王鵬飛，張京京，陳帝伊

(西北農林科技大學水利與建筑工程學院,陜西 楊凌 712100)

水輪發(fā)電機組主軸系統(tǒng)是水力發(fā)電系統(tǒng)的重要組成部分，是由轉子、轉輪、軸系以及軸承部件構成的彈性旋轉組合構件[1],其中轉子與轉輪分別作為機組電磁激勵與水流激勵的源頭，對機組穩(wěn)定運行有著至關重要的影響[2-4].因此，探討水輪發(fā)電機組軸系振動特性是十分必要的.許多學者在這方面進行了大量的研究，并取得了一定成果[5-7].

鑒于水輪發(fā)電機組主軸系統(tǒng)的復雜性，在研究時通常首先將發(fā)電機轉子、軸承和水輪機轉輪等簡化為等效元件，將轉子和轉輪形心作為廣義坐標，分別建立轉子與轉輪的運動方程[8]；然后將需要考慮的影響因素轉化為廣義力作用在軸系模型上，構成形式復雜的二階微分方程組[9].例如：ZHANG等[10]考慮了不平衡磁拉力以及非線性密封力作用下轉子軸承系統(tǒng)的動態(tài)特性；白冰等[11]研究了導軸承剛度對水輪機軸系自振特性的影響；宋志強等[12]研究了水力與電磁激勵對水電機組扭轉特性的影響；張國淵等[13]考慮油膜力與電磁力作用，研究機組的非線性特性與穩(wěn)定性等.這些理論研究方法雖然物理意義清晰，但是未能給出附加作用力對軸系基礎模型的影響和作用機理，同時不便于研究機組振動控制等相關問題[14].

文中基于軸系廣義哈密頓控制模型，結合工程實例進行數(shù)值模擬，探究在不平衡磁拉力與水力不平衡力共同作用時，不同轉速下阻尼系數(shù)變化時水輪發(fā)電機組主軸系統(tǒng)動力學響應以及軸心軌跡與時、頻域變化特性.

1 水輪發(fā)電機組軸系哈密頓模型

1.1 主軸運動方程

水輪發(fā)電機組軸系結構如圖1所示.

定義發(fā)電機轉子中心坐標x1，y1，水輪機轉輪中心坐標x2，y2，以及水輪發(fā)電機轉角φ為廣義坐標，即(q1,q2,q3,q4,q5)T=(x1,y1,x2,y2,φ)T.水輪發(fā)電機組主軸系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)[8]為

(1)

式中：K11，K12，K22為等效剛度；e1為轉子質量偏心距；e2為轉輪質量偏心距；J1為轉子轉動慣量；J2為轉輪轉動慣量.

根據(jù)廣義動量定義[15]：

(2)

由式(2)得到廣義坐標速度表達式為

(3)

由文獻[15]，求取系統(tǒng)哈密頓函數(shù)，即

(4)

根據(jù)哈密頓正則方程定義[15]，聯(lián)立式(3)求取廣義力表達式：

(5)

聯(lián)立式(3)與式(5)，即水輪發(fā)電機組軸系瞬態(tài)哈密頓模型.考慮實際運行過程中機組轉速通常為常數(shù)[14]，因此假設dφ/dt=0.基于這種假設，重新定義廣義坐標與廣義動量，并引入量綱一化參數(shù)為

式中：τ為時間，是量綱為一的參數(shù)；δ0為軸承間隙；ω為機組旋轉角速度.

水輪發(fā)電機組主軸系統(tǒng)哈密頓運動微分方程量綱一化表達式為

(6)

1.2 機組軸系廣義哈密頓模型

水輪發(fā)電機組軸系廣義哈密頓理論形式[14]為

(7)

式中：

其中，(x1,x2,x3,x4)T=(x1,y1,x2,y2)T；H為系統(tǒng)能量函數(shù)；J(x)為系統(tǒng)結構矩陣；U為系統(tǒng)輸入激勵，包括外部作用力與控制輸入，其具有反對稱結構，矩陣元素反映了系統(tǒng)結構參數(shù)關系.ui(i=1,…,8)為控制器輸入，加入適當?shù)目刂破骺蓪⑾到y(tǒng)響應控制在所需的范圍內.文中輸入激勵只考慮作用在轉子上的不平衡磁拉力與作用在轉輪上的水力不平衡力,以及阻尼力[16-17].

2 機組軸系非線性動態(tài)特性分析

為了探究水輪發(fā)電機組軸系橫向振動特性，結合實例通過MATLAB自帶函數(shù)ode45對模型(7)進行積分求解，計算初值為0.001，求解時長為800 s，并取后300 s周期數(shù)值結果進行分析，以避免初值對計算結果的影響.給出在不同轉速時，系統(tǒng)隨阻尼系數(shù)從0～5.0×106N·s/m變化時的橫振響應分岔圖、軸心軌跡圖、時域圖和頻譜圖，圖中響應位移均量綱為一.某機組軸系參數(shù)[8]：轉子質量m1=4.0×105kg；轉輪質量m2=3.0×105kg；轉子質量偏心e1=3.0×10-4m；轉輪質量偏心e2=4.5×10-3m；轉輪半徑R=3m；上導剛度k1=1.10×109N/m；下導剛度k2=1.10×109N/m；水導剛度k3=1.55×109N/m；均勻氣隙大小δ0=8.0×10-3m；氣隙基波磁動勢系數(shù)kj=1.2；勵磁電流Ij=700 A.

圖2為定轉速(ω=314 rad/s)情況下，發(fā)電機轉子與水輪機轉輪軸心振幅隨阻尼系數(shù)變化的響應分岔圖.

由圖2可知，阻尼系數(shù)較小(02.0×106N·s/m，c2>1.5×106N·s/m)時，系統(tǒng)表現(xiàn)為周期運動，系統(tǒng)振幅穩(wěn)定，轉子振幅為0.04，轉輪振幅為0.07.

為了反映系統(tǒng)的具體動態(tài)特性，給出阻尼系數(shù)對應系統(tǒng)出現(xiàn)倍周期(c1=0.5×106N·s/m，c2=0.5×106N·s/m)與周期運動(c1=3.0×106N·s/m，c2=3.0×106N·s/m)時的軸心軌跡和時、頻譜圖，如圖3所示，圖中τ為時間，為量綱一的量.由圖可知，阻尼系數(shù)較小時，轉子與轉輪響應表現(xiàn)為倍周期現(xiàn)象，軸心軌跡響應為多個不同心圓環(huán)重疊，時域圖為擬周期的不等幅振蕩，頻譜圖中存在諧波成分，系統(tǒng)運動響應不穩(wěn)定.阻尼系數(shù)較大(c1>2.0×106N·s/m，c2>1.5×106N·s/m)時，倍周期現(xiàn)象消失，軸系響應為穩(wěn)定的周期運動.軸心軌跡為均勻的圓環(huán)，時域圖表現(xiàn)為等幅周期振蕩，頻域圖中無諧波成分.說明阻尼較大時，轉子與轉輪運動響應較為穩(wěn)定.此外，對比轉子與轉輪的橫向振動幅值可知，轉輪振幅大于轉子振幅.

圖4為定轉速(ω=180 rad/s)情況下，發(fā)電機轉子與水輪機轉輪軸心振幅隨阻尼系數(shù)變化的響應分岔圖.綜合圖2可知，系統(tǒng)阻尼系數(shù)c1，c2在0～5.0×106N·s/m范圍內，系統(tǒng)均存在周期1與倍周期運動，不同轉速時系統(tǒng)的橫振響應隨阻尼系數(shù)變化的趨勢相似.當阻尼系數(shù)較小，即c1=c2=0～1.0×106N·s/m時，轉子與轉輪均出現(xiàn)明顯的倍周期現(xiàn)象，轉子振幅范圍為[0,0.09]，轉輪振動范圍為[0.02,0.12]；當阻尼系數(shù)增大時，即c1=c2=1.0×106～5.0×106N·s/m時，系統(tǒng)為周期1運動，振幅值為定值,轉子振幅為0.05,轉輪振動范圍為0.07.

圖5為阻尼系數(shù)對應系統(tǒng)出現(xiàn)倍周期(c1=0.1×106N·s/m，c2=0.1×106N·s/m)與周期運動(c1=3.0×106N·s/m，c2=3.0×106N·s/m)時的軸心軌跡和時、頻譜圖.c1=c2=0.1×106N·s/m時，轉子與轉輪軸心軌跡響應復雜，時域圖表現(xiàn)為劇烈振蕩，頻譜圖上出現(xiàn)諧波成分.這說明阻尼系數(shù)較小或無阻尼時系統(tǒng)易不穩(wěn)定.當c1=c2=3.0×106N·s/m時，系統(tǒng)軸系軌跡響應為單一圓環(huán)，時域圖表現(xiàn)為穩(wěn)定的等幅周期振蕩，頻譜無諧波.

3 結 論

文中以某水力發(fā)電機組為研究對象，利用哈密頓方程建立水輪發(fā)電機組主軸系統(tǒng)一階運動微分方程，將外部作用力(包括不平衡磁拉力以及水力不平衡力)作為系統(tǒng)輸入，構建廣義哈密頓模型，并探究了在不同轉速下阻尼變化時系統(tǒng)的動力學特性.文中主要得到如下結論：

1) 適當增加阻尼對抑制軸系振動有較為明顯的效果.

2) 所建模型能較好地反映系統(tǒng)非線性動力學行為，通過考慮不同的輸入激勵，可探究軸系動態(tài)特性.

3) 文中的建模方法和仿真研究可以為進一步研究機組振動與控制提供理論支撐.