譚 平

(陜西鐵路工程職業(yè)技術學院鐵道工程系，714000，陜西，渭南)

0 引言

新型冠狀病毒肺炎(簡稱COVID-19)是一種動物傳染人、人傳染人及相互傳播的疾病，自從2019年12月26日至今，傳染速度之快，給中國乃至世界，造成巨大恐慌，嚴重影響我國人民生命和財產(chǎn)安全，為此，我國成立疫情防控小組，利用各種手段控制疫情蔓延[1]。因此，全面認識COVID-19的發(fā)病機理、了解病毒的傳播規(guī)律，提出有效防控策略，關系國計民生, 這也是當前世界乃至后期一段時間所面臨且迫切需要解決的熱點問題[2]。對于不同種群間傳播規(guī)律的研究具有理論和社會意義。對于高職院校學生(特定種群)而言，與普通種群，他的聚集性高、交叉大，與本科院校相對，學生理論基礎較差，好動程度強[3]，且在校大部分時間是在校內(nèi)外實訓(實習)[4]，被感染和交叉感染風險大。對于傳染病傳播動力模型規(guī)律認識，最早是200年前，科學家Bernoulli 建立了天花傳播模型[5]，隨后Kermack建立了“閾值理論”[6]；據(jù)此，胡志興[7]建立了SIRS分布時滯和非線性接觸率。郭寶珠[8]利用Bernoulli閾值建立了一個年齡結構分布控制傳染病模型。胡杰[9]等根據(jù)投放染病害蟲、天敵和噴灑化學農(nóng)藥的傳染病模型研究發(fā)現(xiàn)，傳染病傳播過程中符合脈沖微分方程小振動理論。目前對于傳染病，大部分針對的是病原個體、禽人間、人人間傳播，沒有考慮人與人、人與禽間的混合型，混合型中還包括類聚性[9]。本文傳統(tǒng)的閾值動力學模型理論為基礎，依據(jù)陜西鐵路職業(yè)技術學院COVID-19上報數(shù)據(jù)，考慮高職院校不同年級學生活動軌跡及聚合性、關聯(lián)度等因素，建立傳染病在高職院校間傳播的模型，通過再生系數(shù)的矩陣方程，判定模型穩(wěn)定性，分析COVID-19在職業(yè)院校中不同年級間的傳播規(guī)律。

1 職業(yè)院校COVID-19關聯(lián)函數(shù)建立

高職院校管理相關規(guī)定，學生大體分為3類，大一、大二、大三，特點是大一集體活動多，大二專業(yè)實踐課程多，大三大部分學生在自己所簽訂單位頂崗實習，中途回來4～5次，在學校停留時間在1—3周，大一、大二、大三間交流主要是通過學生工作辦公室、輔導員及相關班委。根據(jù)Kermack艙室理論，不考慮開除、留級及意外死亡等因素影響，群體間不進行任何交流聯(lián)系，可建立職業(yè)院校傳染病網(wǎng)格示意圖1。

圖1 高職院校傳染病網(wǎng)格示意圖

假設群體以班級為單位，每一個班級為一個獨立的艙室，每一個年級種群關聯(lián)度不同可設種群列j，每一個班級中群體包括正常者Fs，感染者FI及治愈者FV，可設置為行i，每一班級在一個節(jié)點上，班級中感染數(shù)量關系見公式(1)：

(1)

感染速率λ及治愈速率γ，感染后移除艙室，假設治愈后不再感染，傳染經(jīng)過時間[t,t+△t]，感染與治愈者按照公式(2)：

λ·△t，γ·△t

(2)

相應的正常種群減小量及增加量見公式(3)：

λ[Fs·FI]△t|γFI△t

(3)

大三頂崗實習歸來學生進入艙室，設定為新進種群，網(wǎng)格數(shù)量增加bN(t)△t,以入網(wǎng)絡的節(jié)點 k 的易感、恢復者可表示為公式(4)：

(1-p)bN(t)π△t;pbN(t)π△t

(4)

新增加節(jié)點進入原有網(wǎng)格后，度會增加1，經(jīng)過時間t后，由此增加n個后可設置為公式(5)[2]：

(5)

建立傳播動力微分方程見公式(6)：

(6)

加入一個人被感染，網(wǎng)格中原來是S-S將變成I-S，則I-S邊可以增加率為[2](1-p)φ′(1)[FI]，則邊界方程滿足公式(7)：

(7)

2 基本再生指數(shù)

動力模型中，處于無感染極限時，則有FM=0，F(xiàn)I=0，令式(6)、式(7)右邊等于0，可得雅克比矩陣(8)：

展開后

(8)

解非其次線性方程組，矩陣下部化簡，特征方程見公式(9)：

(9)

其中，顯然x=b=-2b=0都是方程組一個根。

當公式(10)

(10)

特征方程具有負實根，J區(qū)域穩(wěn)定。

由此得到種群再生系數(shù)，

無病平衡點E0趨于穩(wěn)定。

模型中，當新進成員為零時，也就是新引進成員為零時，即p、b都趨于0時，模型就變成了Lindquist靜止模型，根據(jù)Lindquist設定系數(shù)，φ′(1)=5.7，φ″(1)=68.432，α=4.669，γ=0.1-1，λ=10-50。

靜態(tài)動力模型中，基本再生系數(shù)與感染系數(shù)和治愈系數(shù)關系如圖2所示，據(jù)圖2分析可知，再生系數(shù)隨感染系數(shù)增大而增大，但再生系數(shù)小于并無線接近于1，隨著治愈系數(shù)增加，再生系數(shù)逐漸減小，接近于0 ，對于再生系數(shù)小于1，模型處于不穩(wěn)定狀態(tài)，說明，Lindquist靜止模型有一定局限性。對于網(wǎng)格動力模型中，再生系數(shù)與感染系數(shù)和治愈系數(shù)關系如圖3所示，與靜止模型規(guī)律基本相似，感染系數(shù)在30～50之間，再生系數(shù)穩(wěn)定且大于1，說明，本文建立模型適合于傳染病動力再生規(guī)律分析。

圖2 Lindquist靜態(tài)模擬結果

圖3 網(wǎng)格模擬結果

3 職業(yè)院校疫情防控措施評估

疫情源于武漢(可能源于華南海鮮市場)，截止2020年2月20日，我國COVID-19感染人數(shù)如圖4所示。通過感染云圖分析，目前總計62 254人，其中，湖北60 000人，從數(shù)據(jù)看屬于疫情高發(fā)區(qū)，陜西省232人，屬于藍色疫情防控區(qū)，屬于人與人間的被傳播(與湖北密切接觸者)，其中，渭南市15例，在陜西屬于中度防控區(qū)，截止2月20日，統(tǒng)計新增種群如圖5所示，因為大一、大二在校期間，與渭南市疫情種群增加類似，采用指數(shù)增長模型。

圖4 2020年2月20日全國確診分布

圖5 大一、大二疫情種群預測圖

根據(jù)目前學校統(tǒng)計報告及我國防控中心數(shù)據(jù)，將動力模型系數(shù)確定如下。

1)大三情況統(tǒng)計如圖6所示，大三因為80%以上學生都去參加頂崗實習，與外省人員接觸密切，假設大三在校生只要進入武漢的學生或者與湖北密切接觸學生就認為是被感染者，目前陜西鐵路工程職業(yè)技術學院共計有34人，其中在武漢參加醫(yī)療工程建設任務的3人，17人回家，23人有返校經(jīng)歷，大一按艙室值確定，大二按照渭南指數(shù)增長模型推算，感染累計疫點數(shù)n= 1.637×107，感染系數(shù)可以定義為γ=0.8，1，1.2，治愈系數(shù)為λ=30.2，37.2，40.4。

圖6 職業(yè)院校大三進倉風險增加原因

2) 從學生返倉原因可以預測出他們返倉軌跡。假設返校、違約學生與離校生在同一時間發(fā)生，可得到φ″(x)≈κφ′(x) ，據(jù)此估算出p=10%。

3) 因為后期除了艙室隔離，還有有疫苗作用，因為COVID-19病毒沒有疫苗，參照H5N1 禽流感滅活疫苗資料顯示，免疫保護為 1 a，因此設失效率φ= 1。其他參數(shù)假設為q=0.2，α=0.03，β=0.6。

圖7 為病情一個周期段內(nèi)、高職院校不同年級下以班級為艙室下累計感染模型，從種群進入網(wǎng)格數(shù)量分析不同，隨著年級增長，感染系數(shù)增大，感染人數(shù)也在增加，隨著艙室隔離、疫苗等作用，感染人數(shù)最終下降，最終趨勢值基本相同。

圖7 預測職業(yè)院校傳染病傳播規(guī)律

4 結論

為了深入研究COVID-19在職業(yè)院校學生間傳播，做好學生返校后疫情防控，保障學校正常教學、生產(chǎn)復工，建立網(wǎng)格傳染病防控模型，可得到以下規(guī)律。

1)通過艙室理論建立以班級為單位的艙室；通過輔導員、學生間聯(lián)系及高職院校各年級特點，設定職業(yè)院校傳染網(wǎng)、學生感染系數(shù)及治愈系數(shù)；通過網(wǎng)格高斯理論，建立了COVID-19微分動力方程。

2)通過雅克比矩陣解線性方程組，通過簡化判定，雅克比矩陣J為負，說明基本再生系數(shù)大于1，動力微分方程穩(wěn)定，比Lindquist靜止方程更加適用。

3)通過對全國COVID-19疫情判定，陜西省處于被感染區(qū)，陜西鐵路工程職業(yè)技術學院所處的渭南市在陜西省屬于中度防疫區(qū)，由于職業(yè)院校大一、大二學生特性，采用渭南地區(qū)指數(shù)增長模型，大三采用倍數(shù)增長模型，通過不同種群模型參數(shù)，建立一個周期內(nèi)，防疫模型，通過模型分析，大三學生在外實習感染風險較高，但隨著隔離、疫苗等手段控制后，疫情發(fā)展終值基本相同。