陳冬劍 畢 偉 胡云天

（1.江蘇省建筑工程質(zhì)量檢測中心有限公司，南京210000；2.邢臺職業(yè)技術(shù)學(xué)院，邢臺054000；3.中交公路規(guī)劃設(shè)計院有限公司，北京100088）

0 引 言

當(dāng)前斜拉橋在設(shè)計階段就考慮拉索的風(fēng)致振動危害問題，其中以風(fēng)雨振最為突出，很多大跨度斜拉橋已經(jīng)將風(fēng)洞試驗研究列于設(shè)計文件之中，然而由于拉索長度制約，風(fēng)洞研究普遍采取節(jié)段拉索進(jìn)行試驗以獲得相應(yīng)的氣動力試驗數(shù)據(jù)，故有必要進(jìn)行節(jié)段拉索風(fēng)雨振理論模型的推導(dǎo)，給出相關(guān)分析結(jié)果以供風(fēng)洞試驗研究進(jìn)行參考比對。

在理論分析方面，Yamaguchi［1］建立了首個彎扭耦合的兩自由度節(jié)段拉索模型；彭天波［2-3］建立了含上下水線的三自由度節(jié)段拉索模型；杜曉慶［4］通過試驗獲得了拉索和水線平均氣動力系數(shù)建立了更精細(xì)的兩自由度節(jié)段拉索模型；李暾［5］研究了水線與拉索表面的相互作用力，確定了PE材料表面的庫倫阻尼力約為0.062 7 N/m，并根據(jù)Prandtl 邊界層理論確定了黏滯線性阻尼力約為1 Ns/m2，相互作用力的確定使得風(fēng)雨振節(jié)段拉索模型更加完善。

然而，在當(dāng)前日趨完善的風(fēng)雨振模型下，斜拉索與水線的參數(shù)對風(fēng)雨振影響規(guī)律的定量研究還不多，基于此原因本文開展了相應(yīng)的研究工作。

1 風(fēng)雨振節(jié)段拉索模型

1.1 理論模型推導(dǎo)

本文采用運動水線兩自由度節(jié)段拉索風(fēng)雨振理論模型，結(jié)合國內(nèi)外當(dāng)前對于風(fēng)雨振的認(rèn)知，可作如下假設(shè)：

（1）考慮斜拉索面內(nèi)振動，忽略面外振動；

（2）計入上水線影響，下水線穩(wěn)定性可不計；

（3）水線的形狀、大小在風(fēng)雨振時保持不變；

（4）水線的質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于拉索的質(zhì)量；

（5）準(zhǔn)定常假設(shè)成立。

風(fēng)雨振斜拉索理論模型的示意圖如圖1 所示，其中圖1（a）給出了節(jié)段拉索空間位置示意圖。根據(jù)圖1（b）可建立拉索沿面內(nèi)方向的振動微分方程，其表達(dá)式為

由圖2 可建立上水線沿拉索表面作周向運動的微分方程：

圖1 風(fēng)雨振模型Fig.1 Rain-wind induced vibration model

式（1）和式（2）中：Mc為單位長度拉索的質(zhì)量；m為單位長度水線的質(zhì)量；c為拉索阻尼系數(shù)；k為拉索剛度系數(shù)；g為重力加速度分別為斜拉索在面內(nèi)發(fā)生振動的位移、速度和加速度；θ0為水線的初始位置分別為水線的角位移、角速度和角加速度；R為拉索截面半徑；cr為黏滯線性阻尼系數(shù)；文獻(xiàn)［6］將水線振動的彈性回復(fù)力kθ假設(shè)為庫侖阻尼力F0；sgn（）為符號函數(shù)；FL為拉索受到的平均氣動升力；FD為拉索受到的平均氣動阻力；fτ為水線受到的平均氣動力沿拉索表面切線方向的分量；FN為斜拉索表面與水線之間的正壓力；α為拉索傾角。

圖2 相互作用力示意圖Fig.2 Interaction force diagram

由圖1（a）可獲得相對風(fēng)速Urel與水平風(fēng)速的夾角φ值為

式（3）中：

式中：β為風(fēng)偏角；U0為來流風(fēng)速。

Urel相對風(fēng)速的大小為

式（1）中，拉索受到的平均氣動力為

式（2）中，水線受到的平均氣動力沿拉索表面切向的分量fτ為

式（7）-式（9）中：

式中：D為斜拉索的直徑；CL為拉索的平均氣動升力系數(shù)；CD為拉索的平均氣動阻力系數(shù)；B為水線表面圓弧直徑；fL、fD分別為水線受到的平均升力和阻力；cl、cd分別為水線平均升力和阻力系數(shù)；ρ為空氣密度。

在式（1）中，根據(jù)假設(shè)（4），由于單位長度水線質(zhì)量m、正壓力FN、庫侖阻尼力F0和黏滯線性阻尼力crRθ˙的值很小，在方程中可以忽略不計。因此式（1）可以化簡為

式中：ξ為拉索的阻尼比；ω為拉索振動圓頻率。

拉索風(fēng)雨振的求解即轉(zhuǎn)化成對于式（2）和式（11）的微分方程求解。

1.2 拉索風(fēng)雨振響應(yīng)

拉索風(fēng)雨振的求解算法采用四階龍格庫塔法。其中拉索與水線的氣動力系數(shù)選取杜曉慶在節(jié)段拉索風(fēng)洞試驗中粘貼固定人工水線進(jìn)行試驗測得的數(shù)據(jù)［4］。節(jié)段拉索參數(shù)、水線參數(shù)以及振動初始條件見表1。

經(jīng)計算獲得拉索在振動后期振幅與風(fēng)速的關(guān)系如圖3 所示，可見拉索風(fēng)雨振呈現(xiàn)出明顯的“限速限幅”特性且發(fā)生在較低的風(fēng)速下，這與當(dāng)前拉索風(fēng)雨振的模擬與實測結(jié)果相符合。在當(dāng)前工況下，拉索風(fēng)雨振出現(xiàn)三個平穩(wěn)段和兩個起振風(fēng)速區(qū)間。

圖4 給出了拉索在三個平穩(wěn)段和兩個起振風(fēng)速區(qū)間內(nèi)某一風(fēng)速下的振動時程，由圖可見平穩(wěn)段的拉索振幅由于自身阻尼作用振動呈現(xiàn)衰減形式，而在兩個起振風(fēng)速區(qū)間內(nèi)，拉索發(fā)生了穩(wěn)定持續(xù)的大幅振動。

表1 參數(shù)取值Table 1 Parameter value

圖3 拉索振幅與風(fēng)速的關(guān)系Fig.3 Relationship between cable amplitude and wind speed

將起振風(fēng)速區(qū)間內(nèi)拉索與水線的振動經(jīng)快速傅立葉變換得到其幅頻如圖5 所示，拉索以其固有頻率發(fā)生振動，水線振動的主要頻率與拉索固有頻率相一致，同時夾雜著少量的倍頻成分。

2 拉索風(fēng)雨振參數(shù)影響分析

2.1 阻尼比的影響

對于拉索阻尼比的變化對拉索振幅的影響如圖6 所示，拉索最大振幅隨著阻尼比的增加而顯著地減少，當(dāng)阻尼比達(dá)到0.6%后拉索基本不發(fā)生共振。與此同時可見，拉索阻尼比的變化并不會改變風(fēng)雨振起振風(fēng)速區(qū)間。

2.2 黏滯線性阻尼系數(shù)的影響

圖4 拉索風(fēng)雨振時程圖Fig.4 Wind and rain vibration time history

對于拉索和水線之間的黏滯線性阻尼系數(shù)cr的推導(dǎo)可參考文獻(xiàn)［5］采用了Prandtl 邊界層理論確定了cr約等于1 Ns/m2，拉索最大振幅隨著黏滯線性阻尼系數(shù)的增大會經(jīng)歷著由小變大，再由大變小這樣的起落過程，其中cr=1 Ns/m2振幅最大（圖7），同時隨著黏滯線性阻尼系數(shù)的增大對第一起振風(fēng)速區(qū)間的影響很大，但對第二起振風(fēng)速區(qū)間的改變不顯著。

2.3 單位長度拉索質(zhì)量的影響

圖5 拉索與水線的幅頻圖Fig.5 Amplitude-frequency plot of cable and waterline

圖6 阻尼比對振幅的影響Fig.6 Effect of damping ratio on amplitude

圖7 阻尼比對振幅的影響Fig.7 Effect of damping ratio on amplitude

在進(jìn)行節(jié)段拉索風(fēng)雨振的風(fēng)洞試驗亦或是利用節(jié)段拉索理論模型進(jìn)行計算時，若采用單位長度拉索在實際情況下的質(zhì)量，其振幅將小于實際連續(xù)拉索振幅，因而節(jié)段拉索模型通常選取實際連續(xù)拉索的折減質(zhì)量，折減后的單位長度拉索質(zhì)量約為實際質(zhì)量的1/5～1/10。對于單位長度拉索質(zhì)量Mc的變化對振幅的影響如圖8 所示，可見拉索最大振幅隨著單位長度質(zhì)量的增加而減少，其變化規(guī)律類似阻尼比，拉索單位長度質(zhì)量的變化并不會改變風(fēng)雨振起振風(fēng)速區(qū)間。

圖8 單位長度拉索質(zhì)量對振幅的影響Fig.8 Effect of mass of cables per unit length on amplitude

3 風(fēng)雨振水線參數(shù)影響分析

3.1 水線表面圓弧直徑的影響

對于水線參數(shù)的取值，目前尚未見有文獻(xiàn)對水線的大小、形狀和質(zhì)量給出明確的確定方法。針對水線表面圓弧直徑B，參考文獻(xiàn)［4］的假定取值13.5～16.4 mm，通過圖9 可知，B的增大對拉索振動最大幅值的影響近似成線性遞減，隨著B的增大風(fēng)雨振的風(fēng)速區(qū)間大小基本不變，但風(fēng)雨振區(qū)間出現(xiàn)的風(fēng)速發(fā)生了提前。

圖9 水線表面圓弧直徑對振幅的影響Fig.9 Effect of arc diameter on waterline surface on amplitude

3.2 單位長度水線質(zhì)量的影響

關(guān)于單位長度水線質(zhì)量m的取值，不同學(xué)者［4，7-9］都有所不同，本文考慮由 0.01～0.06 kg/m 變化。而文獻(xiàn)［10］指出觀測到的風(fēng)雨激振的風(fēng)速基本在5～20 m/s，圖10 給出了該風(fēng)速段下單位長度水線質(zhì)量和拉索最大振幅的關(guān)系，可見單位長度水線質(zhì)量m在0.03 kg/m 以下時拉索振幅較小，m在 0.04～0.06 kg/m 時，拉索在風(fēng)速 14～20 m/s 時出現(xiàn)了更大的振幅，水線質(zhì)量的增加同時也會提高起振風(fēng)速，并且風(fēng)雨振的風(fēng)速區(qū)間變得更大。

圖10 單位長度水線質(zhì)量對振幅的影響Fig.10 Effect of waterline mass per unit length on amplitude

4 結(jié) 論

本文在拉索與水線相互作用力研究的新進(jìn)展下進(jìn)行了節(jié)段拉索風(fēng)雨振的時域頻域分析與影響參數(shù)分析，得到以下結(jié)論：

（1）拉索以其固有頻率振動，水線頻率的主要成分與拉索相同并夾雜其倍頻成分；

（2）阻尼比與單位長度拉索質(zhì)量的增加能有效減小振幅且發(fā)生風(fēng)雨振的風(fēng)速區(qū)間基本不變；

（3）黏滯線性阻尼系數(shù)的增加能使振幅先增后減，黏滯線性阻尼系數(shù)在1 Ns/m2時振幅最大；

（4）水線表面圓弧直徑的增加能使振幅與發(fā)生風(fēng)雨振的風(fēng)速區(qū)間規(guī)律性地減??；

（5）單位長度水線質(zhì)量的增加使得振幅提高，同時帶來風(fēng)雨振風(fēng)速區(qū)間的增大。