劉 春，劉自牧，葉秣麟

(1. 高原與盆地暴雨旱澇災(zāi)害四川省重點實驗室，成都 610072；2. 中國氣象局氣象干部培訓(xùn)學(xué)院/WMO區(qū)域培訓(xùn)中心，北京 100081；3.四川省內(nèi)江市氣象局，內(nèi)江 641000；4.四川省氣象局氣象服務(wù)中心，成都 610072)

引言

在中高緯度西風(fēng)帶長波槽脊的發(fā)展演變過程中，當(dāng)脊北伸時，其南部與南方暖空氣的聯(lián)系被冷空氣所切斷，同時脊的北部出現(xiàn)閉合環(huán)流，相對于周圍大氣形成暖高壓中心， 即阻塞高壓。由于阻塞形勢，尤其是偶極型阻塞形勢的建立、維持與破壞對周邊地區(qū)天氣氣候具有十分重大的影響，特別是與一系列的異常天氣(大范圍持續(xù)干旱或陰雨)密切相關(guān)， 因此國內(nèi)外氣候?qū)W家已經(jīng)對其形成機理和演變特征進行了大量的研究工作。

阻塞形勢可視為一種生命史相對較長而結(jié)構(gòu)持續(xù)穩(wěn)定的大振幅孤立系統(tǒng)[1]，為此，Malguzzi和Malamotte—Rizzoli等[2-3]采用KDV(孤立波)動力學(xué)方法來闡述阻塞高壓的形成、維持及崩潰。然而，在大氣中觀測到的阻塞高壓和切斷低壓都不是波狀流動，而是孤立渦動[4]。為此，F(xiàn)lierl[5]和Mc Willianms等[6-8]在正壓流體中，利用強非線性作用，求出了孤立渦解。這種孤立渦解的流線分布，形成反對稱的一對偶極子，兩個極子相互非線性作用，導(dǎo)致整個偶極子向東或向西移動。孤立渦具有非頻散特征，能較好的揭示阻塞的長時間維持。然而，只有當(dāng)?shù)谝活怋essel函數(shù)的內(nèi)解波數(shù)在很窄的范圍內(nèi)，才會有這類偶極型的孤立渦解。

一些研究表明，地形對阻塞的形成起著很重要的作用[9-12]，可以加強阻塞的強度和固定阻塞的位置[13]。Charney 等[14-15]通過多平衡態(tài)與西風(fēng)帶高低指數(shù)環(huán)流聯(lián)系起來，并指出地形和熱力強迫波引起的一類低指數(shù)達到平衡態(tài)是大氣阻塞的原因。而最近的數(shù)值實驗則表明：地形強迫可以加強阻塞的強度，增加阻塞發(fā)生的頻率[16]。上述研究，既沒有指出阻塞產(chǎn)生的原因，也沒有很好的描述阻塞的結(jié)構(gòu)。為此，本研究將從阻塞的幾何結(jié)構(gòu)著手，來闡述地形強迫對偶極型阻塞的加強作用。

羅德海[17]提出的非線性Shr?dinger型包絡(luò)Rossby孤立波理論，既能反映偶極型阻塞的孤立波特征，又能體現(xiàn)偶極型阻塞的衰減機制，較好的揭示了大氣中偶極型阻塞的形成過程和衰退機制。為此，本研究采用類似的方法，通過對具有地形強迫的正壓準(zhǔn)地轉(zhuǎn)渦度方程的簡化，獲得帶有地形強迫的非線性Shr?dinger方程?？紤]到該非線性Shr?dinger方程中具有微小擾動的地形強迫項，要嚴(yán)格求解一般是不可能的，但可采用Yan[18-19]所建立的基于分離變量法的直接微擾理論對其進行分析計算。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合孤立子的拓撲結(jié)構(gòu)，討論地形強迫對偶極型阻塞的作用。

本研究首先通過多尺度變換和攝動法將具有地形強迫的正壓模式簡化為帶有擾動項的非線性Shr?dinger方程；其次，分析無地形強迫下的偶極型阻塞形勢的結(jié)構(gòu)及其維持過程；最后，通過孤立子直接微擾理論，研究地形強迫對偶極型阻塞形勢的影響，得到一些有意義的結(jié)果。

1 具有地形強迫的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)模式

由于阻塞形勢處于中高緯度西風(fēng)帶上，其運動過程符合準(zhǔn)地轉(zhuǎn)特征，因此，分析地形強迫對阻塞形勢的影響，可以考慮具有地形效應(yīng)的正壓準(zhǔn)地轉(zhuǎn)渦度方程：

(1)

(2)

取流函數(shù)為

(3)

(4)

令

(5)

將(5)式帶入(4)式，略去撇號“′”，得到無量綱的擾動流函數(shù)φ的方程：

(6)

將(3)式和(5)式帶入邊界條件(2)中，得到關(guān)于無量綱擾動流函數(shù)φ的邊界條件：

(7)

下面，將以無量綱的擾動方程(6)和對應(yīng)的邊界條件(7)，討論地形強迫對偶極型阻塞的影響。

2 地形強迫下的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)Shr?dinger方程

根據(jù)(6)式，要使地形強迫與非線性之間達到平衡，需滿足以下條件：

h(x,y)=ε3?(x,y)

其中，?(x,y)=(ax2+by2)1/2為無量綱的地形函數(shù)。而在大尺度大氣運動中，地形強迫往往比非線性效應(yīng)更弱[10]，為此，設(shè)

h(x,y)=ε3+λ?(x,y)

(8)

其中，0<λ<1。

由于大氣運動中，存在多時空尺度的運動。根據(jù)多尺度變換方法[20-21]，引入緩變坐標(biāo)：

τ=εt,T=ε2t,X=εx,ξ=ε2x

由于ε?1，則τ,T,X,ξ為緩變量。葉篤正和巢紀(jì)平[22]的研究結(jié)果表明：τ為大尺度特征時間，T為慢變外源強迫特征時間，X為長波特征尺度，ξ為超長波特征尺度。于是，作如下變換[20]：

(9)

根據(jù)攝動法，將對擾動流函數(shù)φ，按WKB(小參數(shù))方法[23]展開：

φ=φ0(x,y,t,X,ξ,τ,T)+εφ1(x,y,t,X,ξ,τ,T)+ε2φ2(x,y,t,X,ξ,τ,T)+…

(10)

考慮到擾動流的邊界條件(7)，有如下的擾動方程邊界條件：

(11)

將(8)式、(9)式和(10)式帶入到擾動方程(6)中，合并εi(i=0,1,2,…)項，可以得到關(guān)于ε的各階問題。對于o(ε0)問題，滿足如下方程：

o(ε0)：L(φ0)=0

(12)

其中

在邊界條件(11)下，方程(12)有如下的解形式：

φ0=A(X,ξ,τ,T)φ0(y)eik(x-ct)+cc

(13)

其中，A為復(fù)振幅，c為緯向波速，k為緯向波數(shù)，cc表示其前項的共軛。關(guān)于φ0的特征問題如下：

對于o(ε)問題，滿足如下方程：

(14)

將(13)式帶入到(14)式中，得到

(15)

方程(15)左邊的算子L是線性的，齊次形式具有形如eik(x-ct)的解，右邊的非齊次項中含有eik(x-ct)，如果方程右邊eik(x-ct)的系數(shù)不為零，方程(15)將會有共振解。為此，要消除久期項，即使eik(x-ct)的系數(shù)為零：

L(φ1)=ikA2G(y)e2ik(x-ct)

(16)

根據(jù)邊界條件(11)，可知方程(16)的解具有如下形式：

φ1=B(X,ξ,τ,T)φ1(y)e2ik(x-ct)+cc

(17)

比較(16)式和(17)式，有

BLk(φ1)=ikA2G(y)

(18)

其中，

為此，根據(jù)(18)式，可將B取為如下形式：

B=A2

(19)

將(19)式帶入到方程(8)中，得到關(guān)于φ1的特征方程如下：

對于o(ε2)問題，滿足如下方程：

(20)

與o(ε)問題一樣，通過消除共振項，得到ε2問題(20)的消除久期項的條件，即關(guān)于振幅A方程

(21)

其中

下面，將以準(zhǔn)地轉(zhuǎn)流的擾動振幅方程(21)為基礎(chǔ)，分析偶極型阻塞流場的幾何結(jié)構(gòu)，以及地形強迫對偶極型阻塞結(jié)構(gòu)的影響。

3 無地形強迫的Schr?dinger孤立子的變化情況

(22)

在沒有地形強迫的情況下(即γ=0)，方程(22)為標(biāo)準(zhǔn)的非線性Schr?dinger方程(簡稱NLSE)，有如下形式的單孤立子解：

(23)

(24)

由于初始位相和初始位置僅能改變孤立子的中心位置，而不改變其振幅和結(jié)構(gòu)。因此，考慮初始位置x0=0，初始位相θ0=0時的流場。利用歐拉公式重寫流函數(shù)，并注意到cc為共軛，(24)式可簡化為

(25)

(26)

上面的分析可以看出，即使沒有地形強迫，僅在非線性作用下，西風(fēng)流場就可形成偶極型阻塞結(jié)構(gòu)。下面，將進一步考慮地形強迫對偶極型阻塞流場的影響。

4 地形強迫下的Schr?dinger孤立子的變化情況

(27)

其初始條件為：

(28)

為了消除久期項，引入慢時間變量變換

∏=γT

(29)

在此變換下，有

將(27)、(28)和(29)式帶入(22)式，并線性化，得到如下具有初始擾動的線性方程：

(30)

根據(jù)零階近似解(23)，設(shè)滿足方程(22)的A0具有以下形式的解

(31)

由方程(30)可知，

(32)

M,χ,ζ,ι是關(guān)于慢時間變量∏的函數(shù)，而M,χ與時間t無關(guān)。為此，根據(jù)(32)式，可知

(33)

其中

(34)

令

則方程(34)可以寫成矩陣形式：

(35)

(36)

其中

由于孤立子解A0具有零邊值條件

A0→0，當(dāng)|z|→∞時

ρ=ρ*=±(k2+1),-∞

其中，k為實數(shù)，即算子方程(36)具有連續(xù)譜。對應(yīng)的正交完備基{Φ}和{ψ}分別為：

其中

利用基函數(shù){Φ}將W展開，得到：

(37)

其中，a+(T,k),a-(T,k)和aj(T)(j=1,2,3,4)為展開系數(shù)。將展開式(37)帶入到方程(35)中，由于積分后各展開系數(shù)只是時間t的函數(shù)，為此，得到關(guān)于展開系數(shù)a+(T,k)，a-(T,k)和aj(T)(j=1,2,3,4)的常微分方程[25]。

(38)

解方程(38)，并考慮到(31)和(32)式，可得關(guān)于孤立子波幅M及速度χ隨慢變時間∏變化的公式：

(39)

其中

在得到擾動對孤立子影響的關(guān)系式(38)后，將利用這一關(guān)系式來討論地形強迫對偶極型阻塞形勢的影響。

5 地形強迫對偶極型阻塞形勢的影響

對于大地形而言，可以近似看作斜面坡，為此，對于無量綱的地形高度函數(shù)?(x,y)具有以下形式

?(x,y)=|b-ax|

(40)

其中，a>0，b>0，a為大地形山體斜率，b為大地形山體高度。在量綱變換公式(6)下，地形函數(shù)(40)將變?yōu)?/p>

?(x,y)=|b′-a′x|

(41)

將無量綱的地形函數(shù)(41)帶入到(21)式中G(x)的表達式中，得到

G(x)=r|b′-a′x|

(42)

并考慮到矩陣次冪公式：

求(39)式，得到孤立子移動速度χ對于慢變時間∏的變化：

設(shè)χ的初始值為χ0，注意到χ關(guān)于慢變時間∏是定常的，則可得到孤立子波幅M對于慢變時間∏的變化：

(43)

由方程(43)可知，在地形強迫的作用下，孤子振幅在阻塞的維持階段隨慢時間增強的，在一定時間后，這種增強作用達到極限。進一步的分析發(fā)現(xiàn)，孤子振幅增長率與斜坡的斜率成正比，這意味著，大地形山體坡度越陡，越有利于偶極型阻塞發(fā)展。

同3節(jié)一樣，根據(jù)阻塞形勢的尺度以及西風(fēng)平均緯向風(fēng)速的特征，取ε=0.5，γ=0.7，t=-1，χ0=0.31，b=6km，a=0.15得到地形強迫下的單孤立子解的偶極型阻塞型流場(圖3)：

對比圖1與圖3可知：無地形強迫時，偶極型阻塞的維持時間相對較短，尤其是強度較弱，而存在地形強迫時，有利于偶極型阻塞維持，尤其是增強，因此，地形強迫對于偶極型阻塞的形成發(fā)展具有明顯的作用。

6 結(jié)論與討論

本研究運用多尺度變換和攝動法簡化具有地形強迫的正壓準(zhǔn)地轉(zhuǎn)渦度方程，得到帶有擾動項的非線性Shr?dinger方程，分析了非線性Shr?dinger孤立子的拓撲結(jié)構(gòu)，并采用孤立子直接微擾理論研究地形強迫對阻塞結(jié)構(gòu)的作用。結(jié)果表明：(1)在大氣長波與超長波尺度共存的雙時態(tài)特征中，一定的波流條件下，西風(fēng)環(huán)流將呈偶極型阻塞結(jié)構(gòu)。(2)地形強迫對阻塞發(fā)展具有加強作用，這種增長率與大地形山體的斜率成正比，并在一定時間內(nèi)達到極限。

本研究雖然從理論上闡述了地形強迫是怎樣影響阻塞形勢的，但仍存在如下的問題需要解決：從全局的角度看，阻塞形勢只是西風(fēng)帶高低指數(shù)環(huán)流中的一支—低指數(shù)環(huán)流，要全面的了解地形強迫對阻塞形勢的動力過程，需要從西風(fēng)帶環(huán)流的準(zhǔn)周期性循環(huán)著手進行分析，而這一過程，主要由斜壓位能的南北輸送、交換所引導(dǎo)的，為此，需要進一步考慮斜壓過程。