王光燦

（福建省寧德市高級中學(xué)，福建寧德 352100）

引 言

在當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)轉(zhuǎn)變學(xué)生的單一解題思維，引導(dǎo)學(xué)生探究多元化的解題思路，以充分理解和靈活運用數(shù)學(xué)函數(shù)知識。

一、引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想開展函數(shù)問題的分析

教師可以引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合角度，創(chuàng)新學(xué)生的函數(shù)解題思維，使其將抽象的函數(shù)概念轉(zhuǎn)為形象的圖形，從而有效地提升高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題的效率和質(zhì)量。

以下面這道高中數(shù)學(xué)函數(shù)題目為例：設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域為(-∞，0)∪(0，+∞)且在(0，+∞)上單調(diào)遞增，f(1)＝0，則不等式的解集是什么？

分析：在解答這道函數(shù)題目時，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合解題思維，結(jié)合相關(guān)的函數(shù)圖像來理解函數(shù)問題。這樣，學(xué)生可以有效地找到解題的突破口，以盡快地形成函數(shù)解題思路[1]。首先，根據(jù)這道函數(shù)例題，教師可以提醒學(xué)生從題目中的已知條件來找到數(shù)形結(jié)合的點。比如，從題目“奇函數(shù)f(x)的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，f(1)＝0”這些描述中，學(xué)生可以畫出y=f(x)的圖像（見圖1）。

圖1

由上述圖像可知，當(dāng)x∈（-1，0）∪（1，+∞）時f(x)＞0，當(dāng)x∈（-∞，-1）∪（0，1）時f(x)＜0。然后，學(xué)生可以結(jié)合具體的函數(shù)圖像，回歸到函數(shù)的計算問題。比如，根據(jù)題目中的問題，不等式則有最后，學(xué)生可以根據(jù)具體的不等式，求出不等式的解集。

二、指導(dǎo)學(xué)生運用創(chuàng)新的構(gòu)造解題思路解答數(shù)學(xué)函數(shù)問題

在眾多的解題思路中，構(gòu)造思維方法也是一種很好的數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路。它是在原有函數(shù)題目基礎(chǔ)之下，進行條件或者結(jié)論的假設(shè)，以利用數(shù)學(xué)函數(shù)題目中的相關(guān)信息，構(gòu)造出滿足函數(shù)題目所需的條件和結(jié)論，促使復(fù)雜的函數(shù)問題簡單化，從而找到函數(shù)問題的解答方法[2]。

以下面這道數(shù)學(xué)函數(shù)問題為例：f(x)是定義在R 上的偶函數(shù)，當(dāng)x＜0 時，f(x)+xf'(x＜0)，且f(-4)=0，則不等式xf'(x＞0)的解集是 。

分析：從函數(shù)題目中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察和尋找其中存在的函數(shù)關(guān)系。比如，題目中的f(x)+xf'(x＜0)，出現(xiàn)了“+”的符號，那么教師可以引導(dǎo)學(xué)生從構(gòu)造的思維角度，優(yōu)先構(gòu)造出F(x)=xf(x)的函數(shù)關(guān)系。這樣可以將復(fù)雜的函數(shù)問題簡單化。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生基于這個構(gòu)造關(guān)系，快速利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性解答問題。比如，從構(gòu)造的F(x)=xf(x)出發(fā)，繼而構(gòu)造F'(x)=f(x)+xf'(x)，那么，當(dāng)x＜0 時，f(x)+xf'(x＜0），可以推出F'(x)＜0，F(xiàn)(x)在（-∞，0）上是單調(diào)遞減，又因為f(x)為偶函數(shù)，所以F(x)為奇函數(shù)。最后，根據(jù)f(-4)=0 可得F(-4)=0，則xf'(x＞0）的解集應(yīng)為（-∞，-4）∪（0，4）。教師引導(dǎo)學(xué)生利用構(gòu)造解題思路，可以有效地轉(zhuǎn)化復(fù)雜的函數(shù)問題，促使學(xué)生對題目進行大膽假設(shè)，從而找到解題的方法。

三、重視學(xué)生的轉(zhuǎn)化思維培養(yǎng)，從劃歸角度解答函數(shù)問題

轉(zhuǎn)化思維也是高中數(shù)學(xué)的一種重要解題思路。它可以使部分函數(shù)問題簡單化，同時也有助于學(xué)生產(chǎn)生豐富的聯(lián)想，進而將抽象的函數(shù)問題進行一一拆解[3]。比如，當(dāng)學(xué)生拿到一道函數(shù)問題時，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用轉(zhuǎn)化思維方法將函數(shù)問題簡單化；然后利用已經(jīng)學(xué)習(xí)過的函數(shù)概念研究新函數(shù)問題的規(guī)律及特點。這有利于降低問題的難度，進而快速地解答出函數(shù)問題的答案。

分析：對于這道函數(shù)題目，學(xué)生可以運用等價轉(zhuǎn)化思維，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為yx2-ax+y-b=0。然后，令△=a2-4y（y-b）≥0，即4y2-4by-a2≤0，已知題目中的不等式4y2-4by-a2≤0的解集為[-1,4]，那么-1 和4 就是關(guān)于y的方程4y2-4by-a2的兩個根，那么將這兩個根代入方程，可以得出a=±4，b=3。在整個解答過程中，這道題目既涉及了函數(shù)，又融入了不等式、方程等知識。學(xué)生可以運用等價轉(zhuǎn)化的思想，將函數(shù)、不等式與方程一步步地轉(zhuǎn)化，從而將復(fù)雜的函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為簡單的函數(shù)分析，進而求得答案。

四、科學(xué)運用分類討論解題思路進行高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題的解答

在解答高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題時，學(xué)生也可以運用分類討論思維進行函數(shù)問題的解答。學(xué)生應(yīng)該運用如下分類討論思維進行解題。首先，學(xué)生拿到一道函數(shù)問題時，必須明確需討論的對象及取值范圍；其次，要正確選擇好分類的標(biāo)準(zhǔn)，才能進行分類討論；再次，針對問題的分類進行逐類討論；最后，將討論的結(jié)果進行歸納，并進行總結(jié)與分析。學(xué)生只有嚴格按照分類討論的思考步驟，一步步對函數(shù)問題進行分類討論，才能有序、有效地解答出函數(shù)問題的答案。

以下面分段函數(shù)問題為例：已知函數(shù)f(x)=|x-3|+|x+1|，請作出函數(shù)f(x)的圖像。

分析：對于這道分段函數(shù)問題，教師可引導(dǎo)學(xué)生嘗試利用分類討論的解題思路，對函數(shù)進行分區(qū)間討論。首先，學(xué)生需要研究的是已知函數(shù)f(x)=|x-3|+|x+1|。其次，學(xué)生可以根據(jù)x的取值變化，對函數(shù)進行分段。比如，當(dāng)x≤-1時，f(x)=-2x+2； 當(dāng)-1 ＜x≤3 時，f(x)=4； 當(dāng)x＞3 時，f(x)=2x-2。最后，學(xué)生根據(jù)討論的結(jié)果，可以畫出相關(guān)的函數(shù)圖像（見圖2）。

圖2

結(jié) 語

綜上所述，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容。在解答函數(shù)題目時，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造、轉(zhuǎn)化及分類討論等多元化的思維角度出發(fā)，探究相關(guān)函數(shù)題目，以從中不斷鍛煉學(xué)生的解題思維，并促使他們掌握這些有效的數(shù)學(xué)函數(shù)解題思維。