張傳凱

（1.北京市地鐵運(yùn)營(yíng)有限公司；2.北京地鐵工程管理有限公司，北京 100005）

齒輪傳動(dòng)作為城市軌道交通牽引系統(tǒng)的核心構(gòu)件，其動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)定性對(duì)地鐵等交通工具的安全運(yùn)行和舒適性有重要的影響。根據(jù)地鐵齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的特殊工作環(huán)境，其齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)應(yīng)具有重載、頻繁啟動(dòng)、可靠性高等特點(diǎn)。由于嚙合輪齒的時(shí)變特性以及外部載荷的波動(dòng)，使得地鐵系統(tǒng)的齒輪在內(nèi)外動(dòng)態(tài)載荷作用下，表現(xiàn)出非常強(qiáng)的非線(xiàn)性，進(jìn)而導(dǎo)致地鐵齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為十分復(fù)雜。目前，針對(duì)地鐵系統(tǒng)的轉(zhuǎn)向架、軌道、輪對(duì)等結(jié)構(gòu)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的理論分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，但對(duì)于地鐵齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性研究而相對(duì)較少。

地鐵齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)特性對(duì)整個(gè)地鐵結(jié)構(gòu)的振動(dòng)有不可忽視的影響。針對(duì)地鐵齒輪箱振動(dòng)相應(yīng)問(wèn)題，邱星慧在建立地鐵齒輪箱剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，分析了系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)特性。基于有限元和多體動(dòng)力學(xué)理論，孫剛建立了高速車(chē)輛-傳動(dòng)系統(tǒng)耦合振動(dòng)模型，研究了多種工況下傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性能及與車(chē)輛系統(tǒng)主要部件之間的動(dòng)態(tài)相互作用。為探究齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的熱彈流耦合特性，菅光霄建立了齒輪6-DOF摩擦動(dòng)力學(xué)模型，分析振動(dòng)與靜載荷作用下變位齒輪系統(tǒng)的熱彈流潤(rùn)滑特性。Faggioni 提出了一種基于齒形修正的齒輪減振全局優(yōu)化方法，結(jié)合該方法并采用非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)模型對(duì)其振動(dòng)特性進(jìn)行了研究。為了探究故障參數(shù)對(duì)地鐵齒輪系統(tǒng)非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)的影響，孫冉建立了剛度故障和齒面故障參數(shù)地鐵6DOF齒輪彎-扭-軸耦合模型，得到系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程。王建軍圍繞圓柱齒輪系統(tǒng)的參數(shù)振動(dòng)和間隙非線(xiàn)性振動(dòng)問(wèn)題，較為詳細(xì)地評(píng)述了20年來(lái)國(guó)際上的研究進(jìn)展情況，并給出了齒輪系統(tǒng)非線(xiàn)性振動(dòng)方面今后的研究重點(diǎn)。

地鐵齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性對(duì)地鐵正常的運(yùn)營(yíng)有重要的影響，為得到齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域，文獻(xiàn)利用諧波平衡法研究了具有齒隙的正齒輪副在內(nèi)部和外部激勵(lì)下的非線(xiàn)性頻響特性。文獻(xiàn)[8]利用增量諧波平衡法分析了齒輪副的幅頻特性，進(jìn)而得到齒輪系統(tǒng)的運(yùn)行的穩(wěn)定區(qū)域和非穩(wěn)定區(qū)域。為了研究高速列車(chē)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性，黃冠華結(jié)合非線(xiàn)性多尺度近似解析方法，利用單自由度扭轉(zhuǎn)模型分析動(dòng)態(tài)激勵(lì)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響。李應(yīng)剛運(yùn)用增量諧波平衡法，分析了動(dòng)態(tài)間隙、時(shí)變剛度、激振力幅值和阻尼比對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響，并驗(yàn)證了理論分析結(jié)果的正確性。Zhou 建立了包含齒隙、阻尼、傳動(dòng)誤差和嚙合剛度的圓柱齒輪副動(dòng)力學(xué)模型，分析了齒輪傳動(dòng)系與出現(xiàn)跳躍不連續(xù)現(xiàn)象和多個(gè)穩(wěn)定性并存的非線(xiàn)性特性。申永軍利用增量諧波平衡法分析了直齒輪副動(dòng)力學(xué)模型的周期解，并發(fā)現(xiàn)增大足跡比和激勵(lì)幅值能有效地控制齒輪系統(tǒng)的碰撞現(xiàn)象。本文根據(jù)地鐵齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的特點(diǎn)，建立了包含時(shí)變嚙合參數(shù)和非線(xiàn)性因素的兩自由度齒輪副動(dòng)力學(xué)模型，在深入分析不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)地鐵齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)特性和穩(wěn)定性影響的基礎(chǔ)上，研究地鐵系統(tǒng)的振動(dòng)特性。

1 地鐵齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

在考慮時(shí)變嚙合剛度、時(shí)變嚙合阻尼、綜合傳遞誤差、外部激勵(lì)波動(dòng)的基礎(chǔ)上，建立了如圖1所示的兩自由度齒輪傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型。圖1中，I1、I2和Tin、Tout分別為主/從動(dòng)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和輸入/輸出扭矩，m1、m2為相應(yīng)齒輪的等效質(zhì)量。e(t)是由安裝、制造等引起的綜合嚙合誤差。

根據(jù)齒輪嚙合間的力學(xué)關(guān)系，推到了齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)風(fēng)力學(xué)微分方程：

式中，θi(i=1、2)為主/從動(dòng)齒輪的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移；rbi（i=1、2）為主/從動(dòng)齒輪的基圓半徑；km(t)和cm(t)為輪齒嚙合間的時(shí)變嚙合剛度和時(shí)變嚙合阻尼；f(x)為齒側(cè)間隙函數(shù)。

式中，km0和kmp為輪齒的平均嚙合剛度和單對(duì)齒嚙合剛度；ωe為嚙合頻率；ξm為阻尼實(shí)驗(yàn)系數(shù)；b為齒側(cè)間隙；Ti0和kip(i=in、out)分別為輸入/輸出扭矩的均值和幅值。

2 動(dòng)態(tài)特性分析

2.1 轉(zhuǎn)速的影響

由于地鐵系統(tǒng)不停地處于啟動(dòng)、運(yùn)行、停止的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，因此，地鐵牽引系統(tǒng)中齒輪的轉(zhuǎn)速在不停地改變，其大小和波動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)定性有重要的影響。圖2給出了轉(zhuǎn)速由ω=10rad/s變化到ω=270rad/s的運(yùn)動(dòng)情況。當(dāng)轉(zhuǎn)速較小時(shí)，齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，但在ω=83rad/s時(shí)，幅值出現(xiàn)了明顯的跳躍現(xiàn)象。當(dāng)轉(zhuǎn)速ω>155rad/s時(shí)，齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)由周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)入逆周期和混沌運(yùn)動(dòng)，并且在區(qū)間ω∈[155，192]rad/s中，齒輪系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在周期、逆周期和混沌之間交替轉(zhuǎn)變。當(dāng)系統(tǒng)處于較大轉(zhuǎn)速時(shí)(ω>195rad/s)，傳統(tǒng)系統(tǒng)主要表現(xiàn)為簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)。為了更詳細(xì)地說(shuō)明地鐵齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性，圖2(b)分別給 出 了 ω=122rad/s、ω=173rad/s、ω=182rad/s和ω=270rad/s時(shí)的響應(yīng)曲線(xiàn)。

2.2 嚙合誤差的影響

嚙合誤差是由安裝誤差、制造誤差等引起的綜合誤差，其大小直接影響地鐵齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的效率和精確性，進(jìn)而影響整個(gè)地鐵系統(tǒng)運(yùn)行的平穩(wěn)性和安全性，因此，分析嚙合誤差對(duì)地鐵齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響是非常必須的。圖3分別給出了e=2.0×10-5m和e=4.0×10-5m時(shí)的分叉圖。通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)嚙合誤差較小時(shí)，齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)表現(xiàn)出較強(qiáng)的非線(xiàn)性特性，即周期倍化分叉、Hopf分叉、跳躍不連續(xù)性及混沌特性等。當(dāng)轉(zhuǎn)速較小時(shí)(ω<115rad/s)，齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)主要表現(xiàn)為周期運(yùn)動(dòng)。隨著轉(zhuǎn)速的增大(115rad/s<ω<173rad/s)，傳動(dòng)系統(tǒng)通過(guò)逆周期運(yùn)動(dòng)逐漸進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。當(dāng)ω>173rad/s，齒輪系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)通過(guò)逆倍化分叉再次回到簡(jiǎn)單的周一運(yùn)動(dòng)。當(dāng)嚙合誤差由e=2.0×10-5m 增大到 e=4.0×10-5m 時(shí)，傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變得較為簡(jiǎn)單，即除去某些轉(zhuǎn)速外基本表現(xiàn)為簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)，但運(yùn)動(dòng)相應(yīng)的幅值明顯增大。因此，嚙合誤差幅值對(duì)地鐵齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性具有決定性的影響，為保證傳動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行，應(yīng)將其控制在較小范圍內(nèi)。

圖2 不同轉(zhuǎn)速下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

圖3 不同嚙合誤差工況下的分叉圖

3 結(jié)語(yǔ)

本文在同時(shí)考慮時(shí)變嚙合剛度、時(shí)變嚙合阻尼、綜合傳遞誤差、外部激勵(lì)波動(dòng)的基礎(chǔ)上，建立了2-DOF地鐵齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，研究了輸入轉(zhuǎn)速和內(nèi)部激勵(lì)嚙合誤差對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的硬性。主要結(jié)論如下。

（1）當(dāng)轉(zhuǎn)速較小或者較大時(shí)，地鐵齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)主要表現(xiàn)為簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)轉(zhuǎn)速處于某一區(qū)間內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)出較強(qiáng)的非線(xiàn)性特性，并且運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在周期、逆周期和混沌間頻繁跳躍。

（2）隨著嚙合誤差的增大，地鐵齒輪系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變得較為簡(jiǎn)單，但相應(yīng)的幅值明顯增大。