竇躍文

(天津市河?xùn)|區(qū)職工大學(xué) 天津 300170)

數(shù)學(xué)學(xué)科是當今社會最為重要和最為基礎(chǔ)的學(xué)科,它不僅為自然科學(xué)、工程技術(shù)以及社會科學(xué)提供了有力的工具,而且隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和社會的發(fā)展,不斷產(chǎn)生新的高科技,成為現(xiàn)代經(jīng)濟技術(shù)的關(guān)鍵部分。微積分作為數(shù)學(xué)的一個分支,在經(jīng)濟科學(xué)、管理科學(xué)中也有著廣泛的應(yīng)用,隨著計算機技術(shù)及其它高科技的普及和發(fā)展,它在經(jīng)濟及其管理中的重要性日漸突出,并且越來越多的滲透到經(jīng)濟領(lǐng)域。

經(jīng)濟學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)有客觀基礎(chǔ)。經(jīng)濟學(xué)研究的對象是人與人之間通過“物的交換”是有量化規(guī)則的，經(jīng)濟學(xué)基本范疇如需求、供給、價格等是量化的概念，經(jīng)濟學(xué)所揭示的規(guī)律性往往需要數(shù)量的說明。彈性分析就是研究價格變化對市場需求量和供給量的影響程度。

一、彈性的概念

函數(shù)的改變量與函數(shù)的變化率實際上是絕對改變量與絕對變化率，僅僅研究這些還是不夠，在市場上，假若一千克大米由2元上漲1元和一千克黃金由100000元上漲100元，哪一種商品價格的波動對你震動比較大，顯然是大米，雖然大米每千克單位價格的改變量是1，黃金每千克單位的改變量是100，但這兩個量是絕對改變量，實際上大米的漲幅是1/2=50%，黃金的漲幅是100/100000=0.1%，當然大米的漲幅對我們振動比較大。這里就涉及到相對改變量，同樣對一個函數(shù)y=f(x)，當自變量x相對改變時，因變量y的相對改變受到什么影響。于是我們引入彈性這個概念。

彈性是用來描述一個經(jīng)濟變量對另一個經(jīng)濟變量變化時,所做出反應(yīng)的強弱程度。即彈性是用來描述一個量對另一個量的相對變化率的一個量。

從定義可以看出函數(shù)f(x)的彈性是函數(shù)的相對該變量與自變量的相對改變量比值的極限，它是函數(shù)的相對變化率，或解釋成當自變量變化百分之一時函數(shù)變化的百分數(shù)。彈性是一個無量綱的數(shù)值，這一數(shù)值與計量單位無關(guān)。

例1.當a、b、α為常數(shù)時，求下列函數(shù)的彈性函數(shù)及在點x=1處的點彈性，并闡述其經(jīng)濟意義。

二、常用彈性函數(shù)

彈性分析(elasticity analysis)和邊際分析(marginal analysis)是經(jīng)濟學(xué)上研究自變量和因變量間定量變動關(guān)系的兩種基本手段。邊際分析是分析變量間絕對變動關(guān)系；而彈性分析是分析變量間相對變動關(guān)系，包括需求彈性、供給彈性、廣告彈性等。

(一)需求彈性

需求彈性是衡量一種商品的需求對于其影響因素變化做出反應(yīng)的敏感程度。即需求彈性是需求的一種影響因素(自變量)的值每變動百分之一所引起的需求量變化的百分比。需求量是指在一定條件下，消費者有支付能力并愿意購買的商品量。消費者對某種商品的需求量是由多種因素決定的，商品價格是影響需求量的一個主要因素，但還有許多其它因素，如消費者的收入增減、其它代用品的價格、社會消費水平等都會影響需求量。按影響需求的因素主要分為需求價格彈性(demand elasticity)、需求交叉彈性(cross-price elasticity)、需求收入彈性(income elasticity)。

1.需求價格彈性

(1)缺乏彈性(inelasticity)Edp<1：需求量的變動率小于價格的變動率；

(2)富有彈性(elasticity)Edp >1；

(3)單一彈性(unitary elasticity)Edp = 1，特殊商品，計劃支出：在該商品上的支出不變；

(4)完全彈性(perfect elasticity)Edp→∞，特殊情況，完全競爭企業(yè)需求曲線、計劃價格；

(5)完全無彈性(perfect inelasticity)Edp=0，特殊情況，價格的變動對需求量完全無影響絕對必需第三方支付。

決定需求價格的因素有：該商品的必需程度(necessity)，替代品的可獲性(availability of substitute goods)，在消費總支出中占有比例的大小(rate)，考察的時間長短(time)，商品定義的寬窄(scope)。不同國家、不同時期、不同地區(qū)不同人的需求價格彈性不相同，不能簡單的照搬。

(2)Edp|p = 4= -0.92，Edp|p = 4.35= -1，Edp|p = 5= -1.15。

2.需求收入彈性

3.需求交叉價格彈性

EYX>0：替代品，兩種商品可以相合替代，彈性越大，替代性越強；

EYX<0：互補品，彈性絕對值越大，互補性越強；

EYX=0：獨立品。

交叉彈性的應(yīng)用于判斷商品間的替代、互補關(guān)系，分析替代品、互補品價格變動對本產(chǎn)品的需求影響。

(二)供給彈性

(三)廣告彈性

需求的廣告彈性 = 需求量變動的百分比 / 廣告支出變動的百分比。廣告彈性系數(shù)越大，銷售量對廣告預(yù)算變化的反應(yīng)就越敏感。

在商品經(jīng)濟中，商品經(jīng)營者關(guān)心的是提價(Δp>0)或降價(Δp<0)對總收益的影響。下面利用需求價格彈性的概念，可以得出價格變動如何影響銷售收入的結(jié)論，即需求價格彈性對企業(yè)收入的影響。企業(yè)的銷售收入與商品價格和銷售量相關(guān)：R(Q)= P·Q，

dR(Q)= QdP + PdQ= QdP(1-Edp)，

dR(Q)/dP=Q(1-Edp)。

∴當Edp>1(稱為高彈性)時,dR(Q)/dP<0,企業(yè)收入與價格變動方向相反，此時,降價(Δp<0)將使收益增加，提價(Δp>0)將使收益減少；

當Edp<1(稱為低彈性)時，dR(Q)/dP>0，企業(yè)收入與價格變動方向相同，此時,降價(Δp<0)將使收益減少，提價(Δp>0)將使收益增加；

當Edp=1(稱為單位彈性)時,dR(Q)/dP=0，此時,無論是降價還是提價均對收益沒有明顯的影響。

故：當商品的需求價格彈性不同時，企業(yè)的定價策略也不一樣。

由此對例2而言當p=4時，|Edp|<1(低彈性),此時降價使收益減少，提價使收益增加；當p=4.35時,|Edp|=1(單位彈性),此時降價、提價對收益沒有明顯的影響；當p=5時,|Edp|>1(高彈性),此時降價使收益增加，提價使收益減少。

彈性分析為經(jīng)濟管理決策提供數(shù)學(xué)模型支撐和科學(xué)依據(jù)，在很大程度上影響企業(yè)管理者對市場的分析和決策，為企業(yè)增創(chuàng)收益。