劉蘭蘭,邱 磊

(1.江西制造職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程系,江西 南昌 330095;2.寧波工程學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院,浙江 寧波 315336)

0 引 言

在高精度裝配行業(yè)中,重復(fù)性和速度之間的均衡是機(jī)器人的關(guān)鍵競爭優(yōu)勢,特別是機(jī)器人在執(zhí)行高精度裝配任務(wù)時(shí)需要具備非常高的運(yùn)動平滑度[1-4]。傳統(tǒng)的工業(yè)機(jī)器人軌跡規(guī)劃研究[5-7]主要是從時(shí)間、運(yùn)動平滑度或兩者的結(jié)合展開分析。在精密制造領(lǐng)域,運(yùn)動平滑度是主要的考慮因素。

針對上述問題,許多研究依賴于使用經(jīng)各種方法優(yōu)化或約束的樣條函數(shù)[8-9],或者在操作工作空間對多軸運(yùn)動進(jìn)行管理[10-11],例如在某些情況下可對關(guān)節(jié)空間中的軌跡定義進(jìn)行簡化,以便實(shí)現(xiàn)更平滑的連接軌跡。

在這兩種情況下,很多研究人員都提出通過增加路徑或運(yùn)動軌跡的多項(xiàng)式來實(shí)現(xiàn)最優(yōu)規(guī)劃。例如,PERUMAAL S等人[12]通過一種運(yùn)動同步策略(所有關(guān)節(jié)都以相對保守的方式將其加速率同步到最慢)進(jìn)行了非多項(xiàng)式平滑性軌跡規(guī)劃；張程等人以5-DOF仿人型機(jī)械臂為研究對象,建立了機(jī)械臂運(yùn)動學(xué)方程,并實(shí)現(xiàn)了關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃；LANGE F等人[13]針對一種空間3自由度并聯(lián)機(jī)器人,提出了一種近似時(shí)間最優(yōu)策略的平滑軌跡規(guī)劃算法。該方法將運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)約束條件轉(zhuǎn)換為偽速度極值曲線,保證了驅(qū)動力矩、關(guān)節(jié)速度和加速度的連續(xù)性。此外,機(jī)器人運(yùn)動能力的進(jìn)一步提升也受到了伺服驅(qū)動器的限制。因此,不能使用基于時(shí)間優(yōu)化的再生運(yùn)動策略來緩解機(jī)器人的退化現(xiàn)象。

在上述文獻(xiàn)中,正弦運(yùn)動曲線已應(yīng)用于多個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動。但是,在多數(shù)方法中,所有軌跡階段(加速度、恒定速度和減速度)在各關(guān)節(jié)上實(shí)現(xiàn)同步,即它們同時(shí)開始也同時(shí)結(jié)束。此外,現(xiàn)有多數(shù)方法通過單獨(dú)評估其最快的加速斜坡時(shí)間和恒定速度時(shí)間,并使所有值等于最大值來確定所有關(guān)節(jié)的加速度/減速度以及恒定速度時(shí)間。這種保守標(biāo)準(zhǔn)與最優(yōu)性相差甚遠(yuǎn)。

在平滑加加速度運(yùn)動軌跡的基礎(chǔ)上,筆者提出一種用于運(yùn)動規(guī)劃的多變量時(shí)間優(yōu)化方法。

1 軌跡規(guī)劃方法

在加速度、速度和加加速度的約束條件下,通過在關(guān)節(jié)空間中生成軌跡來對執(zhí)行時(shí)間進(jìn)行優(yōu)化?？紤]到運(yùn)動的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo),參數(shù)運(yùn)動曲線選擇了正弦曲線,該正弦曲線適用于多關(guān)節(jié)運(yùn)動。該參數(shù)系列允許生成平滑的運(yùn)動曲線,同時(shí)提供一種簡單的方法來控制加加速度、加速度和速度的最大值。研究表明想要確定三維空間中某一物體的位置的話,需要6個(gè)自由度(3個(gè)平移,3個(gè)旋轉(zhuǎn)),如果機(jī)械臂具有6個(gè)自由度,那么它就能達(dá)到包絡(luò)軌跡之內(nèi)的任何一點(diǎn),從而模仿人體關(guān)節(jié)完成三維空間中的任何動作。

筆者采用的6自由度(DoF)擬人化機(jī)械手如圖1所示。

圖1 6自由度(DoF)擬人化機(jī)械手

引入軌跡規(guī)劃模塊依賴于以下假設(shè):

(1)所考慮的機(jī)器人機(jī)械手主要執(zhí)行與組裝過程相關(guān)的拾取和放置任務(wù),其中需要非常平滑的拾取和放置運(yùn)動,以實(shí)現(xiàn)被抓握部件的準(zhǔn)確定位;

(2)在預(yù)拾取和預(yù)放置位置之間執(zhí)行快速運(yùn)動,不需要在笛卡爾工作空間中有特定路徑(例如線性)或避免任何障礙物。這意味著可以通過在關(guān)節(jié)空間中進(jìn)行軌跡設(shè)計(jì),來執(zhí)行快速點(diǎn)對點(diǎn)運(yùn)動;

(3)雖然研究對象為球形腕部的6自由度(DoF)擬人化機(jī)械手,但所提出的運(yùn)動規(guī)劃方法具有通用性。

1.1 高精度機(jī)械手模型原理

工業(yè)機(jī)械手結(jié)構(gòu)是由許多形成運(yùn)動鏈的模塊化關(guān)節(jié)和環(huán)節(jié)組成的。各關(guān)節(jié)i=1,…,n,其中:i—運(yùn)動鏈中的序列位置,以特定關(guān)節(jié)類型ki為特征。通過使用兩種不同類型的關(guān)節(jié),可組裝成一個(gè)典型的擬人化球形腕部結(jié)構(gòu),其中k1,k2,k3=1,k4,k5,k6=2。根據(jù)關(guān)節(jié)類型及其在運(yùn)動鏈中的位置,每個(gè)關(guān)節(jié)具有不同的速度、加速度和加加速度。

組裝任務(wù)的具體類型以及起始位置和結(jié)束位置也會影響各個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動參數(shù):例如,搬運(yùn)組件時(shí),可以較高的速度和加速度利用空夾具執(zhí)行運(yùn)動;此外,對于制動器而言有壓力的長距離軌跡可能需要較慢的運(yùn)動,以便將振幅控制在所需規(guī)格范圍內(nèi)。任務(wù)指數(shù)(m=1,…,nt)用以區(qū)分工作過程中不同部分之間的控制參數(shù)。

如上所述,該指數(shù)取決于開始和結(jié)束的笛卡爾位置ps、pe和任務(wù)類型h(拾取、放置、變更工具等),任務(wù)指數(shù)影響運(yùn)動約束的值(最大加加速度JMAX,最大加速度AMAX、最大速度VMAX以及路徑目的地),而加速曲線將針對各項(xiàng)任務(wù)進(jìn)行優(yōu)化。

1.2 正弦曲線運(yùn)動軌跡數(shù)學(xué)表達(dá)式

研究人員必須使用適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動學(xué)倒位將位置ps和pe轉(zhuǎn)化成各個(gè)關(guān)節(jié)的起始位置和結(jié)束位置,以便生成關(guān)節(jié)運(yùn)動曲線。

為了生成關(guān)節(jié)運(yùn)動軌跡,筆者采用的正弦曲線模型如圖2所示。

圖2 模型中的加加速度、加速度、速度和位移

由圖2可以推出單個(gè)電機(jī)軌跡表達(dá)式為:

(1)

式中:J—加加速度峰值;τ—加速時(shí)間;TV—恒定速度時(shí)間;2π/τ—正弦波角頻率。

該軌跡表現(xiàn)出非常高的規(guī)律性,但它允許利用少量參數(shù)將位移、速度和加速度軌跡參數(shù)化,并通過適當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法對其值進(jìn)行定義。

1.3 運(yùn)動軌跡關(guān)節(jié)優(yōu)化

筆者將D定義為單個(gè)關(guān)節(jié)的總需求(角度)位移。結(jié)合式(1)描述的加加速度軌跡和一些代數(shù)運(yùn)算,可獲得以下關(guān)鍵運(yùn)動參數(shù)表達(dá)式:

(2)

(3)

(4)

式中:A—峰值加速度;V—峰值速度;TV—恒定速度時(shí)間。

為了執(zhí)行最平滑的軌跡并避免對機(jī)器人手臂產(chǎn)生不必要的壓力或振動,可使所有關(guān)節(jié)的運(yùn)動軌跡實(shí)現(xiàn)同步,以便其能夠同時(shí)開始和結(jié)束運(yùn)動。同時(shí),要求關(guān)鍵量(加加速度、加速度、速度)始終小于固定值。為此,筆者設(shè)計(jì)了一個(gè)非線性約束優(yōu)化問題,該問題一次考慮所有n個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動軌跡,并利用運(yùn)動鏈中相對關(guān)節(jié)位置的運(yùn)動能力(指數(shù)為i=1,…,n)以及具體任務(wù)要求(指數(shù)為j=1,…,nt)。

筆者重新將相關(guān)變量參數(shù)化為總運(yùn)動時(shí)間函數(shù)T=2τ+TV和n加速時(shí)間τ=τ1,…,τn函數(shù)。因?yàn)?總運(yùn)動由恒速階段和對稱加速和減速階段組成,由此可以得出:

TVi=T-2τi

(5)

令i=1,…,n,將式(4,5)進(jìn)行對比,可以將加加速度表示為T和τi的函數(shù):

(6)

用一個(gè)新表達(dá)式代替公式(2～4)中的加加速度表達(dá)式,可以建立以下優(yōu)化問題,該問題由以下目標(biāo)函數(shù)構(gòu)成:

對于某一任務(wù)m=1,…,nt,

(7)

受限于:

T≥0

(8)

τi≥0

(9)

(10)

(11)

(12)

TV(T,τi)=T-2τi

(13)

總執(zhí)行時(shí)間T對所有關(guān)節(jié)都通用,而各關(guān)節(jié)的加速時(shí)間τi則是不同的。

筆者所提機(jī)械手的最優(yōu)軌跡規(guī)劃方法如圖3所示。

圖3 機(jī)械手的最優(yōu)軌跡規(guī)劃方法

由圖3可以看出,在n個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動軌跡上同時(shí)開始和結(jié)束運(yùn)動,但由于同步是優(yōu)化的約束條件(所有關(guān)節(jié)在同一時(shí)間T完成運(yùn)動),控制參數(shù)自動調(diào)整于最佳可接受性能,而不是簡單地將所有軌跡重新調(diào)整到最慢速度。

PERUMAAL S等人提出的運(yùn)動同步策略與本文提出方法得到的關(guān)節(jié)加加速度軌跡,如圖4所示。

圖4 兩種方法得到的6個(gè)關(guān)節(jié)加加速度軌跡

從圖4可以看出：通過本文方法的異步處理能力能夠更好地利用關(guān)節(jié)性能,從而縮短執(zhí)行時(shí)間；目標(biāo)函數(shù)呈線性,且在凸約束下減到最小,因此任何局部最小值都可以看作全局最小值。

式(7～13)允許應(yīng)用自定義關(guān)節(jié)管理方法,在“退化”模式下執(zhí)行操作,將工作負(fù)載重新分配給性能更好的電機(jī)。

2 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

筆者以光電子產(chǎn)品的6 DoF機(jī)械手精密組裝為測試案例對所述方法進(jìn)行評估,并與現(xiàn)有多種規(guī)劃方法(運(yùn)動同步策略、近似時(shí)間最優(yōu)策略和二維懲罰策略[14])進(jìn)行對比。

具體測試環(huán)境如圖5所示。

圖5 具體測試環(huán)境

兩個(gè)測試任務(wù)的相關(guān)參數(shù)如表1、表2所示。

表1 任務(wù)1的相關(guān)參數(shù)設(shè)置

表2 任務(wù)2起始/終止位置和運(yùn)動學(xué)限制

針對上述兩個(gè)任務(wù),不同軌跡規(guī)劃方法獲得的軌跡生成結(jié)果如表3所示。

表3 參考任務(wù)對比結(jié)果

從表3可以看出：與所有其他方法相比,利用筆者方法所產(chǎn)生的執(zhí)行時(shí)間最短。這是因?yàn)樵摲椒ㄍㄟ^促進(jìn)各個(gè)關(guān)節(jié)達(dá)到最佳性能以實(shí)現(xiàn)執(zhí)行時(shí)間最短,而且不會違反任何給定的約束條件。例如,對于任務(wù)1,產(chǎn)生的執(zhí)行時(shí)間比運(yùn)動同步策略獲得的執(zhí)行時(shí)間低39%。

兩種算法在機(jī)械手上獲得的運(yùn)動軌跡與使用所提方法得到的運(yùn)動軌跡對比,如圖6所示。

圖6 任務(wù)1不同方法在關(guān)節(jié)3上生成的速度曲線

從圖6可以看出：兩者均得到了較好質(zhì)量的平滑軌跡效果,然而本文方法展示了用以執(zhí)行更快運(yùn)動的不同運(yùn)動學(xué)極限。本文方法的最高速度達(dá)到6 000 rad/s左右,而運(yùn)動同步策略方法的最高速度在3 600 rad/s附近。這是因?yàn)楹笳咭韵鄬ΡＪ氐姆绞綄⑺嘘P(guān)節(jié)加速率同步到最慢,來生成平滑軌跡。而本文允許異步加速,且僅對總運(yùn)動時(shí)間進(jìn)行限制(沒有限制每個(gè)關(guān)節(jié)的速度,加加速度最大限制為100%),從而充分發(fā)揮了關(guān)節(jié)性能。

筆者所提方法重點(diǎn)關(guān)注具體關(guān)節(jié),因此其能夠?qū)﹃P(guān)節(jié)的退化模式進(jìn)行正確管理,這在精密組裝行業(yè)非常重要。

其在任務(wù)2上的退化關(guān)節(jié)性能如表4所示。

表4 退化關(guān)節(jié)性能(任務(wù)2)

從表4可以看出,即使在“退化”模式下,所提方法仍表現(xiàn)出令人滿意的性能。這是由于執(zhí)行時(shí)間是通過同時(shí)考慮所有關(guān)節(jié)進(jìn)行優(yōu)化的,需對關(guān)節(jié)的個(gè)體表現(xiàn)進(jìn)行調(diào)整,以便更好地適應(yīng)整體同步。

3 結(jié)束語

本文提出了一種適用于健康和退化狀態(tài)的平滑運(yùn)動軌跡規(guī)劃方法,可應(yīng)用于任何類型的機(jī)器人運(yùn)動鏈;該軌跡規(guī)劃方法通過在機(jī)器人機(jī)械手的所有關(guān)節(jié)上同時(shí)優(yōu)化執(zhí)行時(shí)間,實(shí)現(xiàn)了異步加速。

測試結(jié)果表明,該方法的執(zhí)行時(shí)間相比現(xiàn)有的方法縮短了39%,并在給定運(yùn)動約束條件下能夠保持運(yùn)動軌跡平滑;即使在“退化”模式下,執(zhí)行時(shí)間僅提高1 s左右,保持5 rad/s3以上。

因此,該方法對高精度裝配工業(yè)機(jī)器人作業(yè)系統(tǒng)具有較大的參考和應(yīng)用價(jià)值。