令Υk(c，d)=)dy，則通過簡單的積分運算，可以直接求得Υk(c，d)：

Υk(c，d)=

綜上，條件轉移概率可由下式計算得到：

所以，在計算時刻t n下資產(chǎn)價格節(jié)點S ni到時刻t n+1下資產(chǎn)價格節(jié)點S n+1j的轉移概率p nij時，只需按照式（10）計算。其中，條件轉移概率的條件x為S ni，區(qū)間［c，d］即為[C n+1j，C n+1j+1]，計算方法由式（8）給出。

由此，結合1.1節(jié)資產(chǎn)價格的估計和1.2節(jié)轉移概率矩陣的計算，就完整地構造了基于VG這一Levy模型的柳樹。

1.3 計算歐式期權與美式期權價格

根據(jù)1.1與1.2節(jié)中構建的柳樹使用倒推法計算歐式與美式期權的價格。

對于到期日為T、敲定價格為K的歐式期權，它的價格可以通過從T時刻開始按離散時間節(jié)點一步步往前倒推得到。以歐式看漲期權為例，在到期日T時刻，第i個柳樹節(jié)點處的期權價值為

在時刻t N-1，第j個節(jié)點處的期權價值為

依次類推，在時刻t1，各節(jié)點處的期權價值為V1l，從S0轉移到時刻t1各節(jié)點的轉移概率為ql，則初始時刻t0的歐式期權價格為

對于到期日為T、敲定價格為K的美式期權，它的價格也可以通過從T時刻開始按離散時間節(jié)點往前倒推得到。同樣，在到期日T時刻，第i個柳樹節(jié)點處的看漲美式期權價值為

在時刻t N-1，第j個節(jié)點處的期權價值為

其中，g(，K)=max(-K).以此類推，可以計算得到t0時刻的美式期權價格。

2 柳樹法的截斷誤差

對定價VG模型下歐式期權的柳樹法進行誤差分析。由文獻［5］，在VG過程X t下，股票價格服從方程S t=S0e(r+ω)t+X t時，歐式期權價格V(S，t)服從以下PIDE方程：

其中，v(x)是VG過程X t的Levy測度。令D t=ln(S t)，則上式變換為：

使用柳樹法定價時，在t n時刻，期權的價格可以由倒推公式求得，即

定理1假設資產(chǎn)價格S服從S t=S0e(r+ω)t+X t，X t是VG過程，由柳樹法定價式（13）計算的歐式期權價值與方程（12）的真實解之間的截斷誤差為O(Δt)+R，即截斷誤差的大小取決于VG過程Xt的Levy測度v(x)的五階積分項

證明首先，在VG模型下，定義ΔD ji=-將柳樹法倒推式（13）中的在()處泰勒展開。

將柳樹法倒推式（13）中的貼現(xiàn)項e-rΔt泰勒展開，并將式（14）代入（13）：

將式（16）中的四階矩代入式（15），化簡得：

即可化簡得式（17）：

另一方面，因為服從VG過程X t的歐式期權的PIDE方程為式（12），考慮其中的積分項

其中，ξ∈(D i，D i+x)。將(D i+x，t n)的泰勒展開 式（18）代 入 積 分 項(D i+x，t n)v(x)dx中得：

所以式（12）中積分項為：

又由VG過程的性質，其Levy測度v(x)滿足：

將式（21）代入式（20），則式（12）中的積分項為

將式（22）與通過柳樹法計算得到的式（17）對比，則可得

所以，在VG過程X t下，由柳樹法定價式（13）計算的歐式期權價值與方程（12）的真實解之間的截斷誤差為O(Δt)+R。

由上述定理1可知，因為用柳樹法定價VG過程下歐式期權時，使用Johnson Curve方法匹配了VG過程的四階矩，所以截斷誤差里有五階矩的信息，柳樹法定價歐式期權的截斷誤差取決于式（23）中的余項R，即VG過程X t的Levy測度v(x)的五階積分項x5v(x)dx，當其很小時，柳樹法收斂。第3節(jié)數(shù)值實驗選取了VG過程的2組參數(shù)，如表1所示。這2組參數(shù)下，余項R分別為-1.65×10-7×(5)(ξ)和-2.64×10-6×(5)(ξ).余項R很小，數(shù)值結果也說明了柳樹法精度較高。

3 Variance Gamma模型下歐式期權與美式期權定價的數(shù)值實驗

通過實驗對不同參數(shù)的歐式期權與美式期權進行分析，比較柳樹法與蒙特卡洛方法的數(shù)值結果。所有數(shù)值實驗的程序均在操作系統(tǒng)為64位Windows10專業(yè)版的計算機上運行，內存為32GB，處 理 器 為Intel（R）Core（TM）i5-8400U CPU@2.80GHz，使用的軟件版本為Matlab R2018b。

實驗中，柳樹法中資產(chǎn)價格節(jié)點個數(shù)m=50，股票初始價格S0=100，蒙特卡洛方法的模擬路徑數(shù)為10萬次。選取2組VG模型參數(shù)的參數(shù)如表1所示。第1組參數(shù)選自文獻［17］，第2組參數(shù)選自文獻［18］。

在第1組數(shù)值實驗中使用柳樹法計算VG模型2組參數(shù)下不同離散步數(shù)歐式看漲期權的價值。固定敲定價格都為K=100，第1組參數(shù)的到期日T1=0.25，第2組參數(shù)的到期日T2=0.50。分別選取離散步數(shù)N為20、40、60、80步，實驗結果展示于表2。從表2可以看出，柳樹法的定價結果均落在蒙特卡洛模擬10萬次模擬的95%置信區(qū)間內。第1組參數(shù)使用文獻［7］中的傅里葉余弦方法得到的歐式期權價格為3.826 7，第2組參數(shù)使用傅里葉余弦方法得到的歐式期權價格為7.103 7，與柳樹法計算結果的相對誤差都小于0.5%，說明了柳樹法定價期權的精確性。比較柳樹法與蒙特卡洛方法的計算時間，柳樹法的計算時間則有明顯的優(yōu)勢。

表2 不同離散步數(shù)下柳樹法和蒙特卡洛法定價VG模型下歐式看漲期權的結果Tab.2 Results of European option pricing at different N values

表3展示了設定不同敲定價格K后柳樹法與蒙特卡洛方法的計算結果，這里統(tǒng)一令離散步數(shù)N為60。對于2組參數(shù)，設定敲定價格K分別為95、98、102和105，結果說明敲定價格K的變化不影響柳樹法定價歐式期權的表現(xiàn)，定價結果均落在蒙特卡洛模擬的99%置信區(qū)間內。

表3 不同敲定價格K下柳樹法和蒙特卡洛法定價VG模型下歐式看漲期權的結果Tab.3 Results of European option pricing at different K values

考慮歐式期權到期日時間的不同對柳樹法定價的影響，對于2組參數(shù)分別選取不同的到期日T，結果展示于表4中。結果表明到期日T的變化不影響柳樹法定價歐式期權的表現(xiàn)，定價結果均落在蒙特卡洛模擬的99%置信區(qū)間內。

表4 不同到期日T下柳樹法和蒙特卡洛法定價VG模型下歐式看漲期權的結果Tab.4 Results of European option pricing at different T values

接下來，通過數(shù)值實驗驗證柳樹法計算美式期權的精確性。表5展示了在不同離散時間步數(shù)時，柳樹法計算敲定價格K為100的美式看跌期權價格與蒙特卡洛方法的比較。蒙特卡洛方法使用了10萬次的最小二乘法模擬。從表5可以看出，柳樹法的計算結果均落在蒙特卡洛模擬的95%置信區(qū)間中，說明了柳樹法定價美式期權的精確性，并在計算時間上遠小于蒙特卡洛方法。

表6與表7展示了在不同的敲定價格K與不同的到期日T下，柳樹法與蒙特卡洛法對美式看跌期權的定價結果。柳樹法的計算結果完全落在95%的置信區(qū)間內，說明了敲定價與到期日這2個參數(shù)的變化不會影響柳樹法的準確性。

表5 不同離散步數(shù)下柳樹法和蒙特卡洛法定價VG模型下美式看跌期權的結果Tab.5 Results of American option pricing at differ?ent N values

表6 不同敲定價格K下柳樹法和蒙特卡洛法定價VG模型下美式看跌期權的結果Tab.6 Results of American option pricing at different K values

表7 不同到期日T下柳樹法和蒙特卡洛法定價VG模型下美式看跌期權的結果Tab.7 Results of European option pricing at different T values

4 結語

基于VG模型，運用柳樹法對歐式期權與美式期權進行了定價研究。首先，介紹了柳樹的構造過程，主要分為兩步：一是利用Johnson曲線轉換公式的逆變換，通過計算隨機變量的四階矩，將一個標準正態(tài)分布的隨機變量轉換成一個服從VG過程的連續(xù)隨機變量，得到標的資產(chǎn)價格的估計；二是由于VG模型滿足的條件概率函數(shù)復雜的特性，使用了傅里葉余弦近似的方法，計算得到資產(chǎn)價格節(jié)點相鄰時刻間的轉移概率，從而完整構造了基于VG模型的柳樹。并使用倒推的方法對歐式與美式期權定價。

分析了該算法對歐式期權定價的誤差，證明了柳樹法的截斷誤差為O(Δt)+R。最后，將用柳樹法定價VG模型下歐式與美式期權的結果與蒙特卡洛方法進行比較，數(shù)值實驗的結果表明，柳樹法不僅能達到蒙特卡洛方法的計算精度，而且在運行時間上明顯少于蒙特卡洛方法，從而說明了柳樹法在歐式與美式期權定價中的優(yōu)勢。

本文研究的VG模型只是Levy過程中的一種，未來的研究方向之一是將該方法推廣到其他的Levy過程，如Kou提出的雙指數(shù)跳擴散模型、NIG模型和CGMY模型等。