彭 程， 謝迎新

（華北科技學院電子信息工程學院，河北三河065201）

0 引 言

臨界比例度法，又稱穩(wěn)定邊界法［1］、連續(xù)循環(huán)法［2］，是一種重要的PID參數(shù)整定方法，在四旋翼飛行器穩(wěn)定控制［3］、羅茨風機風量調(diào)節(jié)［4］、溫度控制［5-7］、直流電機調(diào)速［8］、船用升降設備位置控制［9］、反應堆功率控制［10］以及變量施肥控制［11］等不同控制問題中均有成功應用。

自動化專業(yè)本科“過程控制系統(tǒng)”課程中會講授臨界比例度法，實驗課也經(jīng)常會針對該方法開展訓練［12-15］。在以往的教學實踐中，通常只是將臨界比例度法作為一種PID參數(shù)整定方法加以介紹，一般不會將該方法與“自動控制原理”課程中講授過的系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)聯(lián)系起來，學生也只是將臨界比例度法理解為一個獨立的知識點。使用臨界比例度法的關鍵是通過實驗得到臨界比例系數(shù)和等幅振蕩周期。對于一些特定形式的被控過程，如果已知被控對象、執(zhí)行器和測量變送器的數(shù)學模型，上述兩個參數(shù)是可以計算出來的。文獻［1，10］中均提出過這一觀點，并分別采用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和根軌跡法進行了計算，但是沒有進行詳細的理論分析。本文以有自衡特性和無自衡特性3容對象為例，給出了臨界比例度法參數(shù)的計算公式，并設計了Matlab／Simulink仿真實驗，以便于學生更好地理解和掌握該方法。

1 臨界比例度法

考慮圖1所示的單回路控制系統(tǒng)，圖中R（s）、E（s）、U（s）、Y（s）和B（s）分別為系統(tǒng)的參考輸入、偏差、控制量、被控量和反饋量，C（s）、Gv（s）、Gp（s）和Gm（s）分別為控制器、執(zhí)行器、被控對象和測量變送器的傳遞函數(shù)。

圖1 單回路控制系統(tǒng)結構圖

若Y（s）和B（s）在階躍型參考輸入R（s）和增益為臨界比例系數(shù)Kc的比例控制器C（s）作用下產(chǎn)生周期為Tc的等幅振蕩，則PID控制器

的3個參數(shù)：比例系數(shù)KP、積分時間常數(shù)TI和微分時間常數(shù)TD，可以由表1 確定［1］。

表1 臨界比例度法PID控制器參數(shù)計算

臨界比例度法不需要已知被控對象、執(zhí)行器和測量變送器的數(shù)學模型，只需在實驗過程中逐步增大比例控制器的比例系數(shù)，直到Y（s）和B（s）產(chǎn)生等幅振蕩，記錄臨界比例系數(shù)Kc和等幅振蕩的周期Tc的值，就可以確定PID控制器的參數(shù)。

2 臨界比例度法參數(shù)的解析計算

2.1 有自衡特性3容對象

如前所述，臨界比例度法的關鍵問題是確定參數(shù)Kc和Tc的值。本節(jié)針對有自衡特性3容對象

式中：K ＞0為對象增益；T1＞0、T2＞0、T3＞0為時間常數(shù)。為研究參數(shù)Kc、Tc與模型參數(shù)T1、T2、T3以及K之間的關系，給出下面的引理。

引理1 對于正常數(shù)T1、T2和T3，有

成立。

證明：令

則

由多項和平方展開公式計算可得：

易知M1＞0，M2＞0，故M1＝M2成立。證畢。

引理2 對于正常數(shù)T1、T2和T3，有成立。

證明 因為

同時考慮到

所以

成立。證畢。

在引理1和引理2的基礎上，可以給出如下的定理。

定理1 對于式（2）給出的有自衡特性3容對象，若已知模型參數(shù)T1、T2、T3和K，令比例控制器

則Y（s）和B（s）在單位階躍參考輸入R（s）＝1／s作用下將產(chǎn)生等幅振蕩，且等幅振蕩的周期

證明 （1）證法1。

由引理1可知，

由上述計算結果可知，以C（s）＝αKc為比例控制器的開環(huán)系統(tǒng)的幅相特性曲線經(jīng)過復平面上的（－α，j0）點，對應的頻率為ωc。

根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)容易知道，當α＞1時，開環(huán)幅相特性曲線順時針包圍（－1，j0）點兩次，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，并且有兩個不穩(wěn)定閉環(huán)極點；當α＜1時，開環(huán)幅相特性曲線不包圍（－1，j0）點，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；而α＝1，即比例控制器C（s）＝Kc時，閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，階躍輸入下閉環(huán)系統(tǒng)響應會出現(xiàn)等幅振蕩，且振蕩周期

證畢。

（2）證法2。

比例控制器C（s）＝Kc作用下閉環(huán)特征多項式

對閉環(huán)特征多項式列勞斯表，有

勞斯表s1行中

即勞斯表出現(xiàn)了全0行，閉環(huán)系統(tǒng)必然存在位于實軸或者虛軸上的、關于原點對稱的極點。由勞斯表s2行構造輔助方程

容易知道構造輔助方程之后勞斯表第一列元素均為正，故閉環(huán)系統(tǒng)沒有實部大于零的極點，即關于原點對稱的閉環(huán)極點是位于虛軸上的，而第3個閉環(huán)極點位于負實軸上。解輔助方程可得虛軸上的共軛虛數(shù)極點

故在比例控制器C（s）＝Kc作用下閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，階躍響應會出現(xiàn)等幅振蕩，且振蕩周期

證畢。

（3）證法3。

由根軌跡分析可知，不管比例控制器的比例系數(shù)KP如何變化，根軌跡3個分支之中有1個分支始終位于負實軸上，即閉環(huán)系統(tǒng)總有1個穩(wěn)定的閉環(huán)實極點；而另外2個分支在離開負實軸之后會隨著比例系數(shù)KP的增大，逐漸靠近并穿越虛軸。即隨著比例系數(shù)KP的增大，閉環(huán)系統(tǒng)會呈現(xiàn)出穩(wěn)定、臨界穩(wěn)定到不穩(wěn)定的變化規(guī)律。

比例控制器C（s）＝Kc時，閉環(huán)特征多項式

令D（s）＝0，可得閉環(huán)極點為

和

閉環(huán)系統(tǒng)的3個極點分別位于虛軸和負實軸上，故比例控制器C（s）＝Kc作用下閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應會出現(xiàn)等幅振蕩，且振蕩周期

證畢。

定理1的3種證明方法將“自動控制原理”和“過程控制系統(tǒng)”兩門課的知識點聯(lián)系起來，分別從奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、勞斯穩(wěn)定判據(jù)和根軌跡法的角度揭示了有自衡特性3容對象臨界比例度法參數(shù)Kc、Tc的取值規(guī)律。

2.2 無自衡特性3容對象

對于無自衡特性3容對象

式中：T1＞0、T2＞0、T3＞0為時間常數(shù)。其臨界比例度法參數(shù)Kc和Tc的計算原理可以由下面的定理2給出。與定理1的證明過程類似，可以從奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、勞斯穩(wěn)定判據(jù)和根軌跡法3種角度出發(fā)進行證明。這里僅給出使用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的證明方法。

定理2 對于式（7）給出的無自衡特性3容對象，若已知模型參數(shù)T1、T2和T3，令比例控制器

則Y（s）和B（s）在單位階躍參考輸入R（s）＝1／s作用下將產(chǎn)生等幅振蕩，且等幅振蕩的周期

證明 設比例控制器

式中：β＞0為正常數(shù)，則系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

令s＝jω，可得開環(huán)系統(tǒng)頻率特性

令

將ωc代入開環(huán)幅頻特性和相頻特性的表達式，可得

以及

由上述計算結果可知，以C（s）＝βKc為比例控制器的開環(huán)系統(tǒng)的幅相特性曲線經(jīng)過復平面上的（－β，j0）點，對應的頻率為ωc。

根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)容易知道，當β＞1時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；當β＜1時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；而β＝1，即比例控制器C（s）＝Kc時，閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，階躍輸入下閉環(huán)系統(tǒng)響應會出現(xiàn)等幅振蕩，且振蕩周期

證畢。

3 仿真實驗設計

在教學實踐中，使用了Matlab／Simulink軟件進行臨界比例度法仿真實驗。在使用Matlab／Simulink軟件模擬3容對象的臨界比例度法參數(shù)調(diào)節(jié)過程之后，可以使用定理1和定理2計算出參數(shù)Kc、Tc的理論值，以檢驗參數(shù)整定過程的正確性。要求學生完成的實驗內(nèi)容包括：

①針對有自衡特性3容對象，根據(jù)圖1建立Simulink仿真文件。

②取消積分和微分控制作用，逐步增大比例控制器的比例系數(shù)，使閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應呈現(xiàn)等幅振蕩，記錄臨界比例系數(shù)Kc和等幅振蕩的周期Tc的值。

③按照表1的規(guī)則，編寫Matlab程序計算P、PI和PID控制器參數(shù)，將參數(shù)寫入Simulink仿真文件，進行仿真，記錄峰值時間、超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間和穩(wěn)態(tài)誤差，比較不同控制器作用下閉環(huán)系統(tǒng)響應的特點。

④編寫Matlab程序計算臨界比例度法參數(shù)的理論值，并與②中的結果進行對比，如果不一致，找出原因。

⑤改變Simulink仿真文件中被控對象的模型參數(shù)，使其成為無自衡特性3容對象，重復②～④的仿真內(nèi)容。

在實驗課之前，向?qū)W生講授定理1及其證明方法，要求學生利用課余時間使用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、根軌跡法或者勞斯穩(wěn)定判據(jù)之中的一種方法自行分析臨界比例度法參數(shù)與無自衡特性3容對象模型參數(shù)之間的關系，并進行理論證明，以培養(yǎng)學生的理論分析能力。

4 數(shù)值算例

限于篇幅，本節(jié)使用兩個算例進一步驗證定理1和定理2的正確性，不展示臨界比例度法參數(shù)整定過程和控制效果，兩例中均假設Gv（s）＝1、Gm（s）＝1。

例1 有自衡特性3容對象

其模型參數(shù)為T1＝2 s、T2＝10 s、T3＝20 s和K ＝3。

由定理1計算可得Kc＝6.600 0，進而可以求出ωc＝ 0.282 8 rad／s，Tc＝ 22.214 4 s。比例控制器C（s）＝6.600 0作用下閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應如圖2所示。觀察圖2可知階躍響應出現(xiàn)了等幅振蕩，并且振蕩周期與理論計算結果一致，驗證了定理1的正確性。

圖2 有自衡特性3容對象的閉環(huán)單位階躍響應

例2 無自衡特性3容對象

其模型參數(shù)為T1＝0.2 s、T2＝2 s和T3＝7 s。

由定理2計算可得Kc＝0.128 6，進而可以求出ωc＝ 0.267 3 rad／s，Tc＝ 23.509 5 s。比例控制器C（s）＝0.128 6作用下閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應如圖3所示。與例1的情況類似，觀察圖3可以驗證定理2正確性。

圖3 無自衡特性三容對象的閉環(huán)單位階躍響應

5 結 語

針對有自衡特性和無自衡特性3容對象這兩類典型的過程控制對象，研究了臨界比例度法參數(shù)與模型參數(shù)之間的關系，以此為基礎，設計了臨界比例度法Matlab／Simulink仿真實驗。具體結論如下：

（1）對于有自衡特性3容對象，臨界比例系數(shù)Kc是模型參數(shù)T1、T2、T3和K的顯函數(shù)，等幅振蕩周期Tc是T1、T2、T3的顯函數(shù)；對于無自衡特性3容對象，Kc是模型參數(shù)T1、T2和T3的顯函數(shù)，Tc是和T2和T3的顯函數(shù)。

（2）使用“自動控制原理”課程講授過的穩(wěn)定性判別方法證明了3容對象臨界比例度法參數(shù)與模型參數(shù)之間的關系。在理論指導下設計了臨界比例度法Matlab／Simulink仿真實驗，有利于學生更好地掌握該方法，提升理論分析和實踐能力。