黃文杰，向鳳紅，毛劍琳

(昆明理工大學(xué)信息工程與自動(dòng)化學(xué)院，云南 昆明 650500)

1 引言

板球系統(tǒng)作為典型的多輸入多輸出系統(tǒng)，具有欠驅(qū)動(dòng)、耦合性和非線性強(qiáng)等特點(diǎn)[1]，對(duì)其控制算法的優(yōu)化可有效提高板球系統(tǒng)的定位控制和軌跡跟蹤的控制精度。盡管PID控制器[2]憑借結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)

單、可靠性高的特點(diǎn)在工程應(yīng)用中被廣泛使用，但在板球系統(tǒng)這一類非線性控制系統(tǒng)中很難達(dá)到控制要求[3,4]。因此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了自適應(yīng)控制策略[5]、T-S模糊控制[6]、H2控制器和魯棒性較強(qiáng)的H∞控制器[7]等方案，推動(dòng)了板球系統(tǒng)理論研究的發(fā)展。近年來，隨著人工智能研究的不斷深入，遺傳算法[8,9]、蟻群算法[10]、粒子群算法等近代啟發(fā)式優(yōu)化算法相繼在板球系統(tǒng)上得到應(yīng)用。從仿真結(jié)果上看，無論是小球的軌跡震蕩情況還是控制時(shí)間的長(zhǎng)短，都得到了一定程度的改進(jìn)，說明這些語法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單和運(yùn)算能力較強(qiáng)的智能算法均具有一定的應(yīng)用可行性。

目前板球系統(tǒng)的研究情況大多停留在理論論證方面，將可行方法應(yīng)用在實(shí)物實(shí)驗(yàn)的軌跡跟蹤的文獻(xiàn)較少。本文選取深圳固高科技公司自主研發(fā)的GBP2001型板球系統(tǒng)作為研究對(duì)象，研究了板球系統(tǒng)的方形軌跡跟蹤控制問題；將徑向基函數(shù)RBF(Radical Basis Function)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與經(jīng)典PID控制相結(jié)合，引入動(dòng)量因子改進(jìn)RBF-PID控制算法，用LM(Levenberg-Marquardt)算法代替梯度下降法整定PID控制參數(shù)，以解決板球系統(tǒng)穩(wěn)定性差、運(yùn)動(dòng)軌跡復(fù)現(xiàn)度差等問題。本文將該參數(shù)調(diào)整過程命名為L(zhǎng)M_RBF-PID控制算法。LM算法具有局部收斂性，同時(shí)有魯棒性強(qiáng)的特點(diǎn)[11]，在整定PID控制參數(shù)方面得到成功應(yīng)用[12]。但是，結(jié)合自適應(yīng)控制，針對(duì)板球系統(tǒng)這一類非線性控制系統(tǒng)的應(yīng)用工作尚屬首次，本文采用RBF-PID控制算法和LM_RBF-PID控制算法分別在GPB2001型板球系統(tǒng)完成軌跡跟蹤控制實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比分析表明，LM_RBF-PID控制算法具有更好的控制效果。

2 GBP2001板球系統(tǒng)建模

在GBP2001板球系統(tǒng)中，以球盤中心作為坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)建立坐標(biāo)系，如圖1所示。o′x′y′z′是世界坐標(biāo)系，oxyz是球板的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，z軸始終與球盤垂直，x軸和y軸始終與球盤平面平行，o與o′重合。

Figure 1 Ball and plate system coordinate definition schematic diagram圖1 板球系統(tǒng)坐標(biāo)定義示意圖

由圖1可知，板球系統(tǒng)包括小球位置坐標(biāo)(x,y)、球板轉(zhuǎn)動(dòng)角度(θ,β)4個(gè)自由度，由于其復(fù)雜的非線性特性，難以獲取其精確的數(shù)學(xué)模型，建模過程中在不影響系統(tǒng)特性的情況下做以下假設(shè)：

(1)小球在平板上無滑動(dòng)和繞小球垂直中心軸旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)[13]；

(2)忽略平板傾斜角度的限制以及平板面積的影響；

(3)小球在平板上始終和平板保持接觸狀態(tài)；

(4)小球和平板之間所有摩擦忽略不計(jì)；

(5)板體在x、y軸方向上關(guān)于其支撐點(diǎn)對(duì)稱并控制兩軸的機(jī)械條件相同。

分別在x、y2個(gè)方向?qū)ζ桨迳系男∏蜻\(yùn)動(dòng)完成解耦，得出x方向和y方向的二維分解示意圖，如圖2所示。

Figure 2 Two-dimensional decomposition of ball and plate system圖2 板球二維分解示意

經(jīng)分析，建立以拉格朗日法為基礎(chǔ)的板球系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，板球系統(tǒng)中各個(gè)參數(shù)如表1所示。

Table 1 Ball and plate system parameters table表1 板球系統(tǒng)參數(shù)表

進(jìn)一步通過動(dòng)力學(xué)分析，可得板球系統(tǒng)在x軸和y軸的非線性耦合動(dòng)力學(xué)方程如式(1)和式(2)所示：

(1)

(2)

在實(shí)際操作中，式(1)和式(2)中描述的非線性模型難以應(yīng)用。將其線性化后可得式(3)和式(4)，如下所示：

(3)

(4)

3 控制器的設(shè)計(jì)

3.1 RBF-PID算法原理

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在整定PID參數(shù)方面具有自學(xué)習(xí)和非線性逼近的能力，由此設(shè)計(jì)的控制器可以實(shí)現(xiàn)參數(shù)的自適應(yīng)調(diào)整，達(dá)到提高板球系統(tǒng)的穩(wěn)定性和高精度控制的目的。

如圖3所示，對(duì)板球系統(tǒng)完成解耦后可知x軸與y軸控制原理相同，x方向和y方向的控制器相同，通過庫(kù)設(shè)計(jì)控制器以控制x軸、y軸方向的誤差，從而使小球能實(shí)現(xiàn)沿設(shè)定軌跡運(yùn)動(dòng)的控制目標(biāo)。以rin(k)為輸入，yout(k)為輸出，e(k)為控制誤差，ymout(k)為辨識(shí)網(wǎng)絡(luò)的輸出，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)整定PID的控制結(jié)構(gòu)如圖4所示。

Figure 3 Ball and plate system RBF-PID parameter self-tuning control structure圖3 板球系統(tǒng)RBF-PID參數(shù)自整定控制結(jié)構(gòu)

Figure 4 RBF neural network PID control structure圖4 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)整定PID控制結(jié)構(gòu)

系統(tǒng)控制誤差為：

e(k)=rin(k)-yout(k)

(5)

RBF-PID控制器的3個(gè)輸入為：

(6)

u(k)表示第k次采樣時(shí)刻PID控制器的輸出值，其控制算法為：

u(k)=u(k-1)+Kpxc(1)+

Kixc(2)+Kdxc(3)

(7)

(8)

Kp、Ki、Kd3個(gè)參數(shù)如式(9)所示：

(9)

在PID參數(shù)的在線優(yōu)化過程中，X=[x1,x2,…,xn]T為網(wǎng)絡(luò)的輸入向量。設(shè)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層節(jié)點(diǎn)徑向基向量H=[h1,h2,…,hj,…,hf]T，其中hj為高斯基函數(shù)。第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的中心矢量為Cj=[cj1,cj2,…,cji,…,cjn]T，bj為隱含層節(jié)點(diǎn)j的基寬，網(wǎng)絡(luò)的權(quán)向量為W=[w1,w2,…,wj,…,wn]T。?yout(k)/?u(k)(Jacobian矩陣信息)通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)得到，第k時(shí)刻的?yout(k)/?u(k)可以近似等于?ymout(k)/?u(k)。

(10)

(11)

3.2 LM_RBF-PID算法原理

針對(duì)RBF-PID控制的軌跡跟蹤控制實(shí)驗(yàn)中系統(tǒng)實(shí)時(shí)性差且小球震蕩大的問題，本文提出使用LM算法代替梯度下降法的同時(shí)，引入動(dòng)量因子的解決方案。LM_RBF整定PID的控制結(jié)構(gòu)如圖5所示。

Figure 5 LM_RBF neural network PID control structure diagram圖5 LM_RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)整定PID控制結(jié)構(gòu)

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，在整定過程中均采用梯度下降法來尋找變量的局部極值。針對(duì)梯度下降法在實(shí)驗(yàn)中穩(wěn)定性較差且收斂速度慢的問題，在LM算法中引入動(dòng)量因子α，以達(dá)到削弱參數(shù)調(diào)整中震蕩的目的，引入動(dòng)量因子α后RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的迭代算法遵循式(12)：

(12)

其中，η為學(xué)習(xí)速率。

動(dòng)量因子α在參數(shù)調(diào)節(jié)過程中作為阻尼項(xiàng)，確保修正結(jié)果沿著參數(shù)收斂方向進(jìn)行調(diào)整，算法的收斂速度在很大程度上取決于動(dòng)量因子α的大小[14]。若α取值過小，收斂速度慢且穩(wěn)態(tài)偏差小，α取值過大，算法產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)偏差較大，故動(dòng)量因子α的取值對(duì)算法的整體控制效果至關(guān)重要，α取值與第k次的誤差指標(biāo)E(k)和第k-1次的誤差指標(biāo)的變化量ΔE(k-1)有關(guān)：

(13)

LM算法充分應(yīng)用RBF網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)得到的Jacobian信息實(shí)現(xiàn)了很好的控制效果。LM算法能有效處理參數(shù)的冗余問題，是介于梯度下降法和高斯牛頓法之間的一種非線性尋優(yōu)算法，非常適用于非線性問題的求解。

用x(k)表示第k次迭代時(shí)的參數(shù)，第k+1次迭代時(shí)新的參數(shù)為：

x(k+1)=x(k)-[JT(k)J(k)+μI]-1JT(k)e(k)

(14)

其中,e(k)為控制誤差，J為Jacobian矩陣，I表示單位矩陣，μ為大于0的標(biāo)量。Jacobian 矩陣信息為：

(15)

將上述算法應(yīng)用到PID控制器的參數(shù)整定過程中，PID參數(shù)向量K=[Kp,Ki,Kd]，則有：

(16)

用LM算法進(jìn)行優(yōu)化整定，板球系統(tǒng)中參數(shù)向量的變化量為：

(17)

3.3 算法應(yīng)用步驟

采用LM算法整定PID參數(shù)和引入動(dòng)量因子的LM_RBF-PID控制算法步驟如下所示：

步驟1設(shè)置RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)初值bj(0)、cji(0)、wj(0)和隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)f、學(xué)習(xí)速率η，由式(13)判斷決定動(dòng)量因子α的取值；

步驟2由系統(tǒng)的輸入γin(k)和輸出yout(k)通過式(6)和式(7)計(jì)算u(k)；

步驟4采用式(9)計(jì)算參數(shù)Kp(k)、Ki(k)、Kd(k)，利用LM_RBF-PID算法整定參數(shù)；

步驟5采用誤差反向傳播法，調(diào)整RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)bj(k)、cji(k)、wj(k)；

步驟6令k→k+1，重復(fù)步驟2～步驟5，直至算法收斂或達(dá)到終止條件，完成循環(huán)。

4 板球系統(tǒng)控制實(shí)驗(yàn)

4.1 板球系統(tǒng)仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證RBF-PID控制算法及其改進(jìn)算法的控制可行性，設(shè)計(jì)了RBF-PID控制算法和LM_RBF-PID控制算法的對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)。分別設(shè)置幅值為0.2的階躍信號(hào)和幅值為0.2、頻率為0.1 Hz的方波信號(hào)，Kp、Ki、Kd的初始值設(shè)置為0.02，0，0.5。在Matlab中搭建板球系統(tǒng)的控制仿真模型，二者階躍響應(yīng)和方波響應(yīng)曲線如圖6和圖7所示。

Figure 6 Response curves of step signal and square wave signal of RBF-PID algorithm圖6 RBF-PID算法的階躍信號(hào)和方波信號(hào)響應(yīng)曲線

Figure 7 Response curves of step signal and square wave signal of LM_RBF-PID algorithm圖7 LM_RBF-PID算法的階躍信號(hào)和方波信號(hào)響應(yīng)曲線

圖6和圖7中曲線分別為RBF-PID控制算法和LM_RBF-PID控制算法對(duì)階躍信號(hào)和方波信號(hào)的系統(tǒng)響應(yīng)曲線。對(duì)系統(tǒng)輸入階躍信號(hào)，由RBF-PID控制時(shí)板球系統(tǒng)的響應(yīng)曲線可知系統(tǒng)的超調(diào)量為12.25%，調(diào)節(jié)時(shí)間為8.3 s；采用LM_RBF-PID控制時(shí)板球系統(tǒng)的超調(diào)量為0，調(diào)節(jié)時(shí)間為1 s，LM_RBF-PID算法跟蹤方波響應(yīng)的效果也較好?？梢姡诜讲ㄐ盘?hào)作用下RBF-PID控制算法和LM_RBF-PID控制算法均能跟蹤方波信號(hào)，適用于時(shí)變系統(tǒng)的控制，而LM_RBF-PID控制算法的超調(diào)量低、響應(yīng)精度高，控制效果優(yōu)于RBF-PID控制算法。

4.2 板球系統(tǒng)軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證本文改進(jìn)算法的有效性，以GBP2001板球系統(tǒng)作為實(shí)物驗(yàn)證平臺(tái)，設(shè)定以坐標(biāo)(0,0)為中心、邊長(zhǎng)為60 mm的正方形目標(biāo)軌跡，選取多次軌跡跟蹤控制實(shí)驗(yàn)中控制效果較好的參數(shù)值，小球的初始位置坐標(biāo)設(shè)定為(0,0)，分別采用RBF-PID控制算法和LM_RBF-PID控制算法在板球系統(tǒng)完成控制時(shí)間為30 s的方形軌跡跟蹤控制實(shí)驗(yàn)。經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)對(duì)比及整定分析，實(shí)驗(yàn)中RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的主要參數(shù)設(shè)置如表2所示。表2中隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)目設(shè)為6，學(xué)習(xí)速率為0.01，PID的初始參數(shù)值設(shè)定為Kp=20，Ki=1和Kd=120。選取RBF-PID和LM_RBF-PID控制算法分別完成方形軌跡跟蹤的實(shí)驗(yàn)。為提高實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)確度和可重復(fù)性，實(shí)驗(yàn)過程中保持實(shí)驗(yàn)平臺(tái)、小球初始位置、光線等環(huán)境不變，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8所示。RBF-PID和LM_RBF-PID的方形軌跡跟蹤誤差對(duì)比量化結(jié)果如表3所示。其中，振幅5%以上表示小球運(yùn)動(dòng)軌跡在63*63(mm)以外。

Table 2 Initial value of each control parameter in the experiment表2 實(shí)驗(yàn)中各控制參數(shù)初始值

由圖8可知，小球在球盤上運(yùn)動(dòng)過程中，小球的目標(biāo)位置和小球的運(yùn)動(dòng)方向在正方形頂點(diǎn)處會(huì)發(fā)生較大變化，且小球的慣性會(huì)造成響應(yīng)延遲，導(dǎo)致在小球整段軌跡中4個(gè)頂點(diǎn)位置處的軌跡波動(dòng)較大。在RBF-PID控制過程中軌跡的誤差較大，運(yùn)動(dòng)曲線不夠穩(wěn)定，對(duì)于設(shè)定的方形軌跡不能精確復(fù)現(xiàn)，如表3所示，其最大震蕩位移為68.4 mm，且軌跡振幅>5%的時(shí)長(zhǎng)為22.8 s。而在LM_RBF-PID控制過程中，小球的最大震蕩位移為63.8 mm，運(yùn)動(dòng)軌跡振幅>5%的時(shí)長(zhǎng)也縮短至8.5 s，隨著小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間的增加，誤差越來越小，軌跡跟蹤精度越來越高，能夠完成方形軌跡的精確跟蹤。

Figure 8 Square trajectory tracking curve of the ball圖8 小球方形軌跡跟蹤曲線

Table 3 Tracking error comparison of square trajectory表3 方形軌跡跟蹤誤差對(duì)比

5 結(jié)束語

本文主要研究了GPB2001非線性板球控制系統(tǒng)，提出用LM算法代替梯度下降法整定PID控制參數(shù)，以實(shí)現(xiàn)RBF-PID控制的優(yōu)化，通過在Matlab中的仿真實(shí)驗(yàn)，證明了其跟蹤非線性時(shí)變系統(tǒng)的有效性。通過軌跡跟蹤的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，RBF-PID和LM_RBF-PID控制算法均完成了板球系統(tǒng)的方形軌跡跟蹤控制，LM_RBF-PID控制算法在軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)中，得到的小球軌跡的精確度更高、穩(wěn)定性更強(qiáng)，控制精度優(yōu)于RBF-PID控制算法的，能夠取得更好的控制效果。