甘凌浩, 鄧紅輝, 陳紅梅, 孟 煦, 閆 輝, 尹勇生

(1.合肥工業(yè)大學 微電子設(shè)計研究所,安徽 合肥 230601; 2.合肥工業(yè)大學 教育部IC網(wǎng)上合作研究中心,安徽 合肥 230601)

現(xiàn)代通信系統(tǒng)(如寬頻衛(wèi)星接收器、有線電視調(diào)諧器和軟件無線電)均需要高速、高精度和低功耗的模數(shù)轉(zhuǎn)換器(analog-to-digtial converter,ADC),時間交織(time-interleaved, TI)結(jié)構(gòu)作為一種有效解決方案成為當前的研究熱點[1]。時間交織ADC的結(jié)構(gòu)圖和時序圖如圖1所示,它通過使用M個子ADC通道并行操作,以一種節(jié)約功耗的方式提升了整體的轉(zhuǎn)換速度[2]。然而,由于工藝偏差,通道之間的失調(diào)、增益和采樣時間失配誤差降低了ADC的性能,因此有必要對此進行校準[3]。相比于可以通過統(tǒng)計求平均來校準的失調(diào)和增益誤差,采樣時間誤差產(chǎn)生的誤差與輸入信號相關(guān),這增加了校準的復雜度。特別是輸入高頻信號時,采樣時間誤差的影響很大,由于時間交織結(jié)構(gòu)主要應(yīng)用于高速環(huán)境,因此,采樣時間誤差的校準已成為時間交織結(jié)構(gòu)中的主要問題[4-5]。

圖1 時間交織ADC的結(jié)構(gòu)圖和時序圖

近年來,已有多篇文獻對于時間交織模數(shù)轉(zhuǎn)換器(time-interleaved analog-to-digital converter, TIADC)采樣時間失配誤差提出了不同的校準方法和結(jié)構(gòu)。按照校準操作是否能與ADC正常轉(zhuǎn)換并行執(zhí)行可劃分為前臺校準技術(shù)和后臺校準技術(shù),按照校準執(zhí)行的信號域不同可劃分為模擬校準、數(shù)?；旌闲屎腿珨?shù)字校準[6]。因為前臺校準無法與ADC的正常轉(zhuǎn)換并行執(zhí)行,而模擬域的電路易受工藝、溫度、電壓等因素影響,其應(yīng)用范圍受到限制,所以全數(shù)字后臺校準技術(shù)成為目前的研究重點。

對于TIADC中采樣時間失配誤差的全數(shù)字后臺校準技術(shù),其可劃分為由誤差提取和誤差補償所構(gòu)成的反饋式和前饋式2種校準結(jié)構(gòu)[7]。對于這2種結(jié)構(gòu)而言,誤差補償?shù)氖侄畏N類較少,主要有插值法(多為泰勒)和濾波器等[8]。而誤差提取的手段則多有不同,主要原理為基于過零/極值點檢測[9]、通道相關(guān)[10-12]、參考通道[13]和劈分結(jié)構(gòu)[14-15]等。反饋式結(jié)構(gòu)中對于采樣時間誤差的提取采用LMS迭代,需要形成一個反饋環(huán)路。前饋式結(jié)構(gòu)中無需反饋環(huán)路,而是直接提取出采樣時間誤差。大多數(shù)情況下反饋式結(jié)構(gòu)能夠獲得更好的精度且復雜度更低,而前饋式結(jié)構(gòu)的速度更快。

本文提出了反饋式校準結(jié)構(gòu)中通過最小均方(least mean square,LMS)迭代提取采樣時間誤差的通用方法,并據(jù)此推導提出了一種基于互相關(guān)原理的反饋式校準結(jié)構(gòu),該結(jié)構(gòu)適用于任意通道數(shù),且能完成過奈奎斯特頻域的寬帶寬單頻輸入信號的校準。

1 LMS自適應(yīng)迭代的誤差提取

TIADC采樣時間誤差的反饋式校準結(jié)構(gòu)如圖2所示,其誤差提取通過LMS迭代實現(xiàn),采樣時間誤差Δt的迭代過程如下:

Δtn+1=Δtn+μsgn(Δt)|R(Δt)|

(1)

其中,μ為迭代步長;sgn(Δt)為Δt的符號,即實際采樣點超前或滯后于理想采樣點,也決定了迭代的方向;R(Δt)為與Δt相關(guān)的函數(shù),且在朝正確的方向迭代和補償采樣時間誤差時,補償后的信號中|R(Δt)|逐漸減小且最終趨于0。當R(Δt)和sgn(Δt)關(guān)系明確時,可將其合并為一項。隨著沿sgn(Δt)方向的不斷迭代,Δtn+1愈發(fā)趨近于實際采樣時間誤差值,補償后的信號中采樣時間誤差越來越小,|R(Δt)|愈發(fā)趨于0,Δt的迭代變化愈發(fā)緩慢且最終達到一個穩(wěn)定值。

此外,若迭代步長μ越小,則迭代速度越慢,但最終結(jié)果的波動也越小;若迭代步長μ越大,則迭代速度越快,但最終結(jié)果的波動也越大,對此則有文獻進行了兼顧速度與精度的有關(guān)變步長迭代的研究。

圖2 反饋式誤差校準結(jié)構(gòu)

采樣時間誤差提取的原理主要可分為:① 基于比較的過零/極值點檢測、參考通道、劈分結(jié)構(gòu)等;② 基于通道相關(guān)的互相關(guān)和平均絕對求差等。以下根據(jù)(1)式對基于不同原理的LMS迭代提取誤差進行分析。

1.1 基于比較的LMS自適應(yīng)迭代

過零點檢測校準[9]的原理為統(tǒng)計時間交織ADC中各子通道完成的零點穿越次數(shù)以判定采樣時間誤差Δt。yi-1[k]、yi[k]分別為第i-1通道和第i通道的第k次采樣得到的數(shù)據(jù),當yi-1[k]和yi[k]符號相反時,就定義為通道i完成了一次零點穿越。理想情況下,對于M通道TIADC,采樣點y1[k],…,yi[k],yi+1[k],…,yM[k],y1[k+1](k=0,1,…,N,N應(yīng)為一個較大值)之間的時間間隔是等間距的,因而各子通道完成的零點穿越次數(shù)Z也應(yīng)相同。而各子通道的Δt破壞了該關(guān)系，即只考慮第i通道的采樣時間誤差Δti,若第i通道完成的零點穿越次數(shù)Z(i)大于所有通道零點穿越次數(shù)的平均值Z(Aver),則第i-1通道和第i通道之間的時間間隔大于平均時間間隔,即Δti符號為正,因而sgn(Δti)=sgn[Z(i)-Z(Aver)]。而在正確校準時,Z(i)和Z(Aver)的差值應(yīng)趨于0,因而|R(Δti)|=|Z(i)-Z(Aver)|。對應(yīng)(1)式,Δti可用迭代求得，即

(2)

將(2)式擴展應(yīng)用于所有子通道,即可完成整體的校準。

參考通道校準[13]的原理為以參考通道為基準對子通道進行校準。對于M通道TIADC,增加一個額外的參考通道,該參考通道應(yīng)與所有子通道均有相對應(yīng)的采樣點。因而子通道采樣頻率為fsub=fs/M時,參考通道采樣頻率多為fref=fs/(M+1)。對于采樣時間誤差為Δti的第i通道的采樣點,可通過該點處導數(shù)的符號sgn(yi′),及該點處第i通道采樣值yi和參考通道采樣值yref的差值 Δy=yi-yref的符號sgn(Δy)判斷Δti的符號，即sgn(Δti)=sgn(yi′)sgn(Δy)。而在正確校準時,Δy的值應(yīng)趨于0,因而|R(Δti)|=|yi-yref|。對應(yīng)(1)式,Δti可用迭代求得,即

(3)

將(3)式擴展應(yīng)用于所有子通道,所有子通道均會以參考通道為基準進行校準。此外,(3)式中導數(shù)yi′通過相鄰通道的采樣值以三點求導法獲得,在失調(diào)誤差和采樣時間誤差的影響下通過三點法求得的sgn(yi′)不總是準確的,但文獻[13]中對此統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)正確的符號比率始終超過50%,因而不會影響宏觀的迭代方向。

劈分校準的原理為通過不同劈分通道的對應(yīng)采樣值之差提取并補償采樣時間誤差。文獻[14]中劈分結(jié)構(gòu)TIADC對于每個采樣點總是有2個劈分通道采樣,理想情況下其采樣時刻和采樣值均應(yīng)相同,但實際中采樣值產(chǎn)生了一個與輸入信號和采樣時間誤差相關(guān)的偏差。因而可將對應(yīng)采樣點的差值作為與Δt相關(guān)的函數(shù)R(Δt)以驅(qū)動LMS迭代,而sgn(Δt)的判斷通過列出相應(yīng)方程組得出。文獻[15]在此基礎(chǔ)上提出劈分互質(zhì)通道組,其可通過參考通道角度以(3)式的展開應(yīng)用以迭代法提取誤差。

1.2 基于通道相關(guān)的LMS自適應(yīng)迭代誤差

對于(1)式中LMS迭代提取采樣時間誤差通用特點的應(yīng)用,上述幾種基于比較的迭代均較為直觀和明確。而基于通道相關(guān)原理提取采樣時間誤差目前主要有互相關(guān)和平均絕對求差2種[16],此時使用LMS迭代提取誤差需要進行具體的分析和推導。

對于一個整體采樣速率為fs的M通道TIADC,其各子通道采樣速率均為fs/M。對于模擬輸入信號x(t),第i通道(i=1,2,…,M)的第k次輸出為yi[k],且yM+1[k]=y1[k+1],只考慮采樣時間誤差,yi[k]可以寫為:

yi[k]=x[(kM+i)Ts+Δti]

(4)

其中,Ts=1/fs,為系統(tǒng)周期;Δti為第i通道的采樣時間誤差。定義輸入信號x(t)的自相關(guān)函數(shù)S(τ)為:

(5)

則相鄰的第i通道和第i+1通道輸出乘積的期望ci為:

S(Ts+Δti+1-Δti)

(6)

其中,N應(yīng)為一個較大值,根據(jù)一階泰勒近似展開(6)式,可得:

(7)

其中,dS(Ts)/dτ為自相關(guān)函數(shù)S(τ)在Ts處的導數(shù),類似推導可得相鄰的第i-1通道和第i通道輸出的量化值乘積的期望ci-1為:

(8)

則相鄰的ci和ci-1的差值為:

(9)

對于(9)式只考慮第i通道的采樣時間誤差Δti,可得:

(10)

對(10)式左右兩側(cè)均取符號函數(shù),可得:

(11)

此外,正確地迭代和補償采樣時間誤差時Δti逐漸趨于0,因而(10)式中R(Δti)也會逐漸趨于0,將(10)式、(11)式代入(1)式，可得Δti的迭代過程為:

(12)

將(12)式應(yīng)用于所有子通道并補償采樣時間誤差時,最終所有子通道的Δt的迭代將達到一個動態(tài)的平衡,因而(9)式到(10)式的轉(zhuǎn)換不會出現(xiàn)問題。

上述為基于互相關(guān)使用LMS迭代提取采樣時間誤差的推導。類似地,參照文獻[10]中的相關(guān)推導,基于平均絕對求差的Δti的迭代過程應(yīng)為:

(13)

其中,di為相鄰的第i通道和第i+1通道(i=1,2,…,M)輸出相減的絕對值的期望,即

(14)

(13)式和(14)式中dS(Ts)/dτ是相同的,S(τ)均為(5)式中x(t)的自相關(guān)函數(shù)。dS(Ts)/dτ可通過第i通道輸出yi[k]和第i+1通道輸出的導數(shù)yi+1′[k]的乘積的長期累加平均求得近似，即

(15)

根據(jù)文獻[10]中的闡述,當輸入奈奎斯特頻域范圍(0,fs/2)內(nèi)的單頻或多頻信號時,dS(Ts)/dτ的符號值均為-1。因而此時(12)式、(13)式可以分別簡化為(16)式、(17)式,即

(16)

(17)

2 過奈奎斯特頻域單頻信號的校準

一個完整的反饋式校準結(jié)構(gòu)除了上述的誤差提取部分還需誤差補償部分,此處采用(16)式中基于互相關(guān)的誤差提取,以及基于泰勒展開公式的三階泰勒補償，即

(18)

其中,y[n]cal為校準后輸出;y[n]為校準前輸出;y(τ)[n]為該采樣點處的τ階導數(shù)；Δt為迭代得出的采樣時間誤差值。對于需要應(yīng)用的導數(shù)y(τ)[n],此處求導選用結(jié)構(gòu)簡單、便于實現(xiàn)的三/五點求導法。三點求導法求一階導數(shù)公式為:

(19)

此外,使用實際信號求得的導數(shù)值代替理想導數(shù)值導致了偏差,因而采用三階級聯(lián)泰勒補償結(jié)構(gòu)以獲取更好的補償效果,如圖3所示。前一級完成低階誤差補償后的結(jié)果輸出到下一級中,用于重新構(gòu)建待補償?shù)恼`差項,再從y[n]中減去重建的誤差項。

圖3 三階級聯(lián)泰勒補償結(jié)構(gòu)

2.1 單頻信號應(yīng)用三/五點求導法時的特性

當輸入單頻信號的頻率為fin時,輸入信號x(t)的表達式為:

x(t)=Gsin(ωt+φ)=Gsin(2πfint+φ)

(20)

其中,G為信號幅度;φ為初始相位。使用任意的頻率為fs的時鐘信號,對輸入信號x(t)采樣保持后,再通過ADC的輸出為:

y[n]=Gsin(2πfinnTs+φ)=

Gsin(2πεn+φ)

(21)

其中,ε=fin/fs,為輸入信號的歸一化頻率,需注意此時并不一定滿足采樣定理fs≥2fin,即ε取值范圍限制僅為ε>0。以下通過該單頻輸入信號進行分析。

對于任意相鄰點y[n]、y[n+1]、y[n+2],令α=2πεn+φ,θ=2πε,則有:

(22)

y[n+1]處的一階理想導數(shù)值為:

y′[n+1]ideal=Gcos[2πε(n+1)+φ]2πε=

Gcos(α+θ)θ

(23)

將(22)式代入(19)式,根據(jù)三點求導法求得的y[n+1]處的實際一階導數(shù)值為:

Gcos(α+θ)sinθ

(24)

則(24)式中y[n+1]處三點求導法求得的實際一階導數(shù)值與(23)式中理想一階導數(shù)值的比值為:

(25)

(25)式結(jié)果為只與歸一化頻率ε(ε>0)相關(guān)的定值,且由洛必達法則可知,當ε趨于0時,該值趨于1。此外,若一直使用三點求導法求τ階導數(shù),則求得的實際τ階導數(shù)與理想值之比為:

(26)

五點求導法與三點求導法類似,當輸入單頻信號時,求得的實際導數(shù)與理想導數(shù)值之比為與輸入信號歸一化頻率相關(guān)的定值。

2.2 過奈奎斯特頻域單頻信號的校準

誤差補償?shù)?18)式中需要用到導數(shù),而由(25)式可知,通過三點求導法實際求得的一階導數(shù)值為理想導數(shù)值的(sin 2πε)/2πε倍。由于歸一化頻率ε>0,當ε處于(k,k+1/2)區(qū)間時(k=0,1,2,…),(sin 2πε)/2πε為正數(shù),此時補償方向正確;當ε處于(k+1/2,k+1)區(qū)間時,(sin 2πε)/2πε為負數(shù),則會導致補償方向發(fā)生錯誤。

此外,歸一化頻率ε對于誤差提取中的迭代方向也會產(chǎn)生影響。對于(12)式而言,dS(Ts)/dτ的符號值決定了迭代方向,而其符號值的正負受ε取值范圍控制。結(jié)合(15)式,以(20)式中的單頻信號作為輸入信號進行推導,即

(27)

(27)式通過單頻信號應(yīng)用三點求導法時的特性對x′(t+Ts)進行了一次轉(zhuǎn)換。令α=2πfint+φ,θ=2πfinTs=2πε,則(27) 式中積分部分可以寫為:

(28)

其中,θ為定值而α為變量;(cos 2α)/2、-[cos 2(α+θ)]/2在長期積分下其值均為0,因而(28)式最終值為-G2sin2θ,代入(27)式可得:

(29)

當θ≠kπ(k=0,1,2,…),即歸一化頻率ε≠k/2時,-G2sin2θ為一個負值,否則其值為0。

因此由(29)式可知,輸入過奈奎斯特頻域單頻信號時,將dS(Ts)/dτ視為負數(shù)的(16)式中誤差提取方向可能發(fā)生錯誤。當ε處于(k,k+1/2)區(qū)間時(k=0,1,2,…),dS(Ts)/dτ為負數(shù),此時(16)式中誤差提取方向正確;當ε處于(k+1/2,k+1)區(qū)間時,dS(Ts)/dτ為正數(shù),導致(16)式中誤差提取方向發(fā)生錯誤,與本應(yīng)迭代的方向相反。

若誤差提取和誤差補償方向同時錯誤,則由(18)式、(26)式可知兩者的錯誤會抵消,使得整體校準能夠正確地進行。因此應(yīng)用基于互相關(guān)的(16)式提取誤差,和使用三點求導法的三階級聯(lián)泰勒補償結(jié)構(gòu)時,在第1～第4奈奎斯特頻域范圍中,用“+”表示方向正確,“-”表示方向錯誤,則誤差提取、誤差補償和整體校準在不同區(qū)間的方向正確與否見表1所列。

表1 誤差提取、誤差補償和整體校準方向

從表1可以看出,誤差提取和誤差補償方向的正誤總是一致的,使得整體校準的方向總是正確的。而在其他奈奎斯特頻域范圍中也是如此,因此此時能夠?qū)^奈奎斯特頻域的寬帶寬單頻輸入信號進行校準。類似地,使用基于平均絕對求差的(17)式提取誤差時也是如此。而使用五點求導法替代三點求導法時,推導過程與結(jié)果均一致。

需要注意的是,根據(jù)(29)式,單頻輸入信號的歸一化頻率必須滿足ε≠k/2(k=0,1,2,…),否則會導致dS(Ts)/dτ=0而無法校準,且輸入信號頻率在這些頻點附近時采樣時間誤差的迭代過程緩慢。

基于互相關(guān)的整體反饋式校準結(jié)構(gòu)如圖4所示,其對TIADC復合后輸出進行處理,yi為第i通道的輸出。使用硬件復用技術(shù)以降低復雜度,ycal,i即為校準后輸出。

圖4 整體的反饋式誤差校準結(jié)構(gòu)

3 仿真驗證

基于MatlabSimulink平臺，建立了一個對應(yīng)于圖4的4通道12-bit TIADC校準模型，以進行仿真和驗證。整體采樣速率fs=1 GS/s，設(shè)置各子通道采樣時間誤差為[Δt1, Δt2, Δt3, Δt4]=[-0.8%, 0.2%, 2.2%, 1.2%]Ts。當輸入單頻信號歸一化頻率fin/fs=0.474時，校準前后頻譜圖如圖5所示。

圖5 輸入高頻信號時校準前后的頻譜圖

從圖5可以看出，校準后的輸出有效位數(shù)(effective number of bits,ENOB)從4.64 bits提高到11.96 bits，信噪比(signal to noise ratio, SNR)、信噪失真比(signal to noise and distortion ratio, SNDR)和無雜散動態(tài)范圍(spurious free dynamic range, SFDR)分別提升了44.15、44.07、66.79 dB，總諧波失真(total harmonic distortion, THD)提升3.32 dB。

此外,對于歸一化頻率fin/fs分別為0.05,0.15,…,1.95的單頻輸入信號,校準前后的有效位數(shù)如圖6所示,可見所提出的結(jié)構(gòu)對于過奈奎斯特頻域單頻信號校準的有效性。圖6也反映了在無法校準的fin/fs=k/2(k=0,1,2,…)處附近,校準效果下降的問題。

圖6 寬帶寬單頻輸入信號校準前后有效位數(shù)

4 結(jié) 論

本文提出了反饋式全數(shù)字后臺校準技術(shù)中通過LMS迭代提取TIADC采樣時間誤差的通用方法,并基于互相關(guān)原理設(shè)計了一種反饋式校準結(jié)構(gòu)。該結(jié)構(gòu)適用于過奈奎斯特頻域的寬帶寬單頻輸入信號,可用于任意通道數(shù)。對于過奈奎斯特頻域單頻信號的校準,本文進行了詳細地推導和說明。