趙宇佳, 徐恭賢

(渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 遼寧 錦州 121013)

1,3-丙二醇是一種十分重要的化工原料,它可用于合成各種藥物,例如,新型聚酯PTT和新型抗氧化劑.此外,在合成洗滌劑、增塑劑、防腐劑、乳化劑等領(lǐng)域也有廣泛應(yīng)用[1-2].近些年來,微生物發(fā)酵法生產(chǎn)1,3-丙二醇的研究受到了國內(nèi)外眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注[3-19].例如,Fraz?o[4]等構(gòu)造了葡萄糖發(fā)酵生產(chǎn)1,3-丙二醇的生物合成路徑.Yuan等[5]研究了甘油間歇發(fā)酵過程的魯棒參數(shù)辨識.Xu等[6]研究了甘油連續(xù)發(fā)酵過程的多目標(biāo)優(yōu)化.譚雯心[7]建立了參數(shù)辨識動態(tài)優(yōu)化模型,基于B樣條法和吉洪諾夫正則化法估計出多種代謝物濃度的實驗值導(dǎo)數(shù),使得誤差值降低,從而得出原參數(shù)辨識問題的最優(yōu)解.孫亞琴[8]通過對微生物轉(zhuǎn)化等過程進(jìn)行模擬分析,建立了酶催化與基因調(diào)控非線性動力學(xué)方程.王丹等[9-10]研究了一類甘油流加過量動力學(xué)系統(tǒng)的動態(tài)優(yōu)化,但是論文作者沒有考慮甘油生物歧化過程中的還原途徑酶催化作用.因此,本文結(jié)合甘油生物歧化為1,3-丙二醇過程的非線性動力系統(tǒng),建立了其還原途徑酶催化過程的最優(yōu)控制模型,并通過有限元配置法求其最優(yōu)解,為將來的生物過程優(yōu)化研究提供指導(dǎo).

1 數(shù)學(xué)模型

考慮如下甘油流加生物歧化為1,3-丙二醇過程的還原途徑酶催化非線性動力系統(tǒng):

(9)

(pi=1,3-PD,HAc);

(i=GDHt,PDOR);t∈[0,tf].

其中:ρX是代謝物質(zhì)量濃度,g·L-1;cs是底物濃度,mmol·L-1;cse,csi分別是反應(yīng)器中胞外與胞內(nèi)甘油濃度,mmol·L-1;c3-HPA為胞內(nèi)3-羥基丙醛濃度,mmol·L-1;cPDi為胞內(nèi)1,3-丙二醇濃度,mmol·L-1;μ,μm分別是比生長速率及其最大值,h-1;qPD,qHAc,qEtOH是產(chǎn)物比生成速率,mmol·g-1·h-1;qs是底物比消耗速率,mmol·g-1·h-1;cPD,cHAc,cEtOH是產(chǎn)物濃度,mmol·L-1;Vs為單位生物量細(xì)胞內(nèi)體積,L·g-1;F為甘油流加速率,L·h-1;V為反應(yīng)器中液體體積,L;r為堿的流加速率與甘油流加速率之比;t為發(fā)酵時間,h;tf是t的終端時刻,h;其余參數(shù)意義及取值參見文獻(xiàn)[18].

2 最優(yōu)控制模型

針對甘油生物流加發(fā)酵過程,建立了如下優(yōu)化目標(biāo)為終端時刻1,3-丙二醇濃度的最優(yōu)控制模型:

3 求解方法

設(shè)

則可將式(10)表示為下列最優(yōu)控制問題:

其中,Kx、Ku為有限元[ζi,ζi+1]上配置點的個數(shù).上述多項式中的xKx(t)滿足xKx(tij)=xij,uKu(t)滿足uKu(tij)=uij.為確定多項式xKx(t)、uKu(t)的系數(shù),將其代入狀態(tài)方程中,可得如下方程:

令tik=ζi+Δζiτk,Δζi=ζi+1-ζi,τk∈[0,1],則可將式(12)、式(13)寫為:

此外,為保證狀態(tài)在有限元終端具有連續(xù)性,相鄰有限元的初始狀態(tài)與終端狀態(tài)需符合以下條件:

因此可將最優(yōu)控制式(11)轉(zhuǎn)化為如下NLP問題:

4 結(jié)果與分析

圖1為tf取20 h時,各變量隨時間t的變化曲線.表1為不同終端時刻下,r取值為0.75時最優(yōu)控制問題的最優(yōu)解.隨著終端時刻tf逐漸增大,ρX先逐漸增大,在20～28 h內(nèi)逐漸減小,然后增大,在20 h達(dá)到最大值2.87 g·L-1;cs先減小后增大再減小,在32 h減小至977.36 mmol·L-1;cPD達(dá)到最大值939.50 mmol·L-1后不發(fā)生變化;cHAc的值先增大后減小再增大;cEtOH和c3-HPA變化趨勢相似,都是先增大,然后在28～32 h內(nèi)逐漸減小,兩者最大值分別可達(dá)到68.01和551.80 mmol·L-1;csi的值先減小,在20～25 h內(nèi)逐漸增大,然后減小;csi最大可達(dá)到1 168.71 mmol·L-1;cPDi的值先增大后減小再增大,在32 h升到最大938.61 mmol·L-1;V的值先增大,然后減小,最大可達(dá)到7.99 mmol·L-1;F的值先逐漸增大,在20～28 h內(nèi)逐漸減小,然后再增大.

表1 不同終端時刻下最優(yōu)控制問題的最優(yōu)解Table 1 Optimal values of optimal control problem under different terminal moments

(a) ρX的變化曲線(b) cs的變化曲線(c) cPD的變化曲線(d) cHAc的變化曲線(e) cEtOH的變化曲線(f) csi的變化曲線(g) c3-HPA的變化曲線(h) cPDi變化曲線

(i) V的變化曲線(j) F的變化曲線

5 結(jié) 語

本文以甘油生物歧化生產(chǎn)1,3-丙二醇過程的最優(yōu)控制為研究背景,建立了固定終端時刻條件下,使1,3-丙二醇的最終濃度達(dá)到最大值的最優(yōu)控制模型.基于有限元配置法求解了所建立的最優(yōu)控制問題,得出了模型的最優(yōu)數(shù)值.為實現(xiàn)甘油生物歧化過程的生產(chǎn)優(yōu)化提供了指導(dǎo)與方法.