郭吉祥

(中鐵十一局集團(tuán)漢江重工有限公司 湖北襄陽(yáng) 441006)

1 引言

離散余弦變換(Discrete Cosine Transform，DCT)是和傅里葉變換相關(guān)的一種變換算法，經(jīng)常在圖像處理和信號(hào)處理中使用。離散余弦變換的變換核函數(shù)為余弦函數(shù)，不但具有正交變換性質(zhì)，而且它的變換矩陣基向量還能很好地表征圖像與信號(hào)的相關(guān)特征，因此常被認(rèn)為是一種準(zhǔn)最佳變換。近年來(lái)，已有不少學(xué)者將離散余弦變換算法應(yīng)用到機(jī)械故障診斷領(lǐng)域，如尹麗[1]提出的采用離散余弦變換域循環(huán)維納濾波算法對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行濾波，不僅能保證線性相位，還具有良好的濾波效果；臧懷剛[2]等提出了一種基于改進(jìn)的DCT和EMD的軸承故障診斷方法，能夠?qū)S承故障進(jìn)行準(zhǔn)確診斷；陳安華[3]等將離散余弦變換應(yīng)用到列車輪對(duì)踏面損傷的檢測(cè)，可快速、準(zhǔn)確地檢測(cè)出機(jī)車踏面的損傷，有效地提取列車輪對(duì)踏面損傷的特征信息；陳彥龍[4]等借助離散余弦變換(DCT)的頻域能量聚集性和奇異值分解(SVD)的時(shí)域能量聚集性，對(duì)軸承復(fù)合故障信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，實(shí)現(xiàn)降噪并分離頻率相近的微弱故障信號(hào)；陳彥龍[5]等結(jié)合離散余弦變換(DCT)，將離散時(shí)間序列經(jīng)過(guò)離散余弦變換處理成對(duì)應(yīng)的系數(shù)向量，在閾值處理的基礎(chǔ)上，重構(gòu)信號(hào)有效提取出了微弱故障信息；陳彥龍[6]等將振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行離散余弦變換得到頻域系數(shù)，對(duì)頻域系數(shù)自動(dòng)分段，并對(duì)不同分段情況下的頻域系數(shù)進(jìn)行分析，克服了時(shí)域內(nèi)相關(guān)分析受噪聲影響導(dǎo)致診斷不準(zhǔn)確的缺點(diǎn)，在含噪聲情況下保證了診斷結(jié)果的穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性；原菊梅[7]針對(duì)故障診斷特征參數(shù)的應(yīng)用缺陷，提出了一種小波和余弦變換的感應(yīng)電機(jī)軸承故障特征參數(shù)提取方法，并對(duì)實(shí)際感應(yīng)電機(jī)軸承正常、內(nèi)圈故障、外圈故障和滾珠故障的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分析，有效地實(shí)現(xiàn)了電機(jī)軸承的早期故障檢測(cè)與診斷；楊麗娟[8]等提出一種適用于多軸承振動(dòng)信號(hào)的分布式壓縮感知重構(gòu)算法，通過(guò)引入離散余弦變換，實(shí)現(xiàn)了軸承振動(dòng)信號(hào)在變換域的稀疏化和基于TSBL的重構(gòu)算法，達(dá)到了多軸承振動(dòng)信號(hào)聯(lián)合重構(gòu)的目的，解決了軸承狀態(tài)監(jiān)測(cè)中多傳感器數(shù)據(jù)采集造成的問(wèn)題。

根據(jù)離散余弦變換的能量聚集性和線性性質(zhì)，以及旋轉(zhuǎn)設(shè)備振動(dòng)信號(hào)的循環(huán)平穩(wěn)性，文獻(xiàn)[9-10]提出了利用多個(gè)數(shù)據(jù)包數(shù)據(jù)來(lái)設(shè)計(jì)濾波器以實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)消噪處理的方法。該種濾波器與其它經(jīng)典濾波器主要不同在于此種濾波器完全由采集信號(hào)自身得到，而不需要事先指定頻域窗函數(shù)的形狀、幅值和位置，克服了傳統(tǒng)頻域?yàn)V波器的某些缺陷。本文借鑒其構(gòu)造濾波器思想，設(shè)計(jì)了一種基于離散余弦變換的新型濾波器，基于此提出了離散余弦變換的軸承故障信號(hào)特征提取方法，并通過(guò)模擬信號(hào)和軸承故障信號(hào)兩個(gè)算例驗(yàn)證該方法的有效性。

2 離散余弦變換原理

1974年，由N.Ahmed、T.Natarajan和 K.R.Rao提出離散余弦變換概念以來(lái)，很快在各種信號(hào)處理領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，其主要原因是離散余弦變換具有較好的能量集中特性。

假設(shè)給定一長(zhǎng)度為N的序列x(n)，一維離散余弦變換和反變換由以下兩式定義:

由于離散余弦變換具有較好的能量集中特性，故信號(hào)中不同頻率特征的能量聚集分布在不同的頻帶，而噪聲信號(hào)則在整個(gè)頻帶中均勻分布。另外，離散余弦變換還具有線性特性，即使是噪聲污染的信號(hào)，其能量聚集特性也不會(huì)因此消失，且能很好地表征頻率特征的相關(guān)信息。

3 基于離散余弦變換的特征提取方法

3.1 構(gòu)造離散余弦變換濾波器

由于離散余弦變換具有一個(gè)線性性質(zhì)，即:DCT(x+y)＝DCT(x)+DCT(y)，本文基于此建立一個(gè)新濾波器。假設(shè)存在m組等長(zhǎng)度信號(hào)zj(n)，由以下兩部分構(gòu)成:

其中，y(n)為待處理的特征信號(hào)；wj(n)為噪聲信號(hào)。一般情況下，特征信號(hào)與噪聲信號(hào)互不相關(guān)。根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)可知，周期性信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)仍然是周期函數(shù)，且與原信號(hào)同周期，在采集各組信號(hào)zj(n)時(shí)，須保證各組信號(hào)中y(n)相位相同。該濾波器的構(gòu)造過(guò)程如下:

(1)首先將zj(n)進(jìn)行離散余弦變換，得到Fj(u)

式中，F(xiàn)(uy)為特征信號(hào)頻域；Fj(uw)為噪聲信號(hào)頻域。

(2)構(gòu)造濾波器

將上式中分子展開(kāi)后得到:

高斯白噪聲在時(shí)延為零時(shí)，具有最大的自相關(guān)值，自相關(guān)函數(shù)隨著時(shí)延m趨近無(wú)窮大時(shí)，則公式(6)中后三部分趨近于零，僅保留與y(n)中特征有關(guān)的部分。于是便得到一個(gè)略去絕大部分噪聲信號(hào)而保留下特征信號(hào)的窄帶新濾波器。由于構(gòu)造的濾波器是頻域?yàn)V波器，任何一組周期信號(hào)的頻域是相同的，受噪聲影響后也近似相同，故可以任意選擇一組信號(hào)做為處理信號(hào)。

3.2 特征提取方法

從濾波器構(gòu)造過(guò)程可以看出，采集的故障振動(dòng)信號(hào)需保證得到多組等長(zhǎng)度信號(hào)同相，這可以通過(guò)控制信號(hào)采集過(guò)程來(lái)解決。例如在旋轉(zhuǎn)機(jī)械平穩(wěn)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中采集足夠長(zhǎng)的信號(hào)，然后按照旋轉(zhuǎn)周期進(jìn)行等長(zhǎng)度分割來(lái)實(shí)現(xiàn)；對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)可以在保證測(cè)量條件的前提下，通過(guò)重復(fù)多次測(cè)量便可得到所需采集的故障信號(hào)。

首先通過(guò)構(gòu)造仿真或采集振動(dòng)信號(hào)得到待提取信號(hào)，再將待處理信號(hào)根據(jù)需要等分多組，通過(guò)進(jìn)行離散余弦變換得到特征信號(hào)頻域，然后根據(jù)本方法構(gòu)造濾波器，進(jìn)而可以從各組中任選一組離散余弦變換系數(shù)，與構(gòu)造濾波器相乘，最后對(duì)所得的新離散余弦變換系數(shù)進(jìn)行逆變換，從而得到去除絕大部分噪聲信號(hào)的特征信號(hào)。

基于離散余弦變換的特征提取方法具體步驟如下:

(1)將采集故障振動(dòng)信號(hào)或仿真信號(hào)等分M組，或者重復(fù)多次測(cè)量M組故障振動(dòng)信號(hào)；

(2)將M組故障振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行DCT，并用于離散余弦變換系數(shù)構(gòu)造濾波器H；

(3)從各組Fj(u)中任選一組離散余弦變換系數(shù)，與構(gòu)造濾波器H相乘；

(4)將經(jīng)過(guò)濾波器H處理后離散余弦變換系數(shù)進(jìn)行IDCT，得到特征信號(hào)；

(5)最后通過(guò)提取的特征信號(hào)進(jìn)行故障分析，確定故障類型。

4 模擬仿真信號(hào)

任選取一組平穩(wěn)模擬仿真信號(hào):

其中，w(t)為[-1 1]之間正態(tài)分布的隨機(jī)噪聲；系數(shù)k表征噪聲能量大小。

設(shè)定模擬仿真信號(hào)的采樣長(zhǎng)度為20 s，采樣頻率為10 kHz，然后將設(shè)定模擬仿真信號(hào)等分100組，利用離散余弦變換理論及Matlab軟件構(gòu)造濾波器，任選一組離散余弦變換系數(shù)，與構(gòu)造濾波器H相乘后重構(gòu)特征信號(hào)，即降噪信號(hào)。本文所用方法與小波變換降噪的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，見(jiàn)圖1～圖4。其中圖1為無(wú)噪聲平穩(wěn)信號(hào)時(shí)域圖與頻譜圖(即k＝0)；圖2為含強(qiáng)噪聲的平穩(wěn)信號(hào)時(shí)域圖與頻譜圖(k＝15)；圖3、圖4分別為小波變換和本文方法降噪后的時(shí)域圖與頻譜圖。

圖1 無(wú)噪聲信號(hào)時(shí)域圖與頻譜圖

圖2 k＝15時(shí)信號(hào)時(shí)域圖與頻譜圖

圖3 k＝15時(shí)小波降噪信號(hào)時(shí)域圖與頻譜圖

圖4 k＝15時(shí)本方法降噪信號(hào)時(shí)域圖與頻譜圖

從圖2～圖4可知，當(dāng)噪聲相對(duì)較強(qiáng)時(shí)，小波變換降噪的時(shí)域圖與模擬仿真信號(hào)時(shí)域圖相比，分辨不出信號(hào)的波形；而本文降噪信號(hào)時(shí)域圖與模擬仿真信號(hào)時(shí)域圖相比可以看出，本文方法能夠清晰看出信號(hào)的波形，真正實(shí)現(xiàn)降噪目的。在頻域圖中，小波變換降噪與模擬仿真信號(hào)頻域圖相比，同樣不能提取出特征信號(hào)；而本文方法與小波變換降噪效果相比，能夠非常有效地提取模擬仿真信號(hào)的特征峰值，且能準(zhǔn)確分析出模擬仿真信號(hào)設(shè)定的特征頻率。由于噪聲雜亂無(wú)章，隨著噪聲信號(hào)能量的增大，一定程度上抵消了周期信號(hào)的能量，故在模擬仿真信號(hào)進(jìn)行降噪后，其時(shí)域圖與頻域圖里表現(xiàn)出的幅值則相應(yīng)減小，再加上濾波處理，也在一定程度上減小了特征信號(hào)的幅值。

5 實(shí)測(cè)軸承故障信號(hào)分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的有效性，采用旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動(dòng)分析及故障診斷試驗(yàn)平臺(tái)系統(tǒng)，采集滾動(dòng)軸承外圈故障的振動(dòng)信號(hào)。試驗(yàn)中采用軸承型號(hào)為N205EM，滾柱個(gè)數(shù)為13，滾柱直徑為7.5 mm，滾道節(jié)徑為38.5 mm，轉(zhuǎn)速為867 r/min；采樣頻率為20 kHz，采樣點(diǎn)數(shù)為32 768，計(jì)算得到軸承外圈特征頻率為75.6 Hz，軸頻為14.45 Hz。重復(fù)采集16組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，所得故障信號(hào)時(shí)域圖與頻譜圖、小波降噪信號(hào)時(shí)域圖與頻譜圖、本方法降噪信號(hào)時(shí)域圖與頻譜圖見(jiàn)圖5～圖7。

圖5 故障信號(hào)時(shí)域圖與頻譜圖

圖6 小波降噪信號(hào)時(shí)域圖與頻譜圖

圖7 本方法降噪信號(hào)時(shí)域圖與頻譜圖

分析圖5～圖7可知，本文方法降噪后信號(hào)的時(shí)域波形與實(shí)測(cè)軸承故障信號(hào)、小波降噪后信號(hào)的時(shí)域波形相比，其噪聲能量明顯減弱；從實(shí)測(cè)軸承故障信號(hào)、小波降噪的頻譜圖可發(fā)現(xiàn)，雖然都能在軸承外圈故障特征頻率(75.6 Hz)及2倍頻、3倍頻處找出故障頻率峰值，但仍不能完全確定是否存在有調(diào)制現(xiàn)象，而在本文方法降噪后的頻譜圖中不僅能夠發(fā)現(xiàn)在軸承外圈故障特征頻率(75.6 Hz)及2倍頻、3倍頻處存在較為清晰的頻率峰值，而且還能確定在這些故障特征頻率處不存在調(diào)制譜線，根據(jù)上述故障頻率特征便能判斷軸承外圈存在故障。

6 結(jié)論

本文利用離散余弦變換的能量聚集特性和線性特性及旋轉(zhuǎn)設(shè)備振動(dòng)信號(hào)的循環(huán)平穩(wěn)性，提出了一種基于離散余弦變換的軸承故障診斷方法。通過(guò)文中模擬仿真和故障信號(hào)兩個(gè)例子可見(jiàn)，本文方法濾波器的形狀、幅值、位置等完全由采集信號(hào)自身確定。

通過(guò)對(duì)上述仿真信號(hào)和故障信號(hào)降噪效果分析，本文方法與小波降噪方法相比，具有良好的消噪效果，能很好地抑制信號(hào)中各頻段的噪聲分量，避免了一些小能量的平穩(wěn)或循環(huán)平穩(wěn)分量當(dāng)作噪聲消除的缺點(diǎn)，更能有效地提取軸承故障信號(hào)的時(shí)頻特征，為軸承故障診斷提供技術(shù)支持，有望應(yīng)用到相關(guān)領(lǐng)域中。