董英東

（湘潭大學(xué)碧泉書(shū)院，湖南 湘潭 411105）

1 語(yǔ)境和記法

純歸納邏輯所使用的語(yǔ)言為一階邏輯語(yǔ)言（L），包括關(guān)系符號(hào)R1，R2，...Rq，參數(shù)r1，r2，...... ，rq，常元an，其中n∈N+={1,2,3，......}，以及既非函數(shù)符號(hào)也非等值符號(hào)等輔助符號(hào)。ai指在某些集合中的所有不同個(gè)體的名稱。令SL表示該語(yǔ)言L的一階句子集，QFSL表示該語(yǔ)言中的句子的自由量詞。令T表示L的結(jié)構(gòu)集的域{a1，a2，a3，...}，且ai的解釋為ai本身。

為了刻畫(huà)純歸納邏輯想要解決的基礎(chǔ)問(wèn)題，假設(shè)某個(gè)主體屬于某種結(jié)構(gòu)，可表示為M∈T，此時(shí)很難確定M中的哪些主體是真的。這樣將面臨的問(wèn)題是：

Q：在這種零知識(shí)、邏輯的或理性的情況下，什么樣的信念才能使我們的主體能夠確定句子θ∈SL且在M中是真的？

這個(gè)問(wèn)題中涉及幾個(gè)術(shù)語(yǔ)。首先“零知識(shí)”意味著主體并不希望對(duì)ai和Rj做出解釋。在這些情況下，所能假定的就是公理，且不可能帶來(lái)新的事實(shí)，因?yàn)樗鼈儗儆谀硞€(gè)特定的群體，這樣可能會(huì)產(chǎn)生混淆。

從某種意義上來(lái)說(shuō)，類似于數(shù)學(xué)的“純歸納邏輯”和哲學(xué)的“應(yīng)用歸納邏輯”二者之間是有區(qū)別的。對(duì)于許多哲學(xué)家來(lái)說(shuō)，在后者的語(yǔ)言中希望帶有解釋，如果沒(méi)有解釋，那就只能是純數(shù)學(xué)而不是哲學(xué)。這就是為什么藍(lán)綠悖論是哲學(xué)中的一個(gè)悖論，在數(shù)學(xué)中只是一個(gè)無(wú)效的論證的原因。盡管如此，無(wú)論是否是數(shù)學(xué)家，需要確保在進(jìn)行解釋的時(shí)候以免陷入潛意識(shí)的解讀。卡爾納普本人非常了解這種分歧，而且知道忽視它會(huì)帶來(lái)問(wèn)題，并且試圖去解釋它。事實(shí)上，在他的論文中，他將“歸納邏輯”描述為對(duì)這種零知識(shí)主體的研究，并稱之為“主體”。[1]

第二個(gè)無(wú)法解釋的術(shù)語(yǔ)是“邏輯的”和“理性的”。在這種情況下，我們不提供任何關(guān)于邏輯的和理性的定義，并將其看作是直觀的。因?yàn)槲覀冎饕獮榱颂岢龊蛿?shù)學(xué)家所研究的相似的合乎邏輯理論的規(guī)則。這種情況與遞歸理論中“有效性”的直覺(jué)概念相似。

第三個(gè)無(wú)法解釋的術(shù)語(yǔ)是“信念”。在純歸納邏輯中，我們用（主觀的）概率來(lái)確定信念，或更準(zhǔn)確說(shuō)為信念度。荷蘭賭論證為這種信念提供了強(qiáng)有力的論證，主要采用“概率”或者“概率函數(shù)”來(lái)表達(dá)我們所說(shuō)的思想：

2 概率函數(shù)

函數(shù)w：SL→[0，1]為基于SL的概率函數(shù)，如果對(duì)所有的θ，φ，?xψ(x) ∈SL，

條件（P3）指蓋夫曼條件[2]，并且在該語(yǔ)境中相對(duì)于傳統(tǒng)條件（P1）和（P2）為特殊條件。其常用于刻畫(huà)域中的a1,a2,a3,…。

所有標(biāo)準(zhǔn)的、簡(jiǎn)單的和所有期望的概率函數(shù)的性質(zhì)都來(lái)自（P1-3）：

命題1 令w為基于SL的概率函數(shù)[3]。那么對(duì)于θ，φ∈SL，

由于SL中語(yǔ)句的多樣性，使得概率函數(shù)變得異常復(fù)雜。首先我們給出蓋夫曼定理：

定理2 假設(shè)w:QFSL→[0，1]且滿足（P1）和（P2），對(duì)于θ，φ∈QFSL，對(duì)任意的θ，φ，?xψ(x)∈SL，w存在一個(gè)基于SL的概率函數(shù)的一元的外延滿足（P1）、（P2）、（P3）。

在該定理中，用“博弈”表示理性的概率函數(shù)作為對(duì)自由語(yǔ)句的量化，可以簡(jiǎn)化為：

3 狀態(tài)描述

也可以用大寫(xiě)的字母Θ，Φ，Ψ等表示狀態(tài)描述。通過(guò)利用定理2以及不相交典范公式定理可以直接得出:

定理3 一個(gè)概率函數(shù)是由基于其上的狀態(tài)描述的值確定的。

事實(shí)上，博弈主要起得到了狀態(tài)描述的作用?；仡檰?wèn)題Q，現(xiàn)在可以將其歸結(jié)為：

Q：在零知識(shí)、邏輯或者理性的情況下，概率函數(shù)w：SL→[0,1]應(yīng)該是主體接受，w(θ)相對(duì)于主體的概率，語(yǔ)句θ∈SL在外部結(jié)構(gòu)M中是真的。

那么主體應(yīng)該如何做出這個(gè)選擇呢？就純歸納邏輯而言，可通過(guò)應(yīng)用：

4 理性規(guī)則

也就是說(shuō)，主體制定合理的或邏輯的原則或概率分配規(guī)則，然后采用符合這些原則的概率函數(shù)。

但是就純歸納邏輯而言，事實(shí)上并非如此。正如已經(jīng)提到過(guò)的，理性行為意味著什么，或者更為特別的是可以認(rèn)識(shí)到非理性的行為，對(duì)于純歸納邏輯來(lái)說(shuō)，試圖把這些感覺(jué)作為形式原則來(lái)刻畫(huà)，然后繼續(xù)去研究它們的后承和與其它假定合理的原則的關(guān)系。因此，純歸納邏輯是一個(gè)實(shí)驗(yàn)，利用它可以自由地研究任何原則，只要其與形式有某種相關(guān)性，也就是說(shuō)可以不必考慮理性的某些刻畫(huà)。為此，不需要知道理性是什么，就像那些試圖提出“有效性”的數(shù)學(xué)家在開(kāi)始之前并不需要知道他們研究的是什么一樣。而且“理性的”概念可能會(huì)從這些研究中概括出來(lái)。

在某種程度上，這與“集合論”中的情況類似，根據(jù)“集合的世界”的一些直覺(jué)提出公理，其中一些公理幾乎被普遍接受，而另外一些則是高度爭(zhēng)議的公理，然后研究它們的后承。有時(shí)這些公理可能是不一致的，但感覺(jué)上則是通過(guò)這種有選擇的研究，我們正在接近理解甚至接近集合理論的真理。所以純歸納邏輯也是如此，甚至可能會(huì)與直覺(jué)相沖突。

就這樣的“理性原則”而言，到目前為止，它們似乎有三個(gè)主要來(lái)源：對(duì)稱性、相關(guān)性和不相關(guān)性。在基于對(duì)稱性的原則中，所采用的概率函數(shù)w應(yīng)該保持對(duì)稱性。從這樣一個(gè)被廣泛接受的知識(shí)開(kāi)始，以后將在不經(jīng)過(guò)進(jìn)一步的明確提及的情況下假設(shè)它們是真的。

常元可交換原則，Ex

這里的合理推理是指主體對(duì)于任何一個(gè)ai都不了解，所以在分配概率時(shí)對(duì)他們進(jìn)行不同的處理是不合理的。

以完全相似的方式，可以證明謂詞可交換性原則和強(qiáng)否定性原則，并用否定的公式替換關(guān)系符號(hào)。

現(xiàn)在已經(jīng)介紹了恒定可交換原則Ex，從w滿足Ex的假設(shè)出發(fā)研究它究竟是什么。純歸納邏輯之后的一個(gè)主要步驟就是通過(guò)證明它們必須看起來(lái)像某些“簡(jiǎn)單構(gòu)件塊函數(shù)”的組合來(lái)證明概率函數(shù)滿足該原理的表示定理。對(duì)于滿足Ex的概率函數(shù)存在這樣的后承，第一個(gè)概率函數(shù)就是所謂的菲內(nèi)蒂表示定理。

5 一元?dú)w納邏輯

在約翰遜和卡爾納普的早期研究中，歸納邏輯的語(yǔ)言被認(rèn)為是一元的。也就是說(shuō)，在這里采用的語(yǔ)言L的關(guān)系符號(hào)R1，R2，...，Rq都是一元的，所以在哲學(xué)中常被稱為“謂詞”符號(hào)。假定L是上面的一元語(yǔ)言。

等價(jià)的形式為

其中ε1,ε2,…,εq∈{0,1}。

等價(jià)于

菲內(nèi)蒂的表示定理

更嚴(yán)格地，僅當(dāng)

其中μ為基于布爾子集的可數(shù)可加的測(cè)度：

表面上看，這個(gè)定理似乎只是數(shù)學(xué)家的興趣所在，沒(méi)有太多關(guān)于哲學(xué)家會(huì)感興趣的歸納或合理性。然而，它產(chǎn)生的后果和思想在這方面肯定是有利的。這個(gè)定理的數(shù)學(xué)刻畫(huà)能力在于，它經(jīng)常使我們能夠把關(guān)于（3）左邊的一般概率函數(shù)w的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成關(guān)于右邊非常簡(jiǎn)單的概率函數(shù)的問(wèn)題。

定理5 Ex可推出：

實(shí)例相關(guān)原則（PIR）

從一個(gè)哲學(xué)家的視角看，雖然人們可以根據(jù)休謨的說(shuō)法[5]，認(rèn)為Ex實(shí)際上是對(duì)自然一致性的假設(shè)，在這個(gè)意義上可以等同于歸納，這個(gè)論證所表明的是，如果你認(rèn)為Ex是理性的，那么你應(yīng)該認(rèn)為PIR是合理的。當(dāng)然，這個(gè)結(jié)果可以被看作是對(duì)卡爾納普計(jì)劃的一個(gè)好的處理方法。

常元不相關(guān)性原則，CIP

那么我們?cè)谶@里看到的是由對(duì)稱原則Ex推出了相關(guān)性原則（PIR）和不相關(guān)性原則（CIP）。事實(shí)證明，這遠(yuǎn)非一個(gè)孤立的現(xiàn)象，而是建議人們可以用對(duì)稱性的合理性來(lái)解釋相關(guān)性和不相關(guān)性原則的感知合理性。

其中mj是原子αj發(fā)生的次數(shù)

6 多元?dú)w納邏輯

卡爾納普和凱米尼都提到了這一點(diǎn)[6]。至少有三個(gè)原因，首先是簡(jiǎn)單的、日常的非一元關(guān)系歸納的例子是相當(dāng)稀缺的，但是它們確實(shí)存在。

第二個(gè)原因是符號(hào)和數(shù)學(xué)的復(fù)雜性顯著增加，至少與一元的情況相比。關(guān)鍵的原因是對(duì)于a1，a2，...，an的狀態(tài)描述，將不再以一元的方式來(lái)處理這些常量。

最后，第三個(gè)原因，在形成關(guān)于多元關(guān)系的信念時(shí)，相對(duì)缺乏直覺(jué)。

下面定義一個(gè)狀態(tài)描述的譜表示這些等價(jià)類的多重集的域。

譜可交換性

約翰遜（Johnson）和卡爾納普（Carnap）在他們的一元語(yǔ)言的情況下采用的原則，稱之為：

原子可交換性，Ax

對(duì)于狀態(tài)描述Θ的概率w(Θ)應(yīng)只取決于Θ的譜。

Ax實(shí)際上是一個(gè)對(duì)稱原則。如果我們把原子看作與顏色相對(duì)應(yīng)的話，那么就把這個(gè)概率賦予一個(gè)狀態(tài)描述Θ，在置換或顏色的重命名下應(yīng)該是不變的?？偠灾?，關(guān)于一種顏色的一切是與其他顏色不同的，而不是它是紅色還是藍(lán)色或綠色等。

是一致的（帶有等價(jià)的謂詞演算）。

在多元語(yǔ)境中，下面給出一個(gè)理性規(guī)則：

譜系可交換性，Sx

對(duì)于狀態(tài)描述Θ的概率w(Θ)僅依賴于Θ的譜。如果狀態(tài)描述Θ，Φ具有相同的譜，那么w(Θ)=w(Φ)。

語(yǔ)言不變性

把純歸納邏輯擴(kuò)展到多元語(yǔ)言會(huì)產(chǎn)生為什么要修正一個(gè)特定語(yǔ)言L的問(wèn)題。畢竟，我們的主體總是可以想象到的，除了那些語(yǔ)言之外還包含關(guān)系符號(hào)。此外，主體不希望為這個(gè)更大的語(yǔ)言采用概率函數(shù)，而這個(gè)語(yǔ)言滿足了他/她認(rèn)為合理的原則L的獨(dú)立性。但是主體的這個(gè)愿望能夠?qū)崿F(xiàn)嗎？問(wèn)題是主體可能遵循他/她的合理性原理，并希望（假想的）將L語(yǔ)言擴(kuò)展為語(yǔ)言L+并且將概率函數(shù)w擴(kuò)充為w+，并且發(fā)現(xiàn)表示w+SL的w+對(duì)SL的限制是不相同的。換句話說(shuō)，只要設(shè)想使L+中的主體具有理性，就會(huì)可能會(huì)懷疑w。實(shí)際上，從這個(gè)角度來(lái)看，如果L+完全沒(méi)有擴(kuò)展為滿足主體偏好的理性原則，那么w可能就不太合理。

為了更具體地假設(shè)主體認(rèn)為Sx（+Ex）是他/她不得不強(qiáng)加給他/她的選擇的（唯一）合理的要求。那么主體做出這樣的選擇可能只是意識(shí)到，沒(méi)有辦法將這個(gè)概率函數(shù)擴(kuò)展成為一個(gè)更大的語(yǔ)言，而仍然希望保持現(xiàn)有的Sx。

Sx的語(yǔ)言不變性，Li+Sx

如果存在一個(gè)概率函數(shù)族wL，每個(gè)語(yǔ)言L上存在一個(gè)概率函數(shù)w，那么這個(gè)簇的每個(gè)成員都滿足Sx，并且每當(dāng)語(yǔ)言L1，L2是這樣的時(shí)候，概率函數(shù)w就滿足Sx的語(yǔ)言不變性L1，L2，則wL2SL1=wL1。

事實(shí)證明，Li+Sx意味著迄今為止提出的理想的多元概率函數(shù)的大多數(shù)（可能甚至全部）性質(zhì)。

在此的下標(biāo)0，1，2，3，…表示色組，用0表示黑色，用pi表示所選的顏色i的概率。

（1）根據(jù)概率p0，p1，p2，…，選取色組c1，c2，…，cn，使得所選取的c1，c2，…，cn的概率為：

完全性

弱不相關(guān)性規(guī)則，WIP

如果θ，φ∈SL既不是常元，也不是通常的關(guān)系符號(hào)，那么

類似地根據(jù)定理8，可以證明下面的相關(guān)性原則。

推論11 令w滿足Li+Sx。那么根據(jù)w，a1和a2是不可區(qū)分的，而且其與其它的可以區(qū)分的常元ai的概率是0。

7 結(jié)論

總而言之，純歸納邏輯的數(shù)學(xué)雖然可能揭示一些新原理和原理之間的聯(lián)系，但總的來(lái)說(shuō)，它是否提供了任何額外的哲學(xué)洞察力或理解，甚至對(duì)于那些完全理解所涉及的數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)，也是值得懷疑的。

第二個(gè)問(wèn)題是，關(guān)于理性原則的三個(gè)主要（迄今）的來(lái)源，對(duì)稱性、相關(guān)性和不相關(guān)性之間的關(guān)系。主要討論了兩個(gè)對(duì)稱原理，Ex和Li+Sx。無(wú)論這些不相關(guān)的原則是否理所當(dāng)然地作為理性的表達(dá)，事實(shí)上，對(duì)稱性似乎是相關(guān)原則和不相關(guān)原則所產(chǎn)生的基本原則。這可以用相關(guān)性來(lái)解釋，對(duì)稱性表明未來(lái)就像過(guò)去，相關(guān)性則指出過(guò)去發(fā)生的事情應(yīng)該是未來(lái)的導(dǎo)向。

在此涉及到了一個(gè)與卡爾納普的思想完全接近的問(wèn)題。即使主體承認(rèn)他/她選擇的概率函數(shù)w應(yīng)該滿足Li+Sx，但這仍然給他/她帶來(lái)了非常廣泛的可供選擇的域概率函數(shù)。從某種意義上來(lái)說(shuō)，這可能被認(rèn)為是不幸的，因?yàn)樗砻鲀蓚€(gè)主體根據(jù)這個(gè)完全合理的標(biāo)準(zhǔn)，仍然可以指定不同的信念/概率。如果我們能夠找到其它的、可接受的理性的原則來(lái)削減這個(gè)選擇時(shí)就需要增加“完整性”。

不幸的是，這個(gè)概率函數(shù)完全沒(méi)有任何歸納傾向

不管n有多大，換句話說(shuō)，并不需要關(guān)注以前的支持性證據(jù)R（a1）∧R（a2）∧…∧R（an）給R（an+1）分配一個(gè)概率。當(dāng)n>0時(shí)，這個(gè)概率函數(shù)給出了大于等于0的值，但是究竟n需要多大？顯然這是不確定的，這表明可接受的完整性是一個(gè)不可能實(shí)現(xiàn)的夢(mèng)想。