呂 頌，鄭旭東，曹智順，張聯(lián)合

(中國航發(fā)沈陽發(fā)動機研究所強度試驗研究室，沈陽 110015)

隨著航空發(fā)動機推重比的增加，渦輪的進口溫度也隨之上升，據(jù)相關(guān)資料顯示，推重比10級發(fā)動機的渦輪進口溫度已達到1 850～1 950 K，推重比15級發(fā)動機的渦輪進口溫度將達到2 200～2 300 K[1-6]。如此高的溫度等級將對渦輪葉片的內(nèi)部冷卻結(jié)構(gòu)形式提出更為嚴格苛刻的要求。影響渦輪葉片冷卻性能的因素有多個，常見的為燃氣與冷氣溫度比、冷氣與燃氣流量比、燃氣雷諾數(shù)、燃氣落壓比及氣膜孔偏角等。中國相關(guān)研究人員分別從數(shù)值模擬[7-11]及試驗驗證[12-13]的角度對各因素的影響情況進行了對比分析，并通過對試驗數(shù)據(jù)進行回歸分析擬合出合適的經(jīng)驗公式。不過目前大多數(shù)經(jīng)驗公式的擬合方法均為單因素回歸分析方法，未考慮到多種因素同時作用的結(jié)果，這與客觀事實不相符。

在回歸分析中，有兩個或兩個以上的因素，稱為多元回歸。關(guān)于這方面的研究已有大量報道[14-16]。在中國，多元線性回歸分析方法已應(yīng)用到多個領(lǐng)域，如石油行業(yè)[17]、地質(zhì)勘察行業(yè)[18]、民航交管行業(yè)[19]。特別是在航空發(fā)動機整機振動方面也有應(yīng)用[20]，但在其地面零部件試驗條件下的應(yīng)用還是空白。選取對渦輪葉片冷卻性能諸多影響因素中最為常見的3個因素(冷氣與燃氣流量比KG、燃氣與冷氣溫比KT和燃氣雷諾數(shù)Reg)，展示了一種更適用的固定截距多元線性回歸分析方法，填補了相關(guān)研究領(lǐng)域的空白。

1 冷卻效果試驗經(jīng)驗公式理論基礎(chǔ)

渦輪葉片的氣膜冷卻準則可以表示為

(1)

θ=f(Reg,KT,KG)

(2)

實際的工程試驗研究中采用控制變量的方式開展，即在保證其他設(shè)計點參數(shù)不變的前提下，分別改變溫比KT、流量比KG及燃氣雷諾數(shù)Reg獲得相關(guān)試驗條件下的數(shù)據(jù)點，再進行經(jīng)驗公式擬合及回歸分析。

2 回歸分析的理論基礎(chǔ)

回歸分析法是在方差分析法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，是指利用數(shù)據(jù)統(tǒng)計原理，對大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行數(shù)學(xué)處理，并確定因變量與某些自變量的相關(guān)關(guān)系，建立一個相關(guān)性較好的回歸方差，即函數(shù)表達式，并加以外推，用于預(yù)測今后因變量變化的分析方法。一般分為單因素回歸分析(一元回歸分析)和多因素回歸分析(多元回歸分析)，其最終目標就是利用(偏)最小二乘法給出殘差平方和最小的擬合公式。

2.1 單因素非線性回歸分析

單因素非線性回歸分析(一元非線性回歸分析)的理論基礎(chǔ)如下，假設(shè)曲線回歸模型的非線性目標函數(shù)為

y=f(x)

(3)

式(3)中：x為因素變量；y為響應(yīng)變量。

通過某種數(shù)學(xué)變化式(4)使之線性化為一元線性函數(shù)式(5)，繼而利用線性最小二乘法估計出參數(shù)a和b。

(4)

v=a+bu

(5)

式中：v為響應(yīng)變量的線性變換函數(shù)；u為因素變量的線性變換函數(shù)。

用一元線性回歸方程式(6)來描述v與u間的統(tǒng)計規(guī)律性，然后再用逆變換式(7)還原為目標函數(shù)形式的非線性回歸方程。

(6)

(7)

2.2 多元線性回歸分析

多元線性回歸分析的理論基礎(chǔ)如下：設(shè)隨機變量與一組(k個)變量x1,x2,…,xk有關(guān)系式：

y=β0+β1x1+…+βkxk+ε

(8)

式(8)中：β0,β1,…,βk為未知參數(shù)；ε為隨機項，服從正態(tài)分布N(0,σ2)。如果(y1;x11,x21,…,xk1)，(y2;x12,x22,…,xk2)，…,(yn;x1n,x2n,…,xkn)是一個容量為n的樣本，則有：

(9)

式(9)中：β0,β1,…,βk為未知參數(shù)；ε1,ε2…,εn為隨機項，服從正態(tài)分布N(0,σ2)。

(10)

3 固定截距多元線性回歸分析公式推導(dǎo)

在多元線性回歸分析理論基礎(chǔ)上，發(fā)展了一種固定截距多元線性回歸分析方法。為便于理解，以渦輪葉片冷卻效果試驗經(jīng)驗公式為例進行推導(dǎo)。工程上其一般形式為

(11)

式(11)中：A為系數(shù)，對式(1)進行線性化得:

lnθ=lnA+αlnKG+βlnKT+γlnReg

(12)

試驗中得到的數(shù)據(jù)點空間分布如圖1所示，從圖1中可以看出，3條數(shù)據(jù)線均經(jīng)過設(shè)計狀態(tài)數(shù)據(jù)點，即三次試驗均在設(shè)計狀態(tài)下進行了采樣。因此對其取平均值得到的設(shè)計狀態(tài)處的試驗數(shù)據(jù)相對于其他試驗數(shù)據(jù)更加準確，因此有理由認為擬合出的經(jīng)驗公式應(yīng)經(jīng)過設(shè)計狀態(tài)處試驗數(shù)據(jù)點。

圖1 試驗數(shù)據(jù)點空間分布

假設(shè)通過取平均值得到的設(shè)計狀態(tài)試驗數(shù)據(jù)點為(KG1,KT1,Reg1;θ1)，將其代入式(12)可得式(13):

lnθ1=lnA+αlnKG1+βlnKT1+γlnReg1

(13)

對式(13)變形可得：

lnA=lnθ1-αlnKG1-βlnKT1-γlnReg1

(14)

將式(14)代入式(12)，整理可得：

lnθ=lnθ1+α(lnKG-lnKG1)+β(lnKT-lnKT1)+γ(lnReg-lnReg1)

(15)

按照式(10)的形式利用偏最小二乘法求出各冪參數(shù)的估計值：

(16)

式(16)中：固定截距為設(shè)計狀態(tài)試驗數(shù)據(jù)平均冷卻效果的對數(shù)值lnθ1。

4 回歸分析應(yīng)用結(jié)果對比

以某渦輪葉片冷卻效果試驗為例，該試驗包括變流量比-冷效關(guān)系試驗(試驗1)、變溫比-冷效關(guān)系試驗(試驗2)與變主流雷諾數(shù)-冷效關(guān)系試驗(試驗3)。每個試驗過程中均設(shè)置8個特定工況狀態(tài)，得到試驗1中8個工況下的流量比與冷卻效果數(shù)據(jù)概率密度分布如圖2、圖3所示，試驗2中8個工況下的溫比與冷卻效果數(shù)據(jù)概率密度分布如圖4、圖5所示，試驗3中8個工況下的雷諾數(shù)與冷卻效果數(shù)據(jù)概率密度分布如圖6、圖7所示。

圖2 試驗1中流量比數(shù)據(jù)概率密度分布

圖3 試驗1中冷卻效果數(shù)據(jù)概率密度分布

圖5 試驗2中冷卻效果數(shù)據(jù)概率密度分布

從圖2～圖7可以看出，流量比參數(shù)、溫比參數(shù)、雷諾數(shù)參數(shù)及冷卻效果參數(shù)等測量值的分布均近似為正態(tài)分布，故可以應(yīng)用回歸分析的方法進行數(shù)據(jù)分析操作。

圖7 試驗3中冷卻效果概率密度分布

4.1 單因素非線性回歸分析應(yīng)用

該種方法是分別對試驗1、試驗2和試驗3進行單因素非線性回歸得到冪參數(shù)，在將設(shè)計點參數(shù)代入式(11)中求得系數(shù)A，操作如下。

試驗1得到的擬合公式，如式(17)所示：

(17)

其方差分析如表1所示。

表1 試驗1中方差分析

試驗2得到的擬合公式，如式(18)所示:

(18)

其方差分析如表2所示。

表2 試驗2中方差分析

試驗3得到的擬合公式，如式(19)所示:

(19)

其方差分析如表3所示。

表3 試驗3中方差分析

因此該方法得到的冷卻效果綜合經(jīng)驗公式:

(20)

4.2 常規(guī)多元線性回歸分析應(yīng)用

該方法是對試驗1、試驗2和試驗3下所有的數(shù)據(jù)參數(shù)同時進行常規(guī)多元線性回歸得到冪參數(shù)和系數(shù)，該方法得到的冷卻效果綜合經(jīng)驗公式如式(21)，相關(guān)回歸分析結(jié)果如表4所示。

表4 常規(guī)多元線性回歸分析結(jié)果

(21)

4.3 固定截距多元線性回歸分析應(yīng)用

該方法是保證擬合公式經(jīng)過設(shè)計點數(shù)據(jù)的前提下，對試驗1、試驗2和試驗3下所有的數(shù)據(jù)參數(shù)同時進行固定截距的多元線性回歸得到冪參數(shù)和系數(shù)，該方法得到的冷卻效果綜合經(jīng)驗公式如式(22)所示：

(22)

相關(guān)回歸分析結(jié)果如表5所示。

表5 固定截距多元線性回歸分析結(jié)果

4.4 各方法對比

單因素回歸分析方法沒有全面考慮3個因素同時作用下對冷卻效果參數(shù)的影響，無法進行綜合的方差分析，因此其擬合公式可信度較差，不建議采用。

常規(guī)多元線性回歸分析方法與固定截距多元線性回歸分析方法都綜合考慮了3個因素同時作用下對冷卻效果參數(shù)的影響，不過考慮到試驗方法、設(shè)計狀態(tài)數(shù)據(jù)與其他狀態(tài)數(shù)據(jù)相比的準確程度及狀態(tài)數(shù)據(jù)點在空間中的分布情況(圖1)，顯然后者方法更適用。從分析結(jié)果來看運用固定截距方法雖然殘差平方和稍高，但確定系數(shù)R更高，公式擬合結(jié)果更令人滿意。

對比表4、表5中t的絕對值還可以發(fā)現(xiàn)，兩種回歸分析方法下3個因素對冷卻效果的影響程度排序不同，固定截距方法分析的結(jié)果與實際情況符合程度更高。

5 結(jié)論

通過三種回歸方法的對比分析，得到以下結(jié)論。

(1)對于渦輪葉片冷卻效果試驗的經(jīng)驗公式擬合與回歸分析來說，提出的基于固定截距的多元線性回歸分析方法更適合于現(xiàn)階段的試驗方法，其分析擬合結(jié)果更可靠，更符合實際情況。

(2)從分析結(jié)果來看，3個因素對冷卻效果的影響程度從大到小依次為流量比KG、溫比KT、燃氣雷諾數(shù)Reg。

(3)在對試驗數(shù)據(jù)進行回歸分析及經(jīng)驗公式擬合的過程中，若某一個或某幾個狀態(tài)數(shù)據(jù)點的準確程度相當可靠，則可以采用該固定截距的多元線性回歸分析方法進行分析。