徐百平，劉彪，劉堯，譚壽再，杜遙雪，劉春太

（1 五邑大學(xué)智能制造學(xué)部，廣東江門(mén)529020； 2 廣東輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院廣東省高分子材料先進(jìn)加工工程技術(shù)研究中心，廣東廣州510300； 3 鄭州大學(xué)橡塑模具國(guó)家工程研究中心，河南鄭州450002）

引 言

同向雙螺桿擠出機(jī)具有混合性能好、自清潔效果好、脫氣效率高等優(yōu)點(diǎn)，在聚合物加工、反應(yīng)擠出、食品加工以及制藥等領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用。這類機(jī)器內(nèi)，一對(duì)形狀相同的內(nèi)部轉(zhuǎn)子，安置在水平腔內(nèi)同向等速旋轉(zhuǎn)，其截面由幾段不同半徑的圓弧組成。為了實(shí)現(xiàn)自潔功能，避免運(yùn)動(dòng)干涉，兩個(gè)轉(zhuǎn)子之間有特定的錯(cuò)列角。一對(duì)三角形轉(zhuǎn)子類似于一對(duì)三頭雙螺桿元件和捏合塊，在一定程度上與擠出機(jī)的捏合盤(pán)具有相同的混合原理。這樣的幾何結(jié)構(gòu)，對(duì)于螺紋元件的橫截面內(nèi)混合也有一定的參考意義。然而，當(dāng)需要更大的工作空間和熱交換面積時(shí)，最簡(jiǎn)單的方法是縮小轉(zhuǎn)子尺寸以提供更多的空間，但是通常會(huì)損失部分自清潔特性。例如，當(dāng)選擇一對(duì)三角形轉(zhuǎn)子時(shí)，盡管失去了自清洗功能，但可以提供更多的空間和傳熱表面。而且當(dāng)轉(zhuǎn)子尺寸縮小后，可以改變錯(cuò)列角來(lái)完成不同的混合過(guò)程。但這樣的尺寸放大縮小以及錯(cuò)列角的選擇對(duì)混合室內(nèi)的混合效率影響效果還需要進(jìn)一步研究。

1997 年，Avalosse 等[1]通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察和數(shù)值模擬研究了三角形轉(zhuǎn)子對(duì)作用下的混合問(wèn)題。隨后Bertrand 等[2]提出了另一種虛擬內(nèi)嵌邊界方法，使用拉格朗日乘子法來(lái)施加移動(dòng)邊界條件，進(jìn)一步進(jìn)行局部自適應(yīng)網(wǎng)格細(xì)化來(lái)精確尖角處邊界條件，從而提高了混合演化細(xì)節(jié)預(yù)測(cè)。當(dāng)前，計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)（CFD）取得了巨大的進(jìn)步，為評(píng)估和優(yōu)化反應(yīng)器設(shè)計(jì)提供了一種很有效的方法。有限體積法（FVM）、有限元法（FEM）、光滑質(zhì)點(diǎn)流體動(dòng)力學(xué)法（SPH）等數(shù)值方法現(xiàn)已用于模擬混合裝置中的復(fù)雜流動(dòng)[3-20]。其中，基于有限元的網(wǎng)格疊加技術(shù)（MST）取得了巨大的進(jìn)步，該方法針對(duì)流動(dòng)域和內(nèi)部運(yùn)動(dòng)部件分別進(jìn)行網(wǎng)格劃分，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)部件的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在每個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)更新運(yùn)動(dòng)部件的運(yùn)動(dòng)位置。Kokini團(tuán)隊(duì)[13-16]將有限元數(shù)值模擬方法和疊加網(wǎng)格技術(shù)相結(jié)合，開(kāi)展了食品加工方面的混合機(jī)理研究，取得了豐碩的成果。

針對(duì)三角形轉(zhuǎn)子，雖然前人的研究在描述混合細(xì)節(jié)和提高數(shù)值精度方面取得了積極進(jìn)展，但對(duì)混合的機(jī)理理解仍然不夠清晰。沒(méi)有采用動(dòng)力學(xué)研究工具，如統(tǒng)計(jì)分析、Lyapunov 指數(shù)及Poincaré 截面等手段，也沒(méi)有探索轉(zhuǎn)子大小和幾何形狀、錯(cuò)列角等參數(shù)空間對(duì)混合的影響規(guī)律。而這些將有助于提高人們對(duì)混合機(jī)理的理解，并有助于推動(dòng)在上述相關(guān)領(lǐng)域的設(shè)計(jì)創(chuàng)新。因此，本文沿用Avalosse 等[1]和Bertrand 等[2]的模型，將錯(cuò)列角從0 推廣到π/2，并建立了相應(yīng)的物理模型和數(shù)學(xué)模型。自行開(kāi)發(fā)一種四階顯式Runge-Kutta 積分算法來(lái)實(shí)現(xiàn)拉格朗日粒子追蹤，采用Poincaré 截面、拉格朗日相干結(jié)構(gòu)以及粒子群統(tǒng)計(jì)分析等方法來(lái)研究分布混合。此外，還比較了不同錯(cuò)列角的功耗。

1 問(wèn)題描述

如圖1所示，存在一個(gè)8字形的空腔，放置一對(duì)相同的三角形轉(zhuǎn)子，兩個(gè)轉(zhuǎn)子分別以O(shè)1和O2為圓心，逆時(shí)針等速旋轉(zhuǎn)。設(shè)轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)周期為T(mén)，則旋轉(zhuǎn)頻率N=1/T。兩轉(zhuǎn)子的相對(duì)位置如圖1所示，空腔壁的外半徑為R，轉(zhuǎn)子中心距為C，當(dāng)O1A1與O2A2平行時(shí)，錯(cuò)列角為0。圖1對(duì)應(yīng)的是O1A1處于鉛錘位置的情況，定義此時(shí)刻初始時(shí)間。因此，初始時(shí)刻的錯(cuò)列角也就等于O2A2與過(guò)O2的鉛垂線之間的夾角。由于兩個(gè)轉(zhuǎn)子等速旋轉(zhuǎn)，因此，錯(cuò)列角時(shí)刻保持不變。

轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速為0.5 r/min，故轉(zhuǎn)動(dòng)周期T為120 s，頻率為N= 1/120 s-1。幾何參數(shù)如下：流域外徑R =30 mm，流域內(nèi)徑R0= 10 mm，中心距C = 48 mm，轉(zhuǎn)子邊長(zhǎng)L= 40 mm。使用四個(gè)典型的錯(cuò)列角度來(lái)識(shí)別不同的混合情況：θ分別為0、π/6、π/3和π/2。

1.1 建模

研究二維高黏牛頓流體的瞬態(tài)等溫層流問(wèn)題。做如下假設(shè)：

（1）壁面無(wú)滑移；

（2）等溫層流；

（3）可忽略的重力和離心效應(yīng)；

（4）流域全充滿。

控制方程如下：

式中，ω 為左右轉(zhuǎn)子的角速度，s-1;如前，轉(zhuǎn)子頻率N=1/120 s-1；8字形空腔壁面保持靜止。

1.2 數(shù)值模擬方法

利用有限元分析軟件ANSYS Polyflow 17.0 CFD對(duì)上述方程定義的二維瞬時(shí)流動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值模擬。8字形流域如圖1所示，一對(duì)半徑為R的相貫圓弧封閉的區(qū)域減去一對(duì)半徑為R0的區(qū)域，其中，R0比三角形轉(zhuǎn)子內(nèi)切圓半徑小0.2 mm。采用網(wǎng)格疊加技術(shù)（MST）來(lái)逼近移動(dòng)邊界。如圖2所示，流域和轉(zhuǎn)子分別用四邊形網(wǎng)格進(jìn)行網(wǎng)格劃分，然后按照時(shí)間步長(zhǎng)進(jìn)行疊加處理。采用ICEM17.0來(lái)劃分網(wǎng)格。利用對(duì)稱性和周期性來(lái)降低計(jì)算成本及提高網(wǎng)格密度，只模擬T/3時(shí)間跨度，因此使用上述瞬態(tài)模型進(jìn)行數(shù)值模擬，只需要將速度場(chǎng)求解推進(jìn)到40 s即可。

流動(dòng)域的左側(cè)以500×80進(jìn)行網(wǎng)格劃分，右側(cè)與左側(cè)相同，因此，在周向和徑向上，每個(gè)部分分別有1000和160個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)。每個(gè)三角轉(zhuǎn)子也用曲邊三角形鏤空，以保證四邊形網(wǎng)格易于鋪展，減少網(wǎng)格尺寸及提高網(wǎng)格匹配精度，每個(gè)轉(zhuǎn)子在周向和徑向的網(wǎng)格尺寸均為360×40，如圖2 所示。當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)2π/3 時(shí)，采用100 個(gè)時(shí)間步，每個(gè)時(shí)間步等于0.4 s，那么0～40 s 時(shí)間跨度內(nèi)具有101 個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)。使用網(wǎng)格疊加技術(shù)和作者開(kāi)發(fā)的混合動(dòng)力學(xué)計(jì)算代碼來(lái)完成整體計(jì)算。當(dāng)錯(cuò)列角為0 時(shí)，流域（紅色）和轉(zhuǎn)子（左藍(lán)右綠）網(wǎng)格疊加結(jié)果如圖2（a）所示。圖2（b）為嚙合區(qū)域局部放大圖。

圖2 錯(cuò)列角為0時(shí)計(jì)算模型在t=0處的網(wǎng)格劃分Fig.2 Meshing for the computational model at t=0 for a zero staggered angle

將疊加后的網(wǎng)格導(dǎo)入Polyflow 軟件中，進(jìn)行瞬態(tài)速度場(chǎng)求解。迭代參數(shù)設(shè)置如下：時(shí)間步長(zhǎng)初始值為T(mén)/400，時(shí)間上限為0.5T。時(shí)間積分采用Galerkin 法，時(shí)間按照時(shí)間步長(zhǎng)向前移動(dòng)。收斂標(biāo)準(zhǔn)為10-5，每個(gè)時(shí)間步最大迭代步長(zhǎng)定義為30 步。最后，速度結(jié)果以CSV 格式導(dǎo)出，讀入自行開(kāi)發(fā)混合動(dòng)力學(xué)計(jì)算程序，進(jìn)一步開(kāi)展混合動(dòng)力學(xué)研究。

圖3（a）～（d）為t=0時(shí)不同錯(cuò)列角下轉(zhuǎn)子的速度矢量分布。為了便于觀察，只使用部分網(wǎng)格點(diǎn)來(lái)顯示速度矢量分布。圖3（e）、（f）為錯(cuò)列角π/3和π/2全網(wǎng)各節(jié)點(diǎn)局部放大視圖。速度矢量圖表明，對(duì)于四種錯(cuò)列角，轉(zhuǎn)子周圍都有高速帶，三角形頂點(diǎn)區(qū)都有局部速度峰值?？涨槐诿娓浇嬖谝粭l8字形低速帶。在轉(zhuǎn)子頂點(diǎn)與空腔壁面附近出現(xiàn)了局部低速渦旋。在t=0時(shí)，錯(cuò)列角為π/3時(shí)，單個(gè)雙曲旋渦出現(xiàn)在轉(zhuǎn)子連心線中點(diǎn)附近；而錯(cuò)列角為π/2時(shí)，一對(duì)雙曲旋渦出現(xiàn)在連心線的中垂線中點(diǎn)上下位置附近。雙曲點(diǎn)的存在對(duì)于混沌混合具有重要意義。

圖4為當(dāng)兩個(gè)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)部分靠得最近的時(shí)刻的速度矢量分布。當(dāng)錯(cuò)列角為0 時(shí)，選擇t = 10 s 時(shí)刻，對(duì)于其他錯(cuò)列角，則選擇左右轉(zhuǎn)子頂點(diǎn)首次相遇的時(shí)刻，由于錯(cuò)列角的不同，對(duì)應(yīng)的時(shí)間分別是15、10 和5 s。如圖4（a）、（c）顯示，在雙曲線的頂點(diǎn)中間出現(xiàn)了橢圓渦，類似于圖3（d）。單個(gè)雙曲線渦點(diǎn)出現(xiàn)在連心線的中垂線上，如圖4（b）、（d），類似于圖3（a）。

圖3 在t=0時(shí)刻不同錯(cuò)列角的速度矢量分布/(m/s)Fig.3 The velocity vector distribution of different error angles at time t=0

2 粒子追蹤與驗(yàn)證

示蹤粒子的運(yùn)動(dòng)可以通過(guò)求解式(5)進(jìn)行追蹤:

式中，x =(x,y) 為示蹤粒子的位置矢量；v(x,y,t)為速度矢量；與式（1）相同，時(shí)間t 的單位為s。式（5）用來(lái)描述無(wú)擴(kuò)散效應(yīng)的標(biāo)記不同顏色的同種物料間的混合。當(dāng)時(shí)間t小于40 s時(shí)，通過(guò)上述數(shù)值模擬方法求解速度矢量。當(dāng)時(shí)間t大于40 s時(shí)，利用周期性通過(guò)式(b)求得任意時(shí)刻的速度場(chǎng)：

式中，MOD（,）為求模運(yùn)算。

圖4 不同錯(cuò)列角速度矢量分布/(m/s)Fig.4 Different staggered angular velocity vector profiles

自編程序，采用標(biāo)準(zhǔn)的四階Runge-Kutta 格式實(shí)現(xiàn)了前鋒跟蹤計(jì)算。對(duì)于任意不在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)及時(shí)間節(jié)點(diǎn)上一般情況，需要對(duì)時(shí)間和空間位置進(jìn)行插值：一方面，對(duì)于任意時(shí)刻t，采用二次拉格朗日插值法計(jì)算速度值時(shí)，采用覆蓋時(shí)刻t 的k-1、k 和k+1這三個(gè)相鄰的時(shí)間節(jié)點(diǎn)。這里的時(shí)間步長(zhǎng)對(duì)應(yīng)于前面的時(shí)間步長(zhǎng)，在這個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)上，采用網(wǎng)格疊加技術(shù)（MST）求解歐拉速度場(chǎng)；另一方面，對(duì)于空間9 節(jié)點(diǎn)二次插值，將笛卡爾坐標(biāo)系統(tǒng)（x，y）轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)（r，θ）來(lái)加速計(jì)算效率[20-24]。為了實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)，采用相對(duì)較小的時(shí)間間隔dt=1.0×10-2s(約為8.33×10-5T)完成粒子跟蹤計(jì)算。

為了驗(yàn)證網(wǎng)格疊加和粒子跟蹤技術(shù)的準(zhǔn)確性，在錯(cuò)列角為0的情況下，與前人的實(shí)驗(yàn)結(jié)果[1]進(jìn)行比較。使用圖2 所示的網(wǎng)格劃分和前述時(shí)間間隔dt，檢查了轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)2π/3 后的示蹤劑混合圖像，發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果有較好的一致性[21]。

3 結(jié)果與討論

3.1 Poincaré截面

將64個(gè)不同顏色的粒子均勻地分布在一個(gè)1 mm×1 mm的正方形中，隨機(jī)滴入流域中，進(jìn)行前鋒追蹤計(jì)算。每隔一個(gè)周期記錄所有點(diǎn)的位置，計(jì)算100個(gè)周期來(lái)獲得Poincaré截面，如圖5所示。典型的“KAM島”出現(xiàn)在轉(zhuǎn)子每邊的中間——左紅右藍(lán)。“KAM島”的面積變化并不明顯。例如，對(duì)于錯(cuò)列角為0的情況，包含p1=(0.00075,-0.0161)的“KAM島”，經(jīng)過(guò)一個(gè)周期時(shí)間T 之后，返回到它們?cè)瓉?lái)的位置，從p2= (0.048, -0.0161)來(lái)的點(diǎn)也是如此。一方面,這意味著“KAM島”區(qū)域的流體與轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)幾乎同步。圖5（b）一部分流體只局限于轉(zhuǎn)子的本地?cái)嚢鑵^(qū)，局限在左腔或右腔，而彼此不互相混合。另一方面，“KAM島”的流體從未與外面的流體混合。

3.2 有限時(shí)間Lyapunov指數(shù)和拉格朗日相干結(jié)構(gòu)

圖5 不同錯(cuò)列角的Poincaré截面Fig.5 Poincaré cross sections of different staggered angles

為了確定合適的參數(shù)，包括確定初始半徑h 和初始半圓周上點(diǎn)的個(gè)數(shù)N。以錯(cuò)列角π/2 組合為例，取一個(gè)特定點(diǎn)p3=(0，-0.024)來(lái)試算。采用不同的時(shí)間間隔值dt 進(jìn)行前鋒追蹤,計(jì)算得到在t=T/3(40 s)是FTLE 值,如圖6 所示。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在不同的時(shí)間間隔dt和不同的半徑h下，得到的FTLE 值幾乎相同，當(dāng)點(diǎn)數(shù)N 等于或大于16 時(shí)，F(xiàn)TLE 值趨近相同。因此，在實(shí)際計(jì)算中，N = 16，對(duì)應(yīng)初始圓周圍分布的32個(gè)點(diǎn)，h=0.01 mm,dt=1.0×10-2s。

圖6 p3點(diǎn)的FTLE對(duì)不同的時(shí)間間隔、初始圓半徑和分布點(diǎn)數(shù)的敏感性Fig.6 Sensitivity of FTLE of p3 using different values of time interval,initial circle radius and point number

對(duì)流動(dòng)域進(jìn)行0.5 mm 的網(wǎng)格劃分，選擇網(wǎng)格線的交點(diǎn)計(jì)算FTLE 值。圖7 為四種不同錯(cuò)列角在有限時(shí)間t= T/3 時(shí)的FTLE 場(chǎng)分布。FTLE 分布相似，無(wú)明顯差異。FTLE 值最大的帶從左轉(zhuǎn)子的右下峰到右轉(zhuǎn)子的最高點(diǎn)穿過(guò)嚙合帶。次級(jí)大FTLE 值帶接轉(zhuǎn)子頂點(diǎn)，轉(zhuǎn)子頂點(diǎn)周圍出現(xiàn)局部較大的伴隨區(qū)域。這些條帶代表了FTLE 的脊，揭示了拉格朗日相干結(jié)構(gòu)，表明了不同的排斥和吸引作用的存在。另外，與圖5相似，在轉(zhuǎn)子邊緣底部發(fā)現(xiàn)了局部的低值區(qū)，這與KAM 群島一致。此外,一對(duì)FTLE 值較低的區(qū)域伴隨FTLE 峰脊的上下兩側(cè)，分別位于左右兩個(gè)子流域之內(nèi)，如圖7 所示。將拉格朗日相干結(jié)構(gòu)與Poincaré 截面相結(jié)合，揭示了流場(chǎng)中混合強(qiáng)度的不同，高效混合與嵌入式常規(guī)規(guī)則層流混合的KAM島并存，三角形轉(zhuǎn)子混合仍有提升的空間。

圖7 t=T/3時(shí)不同錯(cuò)嚙角的FTLE值分布Fig.7 The distribution of FTLE value of different staggered angles at t=T/3

進(jìn)一步進(jìn)行粒子群混合示蹤分析，在以p4=(0,-0.0185)為中心、邊長(zhǎng)為3 mm的正方形區(qū)域內(nèi)均布10000個(gè)流體粒子，進(jìn)行前鋒追蹤運(yùn)算，將時(shí)間推進(jìn)到2T(240 s)，揭示圖7中FTLE分布背后的機(jī)理。四個(gè)不同錯(cuò)列角的情況下，發(fā)現(xiàn)了相似的示蹤劑混合圖像。示蹤劑的拉伸發(fā)生在跨越相互嚙合區(qū)的FTLE脊上，這表明了其排斥性能。也發(fā)現(xiàn)FTLE脊帶提供了一種方式觸發(fā)混沌混合，經(jīng)過(guò)此處示蹤劑反復(fù)拉伸分離為兩部分，如圖8所示。另一方面，示蹤劑也發(fā)現(xiàn)局部折疊，這是混沌混合發(fā)生觸發(fā)的第二種機(jī)理?？梢?jiàn)，四種錯(cuò)列角的混沌觸發(fā)機(jī)理相似。

3.3 混合方差指數(shù)表征

根據(jù)圖5 和圖7 的結(jié)果，確定了兩個(gè)典型點(diǎn)。例如，p1位于KAM 島內(nèi)，而p4=(0,-0.0185)則位于混沌區(qū)域。用一個(gè)以p1為中心、邊長(zhǎng)為1 mm的方形示蹤料條s1和一個(gè)以p4為中心、邊長(zhǎng)為3 mm 的方形示蹤料條s2來(lái)展示四個(gè)交錯(cuò)角下不同粒子群的混合演化。每個(gè)料條均勻分布著400個(gè)粒子。進(jìn)行粒子跟蹤計(jì)算，追蹤時(shí)間達(dá)9T(1080 s)。

為了定量評(píng)價(jià)上述顆?；旌?，參考作者之前的工作[21-24]?；诜指顔卧褡拥牧Ｗ訑?shù)的方差計(jì)算如下:

因此，無(wú)量綱方差I(lǐng)的一個(gè)方便的指標(biāo)可以定義為：

圖8 起始于p3的示蹤劑經(jīng)過(guò)2 T演化圖像Fig.8 Two-period evolution picture of tracer released from p3

顯然，隨著混合程度的提高，方差減小。即使是全局混沌流也不會(huì)產(chǎn)生一個(gè)均勻的點(diǎn)分布，而是每個(gè)粒子都有均等的機(jī)會(huì)分布在任何一個(gè)單元格子中。這種狀態(tài)被稱為完全空間隨機(jī)性(CSR)[29-30]。對(duì)于M ?1 和N ?1，方差指數(shù)的相應(yīng)極限可由泊松概率質(zhì)量函數(shù)得到：

將流體區(qū)域排出轉(zhuǎn)子的區(qū)域，使用邊長(zhǎng)為0.25 mm的正方形單元格子來(lái)劃分網(wǎng)格。當(dāng)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時(shí)，單元格子的分布隨時(shí)間更新。對(duì)于四種錯(cuò)列角0、π/6、 π/3和π/2，對(duì)應(yīng)的單元格子數(shù)約為64215、64129、64068和64205個(gè)。在給定時(shí)刻t，分別更新粒子群位置和單元格子分布，根據(jù)式（10）～式（12）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算。圖9（a）顯示了從p1開(kāi)始的粒子群的方差指數(shù)隨時(shí)間的變化。當(dāng)粒子被困在一個(gè)KAM區(qū)域時(shí)，如圖5所示，準(zhǔn)周期波動(dòng)出現(xiàn)，但沒(méi)有隨時(shí)間出現(xiàn)明顯的漸近衰減。從圖9（b）可以看出，即使經(jīng)過(guò)9個(gè)完整的轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)周期，這些顆粒仍然局限在KAM區(qū)域，難以分散。局部放大的視圖捕捉到混合模式的細(xì)節(jié)為四個(gè)交錯(cuò)的角度和規(guī)則的粒子仍然保持對(duì)齊有序。在圖8（b）中，當(dāng)一個(gè)粒子最初釋放p4，錯(cuò)列角為π/3時(shí)，九全期的準(zhǔn)周期性的軌跡記錄表明一個(gè)周期軌道左和右攝像頭單獨(dú)存在。

當(dāng)粒子群以p4為中心時(shí)，圖10（a）繪制了初始粒子群的方差指數(shù)隨時(shí)間的衰減，表明方差指數(shù)呈指數(shù)下降。差異下降率存在于早期階段，此時(shí)錯(cuò)列角π/3出現(xiàn)下降速度超過(guò)其他錯(cuò)列角情況，當(dāng)時(shí)間移向9T 時(shí)，接近相同的漸近值，略大于CSR 極限(0.0025)，這意味著有KAM島阻止了流體在全流域范圍內(nèi)的無(wú)序混合，不同情況下的最終混合差異在統(tǒng)計(jì)學(xué)上并不明顯。此外,在t=9 T 混合結(jié)果記錄在圖10（b）、（c）和（d），錯(cuò)列角分別為0、π/3、π/2。

3.4 能耗對(duì)比

為了比較不同錯(cuò)列角度下的能耗值，利用旋轉(zhuǎn)軸上一米的長(zhǎng)度來(lái)計(jì)算能耗。因此，式（13）成立：

圖9 p1為中心的粒子群經(jīng)過(guò)t=9T(1080 s)演化圖像及混合方差指數(shù)分析Fig.9 Particle evolutions and mixing variance indices until t=9T(1080 s)initially released from the clusters centered at p1

式中，P(t)為W中的瞬時(shí)功耗，為雙收縮。Ω代表流域。錯(cuò)列角對(duì)功耗的影響如圖11（a）所示。由于時(shí)間的對(duì)稱性和周期性，圖中只顯示了T/3(40 s)。不同的波型幾乎以相同的振幅出現(xiàn)。對(duì)式(13)，每40 s即進(jìn)行積分。如圖11（b）所示，不同錯(cuò)列角的能耗幾乎相同。圖11（c）、（d）對(duì)比了t=0和T/12(10 s)錯(cuò)列角度為0時(shí)空腔內(nèi)的功耗分布，分別對(duì)應(yīng)圖11（a）中的最小和最大能耗。一對(duì)高功耗區(qū)出現(xiàn)在轉(zhuǎn)子的頂點(diǎn)附近，這看起來(lái)像蝴蝶，而近零能耗區(qū)域被附加到每個(gè)轉(zhuǎn)子邊緣的中間部分,表明進(jìn)一步降低能耗的相關(guān)修改轉(zhuǎn)子的幾何形狀的山峰。在今后的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，應(yīng)著重研究轉(zhuǎn)子的尖端結(jié)構(gòu)，比如采用光滑的圓弧結(jié)構(gòu)取代尖點(diǎn)以降低功耗，縮小轉(zhuǎn)子中心距來(lái)打破KAM島區(qū)的存在，擴(kuò)大混沌混合區(qū)間，盡可能地提高混合性能。關(guān)于這一點(diǎn)，我們將進(jìn)一步開(kāi)展研究。

4 結(jié) 論

本文建立了一對(duì)不同錯(cuò)列角三角形轉(zhuǎn)子攪拌下的空腔混合物理模型和數(shù)學(xué)模型。采用有限元法求解了高黏度牛頓流體的瞬態(tài)流場(chǎng)，采用固定網(wǎng)格法對(duì)流動(dòng)域進(jìn)行網(wǎng)格劃分，采用網(wǎng)格迭加技術(shù)考慮了內(nèi)部轉(zhuǎn)子的存在。開(kāi)發(fā)了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的四階Runge-Kutta 格式來(lái)執(zhí)行粒子跟蹤計(jì)算。前人的實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文有限元方法的準(zhǔn)確性，兩者之間有很好的一致性。錯(cuò)列角增加時(shí)，從0 到π/2、π/6發(fā)現(xiàn)類似的混合動(dòng)力學(xué)機(jī)理，混合指數(shù)統(tǒng)計(jì)反映了幾乎一致的定量化混合指標(biāo)，而且功耗仍然幾乎不變。相同的機(jī)制支配了腔內(nèi)的混合，其中部分混沌混合與規(guī)則層流混合的KAM 島混合并存。部分示蹤劑被限制在左、右轉(zhuǎn)子的子區(qū)，存在與轉(zhuǎn)子幾乎同步旋轉(zhuǎn)的規(guī)則層流混合區(qū)域。相比之下，混沌混合可以通過(guò)兩種方式實(shí)現(xiàn)。一方面，從拉格朗日相干結(jié)構(gòu)分布來(lái)看，F(xiàn)TLE脊提供了將流體示蹤劑反復(fù)拉伸成兩部分的機(jī)會(huì)，從而創(chuàng)造了一種實(shí)現(xiàn)混沌混合的方式。另一方面，當(dāng)流體示蹤劑以逆時(shí)針?lè)较蚶@兩轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)時(shí)，流體示蹤劑發(fā)生局部折疊，導(dǎo)致流體界面發(fā)生一系列的拉伸、折疊和重定向，成為出發(fā)混沌混合的另外一種機(jī)制。猜想當(dāng)中心距不斷縮小或者轉(zhuǎn)子外徑不斷擴(kuò)大時(shí)，轉(zhuǎn)子頂端會(huì)掃略KAM 島區(qū)域，導(dǎo)致KAM 島破碎，尺度會(huì)減小，甚至消除，作者將進(jìn)一步開(kāi)展研究。