劉艷

摘要：在一次建鄴區(qū)小學(xué)生學(xué)業(yè)水平調(diào)研中，有一道考查“可能性”相關(guān)知識(shí)的選擇題得分率非常低。通過(guò)分析教學(xué)內(nèi)容及誤區(qū)，查閱相關(guān)文獻(xiàn)資料，提出“可能性”這一內(nèi)容的教學(xué)建議：用心設(shè)計(jì)活動(dòng)，強(qiáng)調(diào)邏輯性;精心挑選素材，體會(huì)隨機(jī)性;匠心設(shè)計(jì)問(wèn)題，體現(xiàn)層次性。

關(guān)鍵詞：可能性活動(dòng)素材問(wèn)題

在一次建鄴區(qū)小學(xué)生學(xué)業(yè)水平調(diào)研中，有這樣一道題：

3個(gè)袋子里都裝有質(zhì)地相同的紅球和一些其他顏色的球。其中①號(hào)袋里有1個(gè)紅球，②號(hào)袋里有2個(gè)紅球，③號(hào)袋里有3個(gè)紅球。問(wèn)：從幾號(hào)袋里摸到紅球的可能性最大？（）

A. ①號(hào)B. ②號(hào)

C. ③號(hào)D. 無(wú)法確定

題目考查學(xué)生對(duì)“可能性”相關(guān)知識(shí)的掌握程度。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，本題的得分率僅為24.9%，有72.7%的學(xué)生選擇了C選項(xiàng)，認(rèn)為紅球的數(shù)量決定了摸出紅球的可能性大小。這引發(fā)了筆者對(duì)“可能性”這一教學(xué)內(nèi)容的關(guān)注和思考。

一、教學(xué)內(nèi)容

“可能性”是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)第六單元的內(nèi)容。通過(guò)本單元的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)初步了解簡(jiǎn)單隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)，感受簡(jiǎn)單隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，發(fā)展隨機(jī)意識(shí)，增強(qiáng)數(shù)據(jù)分析觀念。同時(shí)，拓展解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的范圍，發(fā)展分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，為第三學(xué)段隨機(jī)事件發(fā)生概率的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

二、教學(xué)誤區(qū)

筆者在實(shí)際聽(tīng)課過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，“可能性”教學(xué)看似不難，卻經(jīng)常可見(jiàn)隨意性很強(qiáng)的課堂，具體表現(xiàn)為武斷地得出結(jié)論和忽略隱含條件。

（一）武斷地得出結(jié)論

【片段1】

師同學(xué)們參加過(guò)抽獎(jiǎng)活動(dòng)嗎？下面我們就來(lái)現(xiàn)場(chǎng)抽獎(jiǎng)：這個(gè)不透明袋子里裝了2個(gè)球，任意摸1個(gè)，摸到紅球者中獎(jiǎng)。

（請(qǐng)3位學(xué)生摸球，摸出的皆為黃球。）

生袋子里2個(gè)球都是黃球。

師我們打開(kāi)袋子看一看，果然是2個(gè)黃球。從這個(gè)袋子里任意摸1個(gè)球，能摸出紅球嗎？

生不可能。

師（出示裝有2個(gè)紅球的袋子和裝有1個(gè)紅球、1個(gè)黃球的袋子）從哪個(gè)袋子里摸球，一定會(huì)中獎(jiǎng)？

生從裝有2個(gè)紅球的袋子里摸球，一定會(huì)中獎(jiǎng)。

師從裝有1個(gè)紅球和1個(gè)黃球的袋子里任意摸1個(gè)球呢？

生可能中獎(jiǎng)，也可能不中獎(jiǎng)。

師也就是說(shuō)，從裝有1個(gè)紅球和1個(gè)黃球的袋子里任意摸1個(gè)球，可能是紅球，也可能是黃球。下面我們進(jìn)行小組活動(dòng)，看是不是這樣的。

（出示活動(dòng)要求：組長(zhǎng)拿著口袋，讓4位組員按順序輪流摸球;記錄員記錄組員報(bào)的顏色，紅球用紅色水彩筆標(biāo)記，黃球空白即可。學(xué)生小組活動(dòng)，完成后全班交流，匯總摸球情況，如圖1所示。）

圖1

師你有什么想說(shuō)的？

生第1組摸到了很多次紅球。

師第1組在摸球前能確定摸出紅球嗎？

生（第1組）能確定，我發(fā)現(xiàn)袋子里的球有的光滑、有的粗糙。

生每個(gè)組的中獎(jiǎng)率都挺高的。

師每次都中獎(jiǎng)嗎？可能中獎(jiǎng)，也可能不中獎(jiǎng)，能確定嗎？

生第4組中獎(jiǎng)率低。

生第8組的情況有點(diǎn)規(guī)律，空一格出現(xiàn)2個(gè)紅球。

師但第11次并不是紅球，證明不存在這個(gè)規(guī)律。（稍停）如果一開(kāi)始沒(méi)摸出紅球，一直摸下去是不是總能摸到紅球？

生如果運(yùn)氣差，會(huì)一直摸出黃球。

師一直摸下去，總是能摸到紅球的。

……

用抽獎(jiǎng)的情境導(dǎo)入，學(xué)生摸了3次沒(méi)摸到紅球，就揭曉了答案——袋子里2個(gè)球都是黃球。這其實(shí)略顯隨意和武斷了，可以看到，這也與小組活動(dòng)的結(jié)果矛盾——第6組前3次摸到的都是黃球，第4次摸到了紅球。此外，抽獎(jiǎng)的情境容易讓學(xué)生結(jié)合“運(yùn)氣”去思考問(wèn)題（如果運(yùn)氣差，會(huì)一直摸出黃球），聚焦點(diǎn)不在數(shù)學(xué)上，影響了數(shù)學(xué)的思考。

（二）忽略隱含條件

【片段2】

教師在例2教學(xué)完成后，緊接著讓學(xué)生完成“練一練”（見(jiàn)圖2）。在學(xué)生明確從第3個(gè)口袋里不可能摸出紅球后，組織學(xué)生基于對(duì)例2的體會(huì)，討論前兩個(gè)口袋從哪個(gè)口袋里摸出紅球的可能性大。一名學(xué)生回答：從第2個(gè)口袋里摸出紅球的可能性大，因?yàn)橛?個(gè)紅球，第1個(gè)口袋里只有1個(gè)紅球。其他學(xué)生表示認(rèn)可。教師完成教學(xué)。

圖2

例2主要幫助學(xué)生感受簡(jiǎn)單隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小。從例2過(guò)渡到“練一練”，看似順理成章，實(shí)則出現(xiàn)了引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注紅球個(gè)數(shù)的傾向。例2是同一隨機(jī)試驗(yàn)不同隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小比較（從3張紅桃、1張黑桃撲克牌中任意摸一張），各種顏色牌數(shù)量的多少本身就決定了可能摸出它的情況總數(shù)，即如果用N表示所有可能結(jié)果的個(gè)數(shù)，用M表示摸出紅桃的可能結(jié)果的個(gè)數(shù)，那么出現(xiàn)紅桃的概率P（紅桃）=MN，兩個(gè)事件中N相同;而“練一練”是不同隨機(jī)試驗(yàn)相同隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小比較，摸出紅球的概率P（紅球）=M′N′，兩次試驗(yàn)中N′不一定相同。受例2的影響，學(xué)生在判斷“練一練”題目中的可能性大小時(shí)，只關(guān)注了紅球的數(shù)量，卻忽略了總體的數(shù)量（教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)“都是3個(gè)球”的前提條件）。

三、教學(xué)建議

“可能性”教學(xué)首先需要教師了解關(guān)于概率（可能性的大?。┑谋倔w性知識(shí)。通過(guò)查閱資料發(fā)現(xiàn)，多位專家對(duì)概率及其教學(xué)進(jìn)行了深入的解讀。

史寧中教授在《基本概念與運(yùn)算法則——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問(wèn)題》一書中指出，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小即概率，通常用字母P表示，概率是一個(gè)非負(fù)的不大于1的數(shù)，即0≤P≤1。至少有兩種方法可以得到未知的概率。一種是通過(guò)樣本頻率估計(jì)概率，如《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的例40（袋中裝有4個(gè)紅球和1個(gè)白球。只告訴學(xué)生袋中球的顏色為紅色和白色，不告訴他們紅球數(shù)目與白球數(shù)目，讓學(xué)生通過(guò)多次有放回的摸球，統(tǒng)計(jì)摸出紅球和白球的數(shù)量及各自所占比例，由此估計(jì)袋中紅球和白球數(shù)目的情況）。還有一種方法就是不借助數(shù)據(jù)而直接根據(jù)背景定義概率，定義的概率實(shí)質(zhì)上就是對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的一種度量，這個(gè)度量是人們?cè)诶硐霠顟B(tài)下制訂出來(lái)的。如果用A表示所要求概率的那個(gè)事件，用m表示有利情況的數(shù)目，用n表示所有可能情況的數(shù)目，那么，定義事件A發(fā)生的概率就是P（A）=mn。這樣的定義稱為古典概率。

張奠宙教授在《小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理——核心概念的理解與呈現(xiàn)》一書中提出，由于大數(shù)定律保證“頻率趨向于概率”，但對(duì)什么意義上的“趨向”，有多種復(fù)雜的理解，小學(xué)階段無(wú)法說(shuō)清，而具體實(shí)踐中，大數(shù)定律也沒(méi)有充足的時(shí)間去驗(yàn)證，因此，小學(xué)生的概率學(xué)習(xí)要充分運(yùn)用兒童的直覺(jué)，基于大數(shù)定律的“頻率趨向于概率”只能略微提及。

曹培英教授在《小學(xué)數(shù)學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”教學(xué)研究（一）》一文中介紹了概率論公認(rèn)的源頭是“數(shù)學(xué)家們?yōu)橘€徒解決賭博難題時(shí)形成的數(shù)學(xué)專題”，指出“古典概率必須具備兩個(gè)條件：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的情況為有限個(gè)，每種情況出現(xiàn)的可能性相等。這兩個(gè)條件是古典概率區(qū)別于其他概率類型最根本、最基礎(chǔ)的要素”。

特級(jí)教師陳靜在《小學(xué)階段學(xué)生概率思維的形成與發(fā)展》一文中圍繞如何有效培養(yǎng)并發(fā)展學(xué)生的概率思維，從概率思維的內(nèi)涵與特征、概率思維的直覺(jué)與先期經(jīng)驗(yàn)以及促進(jìn)概率思維形成與發(fā)展的教學(xué)策略三個(gè)角度進(jìn)行了深入分析。

可以看出，關(guān)于概率的由來(lái)及本體性知識(shí)已比較明朗，能指導(dǎo)課堂教學(xué)實(shí)踐。而教學(xué)時(shí)有以下幾點(diǎn)要格外注意：

第一，用心設(shè)計(jì)活動(dòng)，強(qiáng)調(diào)邏輯性。

小學(xué)階段的概率都是古典概率模型，也就是定義出來(lái)的概率，是理論概率，因此，在實(shí)驗(yàn)之前，概率已經(jīng)存在。教材配套的教師用書也指出，教材提供的摸球情境是先得到可能性的結(jié)果，再實(shí)驗(yàn)感悟。如果像片段1中所述，根據(jù)幾次摸球的結(jié)果，就推斷出袋子里球的情況，就會(huì)出現(xiàn)邏輯性錯(cuò)誤。

第二，精心挑選素材，體會(huì)隨機(jī)性。

為了使試驗(yàn)中“每種情況出現(xiàn)的可能性相等”，教師需要精心挑選素材，排除人為干擾，幫助學(xué)生更好地體會(huì)這種隨機(jī)性。如：摸球活動(dòng)中，球除顏色不同外，質(zhì)地、大小都應(yīng)相同，摸之前要先攪勻，摸的人不能偷看，等等;翻撲克牌活動(dòng)中，撲克牌大小、質(zhì)地、背面花色都應(yīng)相同，為了避免學(xué)生盯著一張牌不放，還可以把牌放在背后洗，等等。當(dāng)然，教學(xué)中可以把摸球和翻撲克牌兩種活動(dòng)中的素材“合二為一”，以一種素材貫穿始終，不分散教師和學(xué)生活動(dòng)時(shí)的注意力。

第三，匠心設(shè)計(jì)問(wèn)題，體現(xiàn)層次性。

好的數(shù)學(xué)活動(dòng)要有好的數(shù)學(xué)問(wèn)題啟發(fā)學(xué)生深入思考。例如，在體會(huì)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的活動(dòng)中，可設(shè)計(jì)如下問(wèn)題：“在摸之前，能確定摸出的是什么顏色的球嗎？”“如果再摸一次，會(huì)是什么結(jié)果呢？”在體會(huì)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的活動(dòng)中，可以設(shè)計(jì)如下問(wèn)題：“如果袋中有10個(gè)白球、1個(gè)紅球，任意摸1個(gè)球，會(huì)是什么情況？”“如果袋中有100個(gè)白球和1個(gè)紅球呢？”“如果袋中有1000個(gè)白球和1個(gè)紅球呢？”“只要袋子里有紅球，任意摸1個(gè)球，就可能摸出紅球，但我們發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的可能性越來(lái)越——”“紅球的數(shù)量都是1個(gè)，為什么摸出紅球的可能性越來(lái)越小呢？”通過(guò)這樣一系列的問(wèn)題幫助學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)到：摸出紅球的可能性大小除了和紅球的數(shù)量有關(guān)，還與球的總數(shù)有關(guān)，也就是要看兩者之間的關(guān)系。

參考文獻(xiàn)：

[1] 史寧中.基本概念與運(yùn)算法則——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問(wèn)題[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2] 張奠宙，鞏子坤，任敏龍，等.小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理——核心概念的理解與呈現(xiàn)[M].上海：上海教育出版社，2018.

[3] 曹培英.小學(xué)數(shù)學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”教學(xué)研究（一）[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2019（5）.

[4] 陳靜.小學(xué)階段學(xué)生概率思維的形成與發(fā)展[J].教育視界，2019（4）.