張 軍

(江陰職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機電工程系,江蘇 江陰 214405)

0 引 言

汽車的底盤包括傳動系統(tǒng)、行駛系統(tǒng)、轉(zhuǎn)向系統(tǒng)和制動系統(tǒng)。而驅(qū)動橋在動力傳動中起到至關(guān)重要的作用。驅(qū)動橋主要包括主減速器、差速器、半軸和萬向節(jié)、橋殼等[1-2]。其中,驅(qū)動橋殼主要用于支撐和保護主減速器、差速器、半軸等,使左、右驅(qū)動車輪的軸向相對位置固定。

對于驅(qū)動橋殼的設(shè)計和分析,國內(nèi)外很多學(xué)者已做了大量的研究。雷剛等[3]利用拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù),在滿足結(jié)構(gòu)的強度和剛度要求的前提下,對某重型汽車的驅(qū)動橋殼進行了輕量化設(shè)計;孟佳欣[4]以板簧座附近的結(jié)構(gòu)形狀為參考,建立了優(yōu)化目標(biāo)函數(shù),在最大垂向力、最大牽引力、最大制動力和最大側(cè)向力的工況下,以應(yīng)力-強度干涉理論為基礎(chǔ),對結(jié)構(gòu)進行了優(yōu)化設(shè)計;樓益強等[5]為研究驅(qū)動橋殼在動態(tài)載荷下的應(yīng)力狀況,分析了橋殼各點的應(yīng)力分步和最大應(yīng)力點的位置,進行了驅(qū)動橋殼變形計算;STEVEN W B[6]基于斷裂力學(xué)理論對驅(qū)動橋殼的破壞進行了研究,發(fā)現(xiàn)了斷裂主要發(fā)生在彈簧擋塊與殼體焊接處。

但是,以上對驅(qū)動橋殼的分析都是基于對結(jié)構(gòu)做靜態(tài)、動態(tài)分析或優(yōu)化,并沒有考慮模態(tài)對于結(jié)構(gòu)的影響。而模態(tài)是結(jié)構(gòu)的全局特性,更是結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析的基礎(chǔ)。

本文基于對驅(qū)動橋殼的預(yù)應(yīng)力模態(tài)低階頻率的優(yōu)化設(shè)計,以提高模態(tài)低階頻率為目標(biāo),橋殼質(zhì)量不大于65 kg為約束,研究基于設(shè)計參數(shù)的模態(tài)靈敏度的影響因素,得到最優(yōu)的結(jié)構(gòu)參數(shù);在此基礎(chǔ)上,校核結(jié)構(gòu)的強度和剛度特性。

1 驅(qū)動橋殼模態(tài)頻率靈敏度分析

結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析是用來確定慣性和阻尼起重要作用時結(jié)構(gòu)動力學(xué)行為的技術(shù)[7-9]。在汽車行駛過程中,驅(qū)動橋殼的運行工況十分復(fù)雜,比如路面的不平度引起的沖擊力、緊急制動時的制動力,牽引力等。而大部分外載都處于低頻振動狀態(tài),所以需盡量提高驅(qū)動橋殼的低階固有頻率,從而避免外載對橋殼的影響。通過對驅(qū)動橋殼模態(tài)靈敏度的研究,發(fā)現(xiàn)影響低階固有頻率的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù),可以通過優(yōu)化結(jié)構(gòu),避免共振影響造成的結(jié)構(gòu)性破壞。

1.1 模態(tài)頻率靈敏度

通過對結(jié)構(gòu)做模態(tài)分析,可以預(yù)知結(jié)構(gòu)各階主要振型的特性,從而可以預(yù)測結(jié)構(gòu)各頻段內(nèi)在各種振源作用下的響應(yīng)。而模態(tài)頻率的靈敏度是指結(jié)構(gòu)各階振動頻率隨結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化率。

對于無阻尼結(jié)構(gòu)自由模態(tài)分析,振動方程如下:

(1)

將式(1)對x求偏導(dǎo),可得:

(2)

式中:x—結(jié)構(gòu)設(shè)計變量。

根據(jù)式(1),且用{φi}T左乘式(2),可得:

(3)

第i階模態(tài)頻率對設(shè)計變量x的靈敏度為:

(4)

對于無阻尼預(yù)應(yīng)力模態(tài)靈敏度分析方程,式(1)右邊將0更改為預(yù)應(yīng)力{Fi},如下式:

(5)

同樣根據(jù)上述推導(dǎo)方式,可得到其第i階模態(tài)頻率對設(shè)計變量的靈敏度。

1.2 驅(qū)動橋殼預(yù)應(yīng)力模態(tài)分析

汽車正常行駛時,其振源和振動方式非常復(fù)雜,通常是由路面不平造成的,其激勵頻率范圍為0～50 Hz。而發(fā)動機和傳動系是低頻激勵,所以汽車驅(qū)動橋殼的低階固有頻率應(yīng)該高于50 Hz,以避免引起共振[10]。

為了真實反映實際工作狀態(tài),筆者對橋殼做預(yù)應(yīng)力模態(tài)分析。

1.2.1 驅(qū)動橋殼受力分析

以某輕型貨車為研究對象,車型為(4×2)單胎結(jié)構(gòu),整備質(zhì)量為2 500 kg,最高車速120 km/h,輪距1 600 mm,滿載軸荷3 650 kg。貨車主要采用整體式的驅(qū)動橋殼,因為整體式橋殼與其他結(jié)構(gòu)相比,結(jié)構(gòu)的剛度和強度相對較大,且作為整體式結(jié)構(gòu),便于主減速器、差速器、半軸等的安裝和維修。汽車行駛過程中,驅(qū)動橋殼受力主要包括垂向力、側(cè)向力、牽引力、制動力。

筆者參考QC/T533-1999《汽車驅(qū)動橋臺架試驗方法》[11-12](主要適用于載貨量8 t以下的載貨汽車及其相應(yīng)的越野車和大客車的驅(qū)動橋,簡稱《試驗方法》)中的要求施加載荷和邊界條件,并對分析結(jié)果作評價。

在《試驗方法》中,驅(qū)動橋殼垂直彎曲強度試驗的主要評價參數(shù)為失效(斷裂或嚴(yán)重塑性變形)后備系數(shù),即:

式中:Kn—垂直彎曲破壞后備系數(shù);Pn—垂直彎曲破壞載荷;P—滿載軸荷。

試驗中,要求加載到最大負(fù)荷后,繼續(xù)加載直至結(jié)構(gòu)失效破壞,記錄此時的失效(斷裂或嚴(yán)重變形)載荷,要求失效后備系數(shù)大于6。橋殼的軸荷3 650 kg,即Pn垂直彎曲破壞載荷要大于等于3 650×6×10=219 000 N,兩側(cè)的彈簧座各受載荷至少要109 500 N,所以在做受力分析時,直接在兩側(cè)的彈簧座施加載荷109 500 N,來預(yù)測結(jié)構(gòu)的垂直彎曲強度。

根據(jù)《試驗方法》中的要求,試驗時,橋殼放平,力點為二鋼板彈簧中心,支點為該橋輪距的相應(yīng)點?；蛘邔⒘c和支點位置互換[13-19]。安裝時,加力方向應(yīng)與橋殼軸管中心線垂直,支點應(yīng)能滾動,以適應(yīng)加載變形不致運動干涉。測點位置不少于7點。

建立邊界條件時,將橋殼看做簡支梁,因為臺架試驗時的支點為面接觸,利用遠端點約束橋殼半軸套管左輪距位置的下面,驅(qū)動橋殼邊界條件如圖1所示。

圖1 驅(qū)動橋殼邊界條件

約束x、y、z方向的位移和沿y軸的轉(zhuǎn)動,橋殼的半軸套管右輪距位置的下面通過遠端點約束x、z的位移和沿y軸的轉(zhuǎn)動。驅(qū)動橋殼材料SCW550,屈服強度420 MPa,抗拉強度570 MPa,延伸率≥15%,彈性模量212 GPa,泊松比0.31,密度7.85 g/cm-3。所得結(jié)構(gòu)最大應(yīng)變?yōu)?.27 mm,最大應(yīng)力為325.8 MPa,遠小于結(jié)構(gòu)的抗拉強度570 MPa,即滿足橋殼垂直彎曲強度要求。

1.2.2 驅(qū)動橋殼預(yù)應(yīng)力模態(tài)分析

驅(qū)動橋殼的模態(tài)分析包括橋殼的固有頻率和振型,是橋殼動力學(xué)分析的基礎(chǔ)。

以受力分析結(jié)果作為預(yù)應(yīng)力輸入條件,對驅(qū)動橋殼做預(yù)應(yīng)力模態(tài)分析,驅(qū)動橋殼前6階模態(tài)如表1所示。

表1 驅(qū)動橋殼前6階模態(tài)

上述分析可知:低階固有頻率為52.16 Hz,非常接近50 Hz,即存在與外界激勵發(fā)生共振的風(fēng)險。所以需要通過改變關(guān)鍵尺寸參數(shù)來優(yōu)化結(jié)構(gòu),以提高低階模態(tài)頻率。

1.3 驅(qū)動橋殼基于設(shè)計變量的模態(tài)靈敏度分析

基于不同的設(shè)計參數(shù),筆者分別以左右側(cè)彈簧座厚度、左右側(cè)半軸套管半徑、橋殼前后孔半徑、左右半軸端面厚度為關(guān)鍵設(shè)計變量,以整體質(zhì)量不大于65 kg為約束條件,對驅(qū)動橋殼做模態(tài)頻率的靈敏度分析,從而對結(jié)構(gòu)做優(yōu)化設(shè)計,提高結(jié)構(gòu)的低階固有頻率。

設(shè)計參數(shù)尺寸變量如表2所示。

表2 設(shè)計參數(shù)尺寸變量

橋殼設(shè)計參數(shù)位置如圖2所示。

圖2 橋殼設(shè)計參數(shù)位置

考察靈敏度分析結(jié)果,低階模態(tài)頻率對應(yīng)設(shè)計變量的靈敏度如圖3所示。

圖3 低階模態(tài)頻率對應(yīng)設(shè)計變量的靈敏度

當(dāng)靈敏度為正值時,結(jié)構(gòu)的參數(shù)值越大,低階模態(tài)頻率的靈敏度越高,即模態(tài)頻率值越大;反之,當(dāng)靈敏度為負(fù)值時,結(jié)構(gòu)的參數(shù)值越小,低階模態(tài)頻率的靈敏度越高,即模態(tài)頻率越高。由模態(tài)靈敏度分析結(jié)果可知：

(1)對低階模態(tài)頻率影響最大的是橋殼的前、后內(nèi)孔半徑,即是主減速器與傳動軸的接口部位。模態(tài)靈敏度為負(fù)值,說明橋殼內(nèi)孔半徑越小模態(tài)低階頻率越大,且橋殼質(zhì)量越大。前、后內(nèi)孔半徑對低階模態(tài)頻率的影響程度基本相同；

(2)左側(cè)的彈簧座厚度減少,低階頻率增加。但右側(cè)的彈簧座厚度對低階頻率沒有影響。左、右側(cè)彈簧座厚度對橋殼質(zhì)量基本沒有影響；

(3)左、右側(cè)半軸套管半徑增加,會使橋殼質(zhì)量隨之增加,但對低階模態(tài)頻率沒有影響；

(4)左、右側(cè)半軸端面厚度對低階模態(tài)頻率沒有影響,左側(cè)厚度增加橋殼質(zhì)量增加,右側(cè)厚度增加,橋殼質(zhì)量不變。

前內(nèi)孔半徑與低階模態(tài)頻率關(guān)系如圖4所示。

圖4 前內(nèi)孔半徑與低階模態(tài)頻率關(guān)系

后內(nèi)孔半徑與低階模態(tài)頻率關(guān)系如圖5所示。

圖5 后內(nèi)孔半徑與低階模態(tài)頻率關(guān)系

由圖5可以看到:隨著內(nèi)孔半徑的增加,低階模態(tài)頻率呈近似拋物線逐漸減小。

2 驅(qū)動橋殼模態(tài)優(yōu)化設(shè)計

2.1 模態(tài)優(yōu)化設(shè)計方程

模態(tài)優(yōu)化設(shè)計,是以提高低階模態(tài)頻率為目標(biāo),以保持橋殼質(zhì)量不大于上限值為約束條件,通過求解不同的結(jié)構(gòu)參數(shù)建立的響應(yīng)面而獲得,其數(shù)學(xué)模型如下:

(6)

xjb≤xj≤xju,f=1,2,…,n

式中:f—殼體低階模態(tài)頻率;fi—殼體第i個低階模態(tài)頻率;M—殼體質(zhì)量;Mmax—質(zhì)量上限;xj,xjb,xju—橋殼的結(jié)構(gòu)設(shè)計變量、設(shè)計變量下限和設(shè)計變量上限。

該優(yōu)化分析中,設(shè)計變量分別取左右側(cè)彈簧座厚度、左右側(cè)半軸套管半徑、橋殼前后孔半徑、左右半軸端面厚度?？紤]到分析的時間和效率,優(yōu)化分析只以提高橋殼的低階模態(tài)頻率為目標(biāo),后續(xù)再對優(yōu)化結(jié)果做強度、剛度方面的校核。

2.2 橋殼模態(tài)優(yōu)化分析

筆者根據(jù)上面的設(shè)計變量,建立響應(yīng)面優(yōu)化模型。即利用中心復(fù)合設(shè)計方法生成樣本點,然后利用標(biāo)準(zhǔn)響應(yīng)面的完全的二次多項式方法根據(jù)獲得的樣本點擬合出響應(yīng)面,最后獲得結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果。優(yōu)化結(jié)果低階模態(tài)頻率66.888 Hz,橋殼質(zhì)量61.016 kg,此時對應(yīng)的設(shè)計參數(shù)分別為左、右側(cè)彈簧座厚度20.005 mm,左、右側(cè)半軸套管半徑36.004 mm,橋殼前、后孔半徑162.02 mm,左、右側(cè)半軸端面厚度15.005 mm。

2.3 橋殼模態(tài)靈敏度優(yōu)化設(shè)計

根據(jù)模態(tài)靈敏度分析結(jié)果,對于低階模態(tài)頻率影響最大的設(shè)計參數(shù)是橋殼前后內(nèi)孔半徑,而左、右側(cè)半軸套管半徑的減小會引起橋殼質(zhì)量的降低。另外,考慮驅(qū)動橋殼與內(nèi)、外部結(jié)構(gòu)的裝配關(guān)系,取橋殼前后內(nèi)孔半徑C1=C2=162 mm,左、右側(cè)半軸半軸套管半徑B1=B2=36 mm為結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化結(jié)果,然后再次對橋殼做預(yù)應(yīng)力模態(tài)分析。

優(yōu)化后驅(qū)動橋殼前6階模態(tài)如表3所示。

表3 優(yōu)化后驅(qū)動橋殼前6階模態(tài)

從表3中可知:低階模態(tài)頻率由52.16 Hz增加到62.11 Hz,完全可以避開外界激勵頻率范圍(0～50 Hz)。優(yōu)化的結(jié)果不但改變了低階模態(tài)頻率,還改變了前五階振型,這是因為橋殼結(jié)構(gòu)優(yōu)化后,系統(tǒng)質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都有改變,對應(yīng)的各階特征值和特征向量也會改變。

3 優(yōu)化后強度與剛度校核

根據(jù)《試驗方法》,驅(qū)動橋殼的垂直彎曲靜強度和垂直彎曲剛性是驅(qū)動橋殼的最關(guān)鍵也是最基本的評價指標(biāo)。所以,主要對這兩個指標(biāo)做靜強度和剛度校核分析。

3.1 驅(qū)動橋殼垂直彎曲靜強度分析

根據(jù)《試驗方法》中驅(qū)動橋殼垂直彎曲靜強度試驗的試驗要求,對驅(qū)動橋殼的優(yōu)化后的模型做彎曲靜強度分析,可得最大應(yīng)變?yōu)?.23 mm,最大應(yīng)力為321.46 MPa,遠小于結(jié)構(gòu)的抗拉強度570 MPa,且低于優(yōu)化前的分析結(jié)果。

3.2 驅(qū)動橋殼垂直彎曲剛性分析

在《試驗方法》中要求在滿載軸荷時,橋殼最大位移點與輪距之比的數(shù)值不超過1.5 mm/m。該輕型貨車的滿載軸荷為36 500 N,所以兩端的彈簧座各施加載荷18 250 N,約束條件與計算垂直彎曲靜強度時相同,分析結(jié)果最大應(yīng)變?yōu)?.86 mm,最大應(yīng)力為52.76 MPa。橋殼最大位移點與輪距之比為0.86 mm/1.6 m=0.54 mm/m<1.5 mm/m,所以滿足垂直彎曲剛性要求。

4 驅(qū)動橋殼垂直彎曲靜強度與剛性試驗

根據(jù)《試驗方法》,搭建試驗臺架,驅(qū)動橋殼垂直彎曲靜強度試驗和垂直彎曲剛性試驗如圖6所示。

圖6 驅(qū)動橋殼垂直彎曲靜強度試驗和垂直彎曲剛性試驗

垂直彎曲靜強度試驗中,當(dāng)橋殼兩側(cè)彈簧座外載荷分別為109 500 N時,經(jīng)過10次往復(fù)試驗,均為發(fā)生斷裂。垂直彎曲剛性試驗中,當(dāng)橋殼兩側(cè)彈簧座外載荷分別為18 250 N時,橋殼最大變形為0.74 mm,與仿真分析結(jié)果誤差為14%。

5 結(jié)束語

本文以某貨車的驅(qū)動橋殼為分析對象,建立了其振動微分方程,并推導(dǎo)出基于設(shè)計變量的模態(tài)靈敏度分析方程,構(gòu)建了驅(qū)動橋殼的優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型；在此基礎(chǔ)上,研究了貨車驅(qū)動橋殼基于關(guān)鍵設(shè)計參數(shù)的模態(tài)靈敏度,并根據(jù)靈敏度分析結(jié)果,以提高低階模態(tài)頻率為目標(biāo),以結(jié)構(gòu)整體質(zhì)量不大于65 kg為約束條件,建立了優(yōu)化模型。

由優(yōu)化結(jié)果可知,低階模態(tài)提高了10 Hz,滿足設(shè)計要求。

最后,通過仿真分析和臺架試驗校核優(yōu)化結(jié)果,優(yōu)化結(jié)果滿足垂直彎曲靜強度和垂直彎曲剛性要求。