李 煜，鄭 娟，劉景森

1.河南大學(xué) 管理科學(xué)與工程研究所，河南 開(kāi)封 475004

2.河南大學(xué) 商學(xué)院，河南 開(kāi)封 475004

3.河南大學(xué) 智能網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)研究所，河南 開(kāi)封 475004

1 引言

越來(lái)越多科學(xué)和工程應(yīng)用問(wèn)題由低維發(fā)展成高維，決策變量增多，計(jì)算量大，具有不確定性且一般為多目標(biāo)復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題[1]。一般情況下，決策變量超過(guò)100個(gè)的函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題被定義為大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題[2]，如大型電力系統(tǒng)、視頻數(shù)據(jù)處理、輸電網(wǎng)擴(kuò)展規(guī)劃、大規(guī)模交通網(wǎng)絡(luò)的車(chē)輛路徑規(guī)劃等。優(yōu)化問(wèn)題的求解難度和維度息息相關(guān)，搜索空間和問(wèn)題復(fù)雜度隨維度增加呈指數(shù)趨勢(shì)增大，找到最優(yōu)解的概率呈指數(shù)下降，極易陷入“維數(shù)災(zāi)難”，而且這些決策變量之間相互關(guān)聯(lián)，使得計(jì)算復(fù)雜度和求解難度進(jìn)一步加大。

大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題具有非線性、不可微的特點(diǎn)，傳統(tǒng)梯度下降方法無(wú)法求解，目前的求解方法主要有兩種[3]：一是將維度分組的協(xié)同進(jìn)化策略，基于降維思想分組求解分解后的低維簡(jiǎn)單問(wèn)題，后將各組低維解結(jié)合成高維解[4]；另一種不分組方法是利用群智能算法對(duì)優(yōu)化問(wèn)題整體求解。群智能算法基于種群迭代機(jī)制進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，具有潛在的并行性和分布式特點(diǎn)[5]，全局搜索能力優(yōu)異，能有效求解復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題[6-7]。這種整體求解方法能克服分組策略“兩步向前，合并向后”的缺點(diǎn)[1]，如：賀桂嬌等[8]提出的改進(jìn)人工蜂群算法（artificial bee colony algorithm with at-tractor，BAABC）求解高維復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)明顯，魯棒性很好。Binh等[9]提出改進(jìn)布谷鳥(niǎo)搜索算法（improved cuckoo search，ICS）和混沌花朵授粉算法（chaotic flower pollination optimization algorithm，CFPA）求解多個(gè)無(wú)線傳感器的網(wǎng)絡(luò)區(qū)域覆蓋優(yōu)化問(wèn)題。改進(jìn)算法在解決傳感器節(jié)點(diǎn)部署這個(gè)NP-Hard 問(wèn)題時(shí)較其他算法具有時(shí)間優(yōu)勢(shì)。黃光球等[10]構(gòu)造的可全局收斂蝙蝠算法（bat algorithm，BA）能求解不同類(lèi)型的大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題，而且收斂速度快。

花朵授粉算法（flower pollination algorithm，F(xiàn)PA）[11]是Yang 于2012 年提出的一種新型群智能算法。該算法參數(shù)少，易實(shí)現(xiàn)，易調(diào)節(jié)，尋優(yōu)結(jié)構(gòu)新穎，尋優(yōu)能力良好，已在函數(shù)優(yōu)化[12]、無(wú)線傳感網(wǎng)[9]、電力系統(tǒng)[13]、作業(yè)車(chē)間調(diào)度[14]、形狀匹配[15]、背包問(wèn)題[16]等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。國(guó)內(nèi)外已有不少學(xué)者對(duì)其易陷入局部最優(yōu)、尋優(yōu)精度低、后期收斂速度緩慢等缺點(diǎn)進(jìn)行了改進(jìn)。將該算法與其他智能優(yōu)化算法融合取得了不錯(cuò)的效果：如Abdel-Raouf 等[17]將粒子群優(yōu)化算法融入到花朵授粉算法中；Lenin 等[18]將混沌和聲算法與花朵授粉算法進(jìn)行融合；Salgotra 等[19]提出了融合蝙蝠算法的BFP（bat flower pollination）算法。另外，Wang 等[20]認(rèn)為維間干擾會(huì)減緩算法的收斂速度，影響求解質(zhì)量，對(duì)解進(jìn)行逐維改進(jìn)并引入局部鄰域搜索策略；肖輝輝等[21]融合高斯變異和Powell法改善了算法的尋優(yōu)能力。

本文使用花朵授粉算法整體求解大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題。采用反向?qū)W習(xí)策略增加種群多樣性，提高初始種群質(zhì)量；為降低大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題的求解難度，降低算法迭代代價(jià)，避免維間干擾對(duì)算法收斂精度和速度的影響，設(shè)計(jì)了新的局部更新公式，發(fā)揮當(dāng)代最優(yōu)位置牽引作用，逐維動(dòng)態(tài)改變配子相對(duì)受擾動(dòng)程度和繼承程度，并接受更優(yōu)的結(jié)果作為下次迭代基礎(chǔ)。這種新的避免維間干擾的方法很好地彌補(bǔ)了算法易陷入“維度災(zāi)難”的缺陷，且與逐維更新評(píng)價(jià)方法相比，這種方法的時(shí)間代價(jià)具有明顯優(yōu)勢(shì)。最優(yōu)位置的牽引作用使得改進(jìn)算法僅需3～5 個(gè)種群個(gè)體即可達(dá)到滿(mǎn)意的優(yōu)化效果。15 個(gè)測(cè)試函數(shù)在3 種高維狀態(tài)100、1 000 和5 000 的數(shù)值仿真結(jié)果表明：相比于FPA、PSO（particle swarm optimization）[22]和BA，IFPA（improved flower pollination algorithm）的尋優(yōu)精度高、收斂速度快、魯棒性強(qiáng)且適應(yīng)度高，求解不同類(lèi)型大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題時(shí)優(yōu)勢(shì)明顯。

2 大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題描述

大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題用公式表示如下：

其中，X=[x1,x2,…,xD]為決策變量，其取值不同對(duì)應(yīng)著優(yōu)化問(wèn)題的不同決策方案，D表示決策變量的個(gè)數(shù)（即問(wèn)題維度），本文維度設(shè)定為100、1 000和5 000。

F(x)表示優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)，xi∈[xmin,xmax]表示邊界約束，xmax、xmin分別表示問(wèn)題上下邊界。

3 花朵授粉算法

FPA 是模仿顯花植物授粉過(guò)程而設(shè)計(jì)的隨機(jī)全局優(yōu)化算法。因花朵授粉對(duì)象的不同存在自花和異花兩種授粉方式。異花授粉是指相對(duì)較遠(yuǎn)距離的不同株植物之間的授粉，該方式一般需要傳粉者，傳粉者的行為具有萊維飛行的特征，F(xiàn)PA 的全局授粉（尋優(yōu)）階段模擬了此授粉過(guò)程。自花授粉是指在較近的距離內(nèi)，相鄰花朵依靠非生物手段實(shí)現(xiàn)成熟花粉粒成功傳遞并能正常受精結(jié)實(shí)的過(guò)程，F(xiàn)PA將這種授粉方式稱(chēng)為局部授粉（尋優(yōu)）。

一株植物能開(kāi)好多花，每個(gè)花朵有百萬(wàn)甚至上億的花粉配子。為簡(jiǎn)單模擬授粉過(guò)程，假設(shè)每株植物僅有一朵花，每朵花獨(dú)有一個(gè)花粉配子。那么，一朵花或一個(gè)花粉配子的位置序列剛好是優(yōu)化問(wèn)題的一個(gè)解。算法假設(shè)條件如下：

（1）生物異花授粉被看作全局授粉過(guò)程，該規(guī)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

其中，λ=3/2，Γ(λ)是標(biāo)準(zhǔn)的伽馬函數(shù)。

（2）非生物自花授粉即花朵的局部授粉，該演化機(jī)制的數(shù)學(xué)公式為：

其中，ε是均勻分布在[0,1]間的隨機(jī)數(shù)；代表同類(lèi)植物的不同花朵的花粉，即種群的兩個(gè)隨機(jī)解。

（3）花的繁衍概率與花朵間的類(lèi)似程度存在比例關(guān)系。

（4）由p∈[0,1]來(lái)動(dòng)態(tài)控制局部和全局授粉的轉(zhuǎn)換。物理上的接近和風(fēng)等自然因素的作用使得相鄰花朵更容易授粉成功，故局部授粉在整個(gè)授粉活動(dòng)中占比較大，文獻(xiàn)[23]中已通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)證明p值取0.2最為合適。

下面的偽代碼描述了FPA的基本步驟：

4 改進(jìn)的花朵授粉算法

4.1 基于反向?qū)W習(xí)的種群初始化

反向?qū)W習(xí)（opposition-based learning，OBL）策略[24]自2005 年出現(xiàn)以來(lái)，就經(jīng)常作為智能優(yōu)化算法的改進(jìn)策略出現(xiàn)[25-27]，并衍生出透鏡成像反向?qū)W習(xí)策略[28]、正交反向?qū)W習(xí)[29]等。

反向?qū)W習(xí)策略基于對(duì)立點(diǎn)的定義：

定義1（對(duì)立點(diǎn)（opposite point））[26]假設(shè)在[Lb,Ub]上存在數(shù)x，則x的對(duì)立點(diǎn)為x′=Lb+Ub-x。那么，若p=(x1,x2,…,xd)為d維空間中的一個(gè)點(diǎn)，其中xi∈[Lbi,Ubi],i=1,2,…,d，則其對(duì)立點(diǎn)為p′=(x′1,x′2,…,x′d)，其中x′i=Lbi+Ubi-xi。

為說(shuō)明反向?qū)W習(xí)初始化對(duì)種群多樣性和種群質(zhì)量的影響，圖1（a）和圖1（b）分別給出了IFPA 求解Sphere 函數(shù)時(shí)反向?qū)W習(xí)前后種群個(gè)體分布情況。其中，綠色圓圈代表花粉位置，紅色圓點(diǎn)代表全局最優(yōu)點(diǎn)。問(wèn)題維度為3維，變量搜索空間為[-100,100]，種群數(shù)為5。

Fig.1 Initial distribution of pollen圖1 花粉初始化分布圖

圖1清楚地顯示，反向?qū)W習(xí)使花粉個(gè)體探索了更多的位置，增加了種群多樣性，反向?qū)W習(xí)后有更多的花粉接近全局最優(yōu)點(diǎn)，提高了初始種群質(zhì)量，為算法奠定了更好的迭代基礎(chǔ)。

4.2 逐維隨機(jī)擾動(dòng)的局部開(kāi)發(fā)

FPA 在全局搜索中采用Lévy 飛行機(jī)制，它的較大跳躍和隨機(jī)步長(zhǎng)的不均勻性一定程度上能規(guī)避配子陷入局部最優(yōu)點(diǎn)，使其全局探索能力優(yōu)異[30]。圖2展示了50步Lévy飛行的情況。

Fig.2 A series of 50 consecutive steps of Lévy flight圖2 50步Lévy飛行

但局部開(kāi)發(fā)能力相對(duì)不足，原因有以下兩點(diǎn)：

（1）配子更新不受任何因素引導(dǎo)，過(guò)于隨機(jī)，雖能增強(qiáng)配子的多樣性，但難以滿(mǎn)足精準(zhǔn)開(kāi)發(fā)的要求，也抑制了優(yōu)化過(guò)程的收斂速度。為提高算法的求解精度，將帶有隨機(jī)性信息的與帶有確定性信息的當(dāng)前最優(yōu)位置g*處理求得的差分向量代替原擾動(dòng)中的，發(fā)揮當(dāng)代最優(yōu)位置的牽引作用，避免較大的隨機(jī)性所帶來(lái)的低搜索效率和較低收斂速度等問(wèn)題[31]。

理論上，為達(dá)到相同的求解效果，搜索空間越大、種群規(guī)模越多，種群更新的代價(jià)越大，因此能較好地求解低維問(wèn)題的智能算法在高維問(wèn)題求解中表現(xiàn)一般。而這種改進(jìn)僅需要3～5 個(gè)種群個(gè)體就可以達(dá)到滿(mǎn)意的優(yōu)化效果，這是因?yàn)樵诜N群數(shù)量較少的情況下，改進(jìn)擾動(dòng)中的差分算子能夠更容易地牽引整個(gè)種群朝當(dāng)前最優(yōu)位置靠近，有效解決了算法求解大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題迭代代價(jià)大的問(wèn)題，而且能夠使算法在迭代后期局部開(kāi)發(fā)更加精準(zhǔn)。

（2）局部更新過(guò)程過(guò)于平緩，缺乏跳動(dòng)，易陷入局部最優(yōu)，這主要?dú)w因于該算法的更新機(jī)制。算法靠轉(zhuǎn)換概率p實(shí)現(xiàn)異花授粉和自花授粉的動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)換，簡(jiǎn)單易懂，易于執(zhí)行，也能通過(guò)合理設(shè)置p值大概率地進(jìn)行局部搜索，更加貼合現(xiàn)實(shí)。但是p值越小，進(jìn)行全局搜索的概率越小，即使某次迭代選擇全局搜索，也不能保證恰好發(fā)生遠(yuǎn)距離Lévy跳躍，配子初期可能逗留初始化位置附近，這種情況嚴(yán)重影響算法尋優(yōu)精度和收斂速度。而且多維優(yōu)化問(wèn)題尤其是大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題維數(shù)之間的干擾也很大程度上影響著算法性能和解的質(zhì)量。

原花朵授粉算法采用整體更新和評(píng)價(jià)策略求解，不能規(guī)避維間干擾現(xiàn)象[20]。Wang 等人為解決此問(wèn)題提出逐維更新評(píng)價(jià)策略[20]，但是該更新方式時(shí)間代價(jià)大，雖然對(duì)有些函數(shù)求解的精度較高，但魯棒性并不好。本文為打破維間干擾問(wèn)題，提出局部開(kāi)發(fā)的逐維隨機(jī)擾動(dòng)策略，借鑒螢火蟲(chóng)算法[32]相對(duì)熒光亮度公式，設(shè)計(jì)逐維隨機(jī)相對(duì)繼承程度m和逐維隨機(jī)相對(duì)受擾動(dòng)程度2-m，m的公式表達(dá)為：

其中，k為花粉配子的最大繼承程度，與原花朵授粉算法保持一致取值為1，表示對(duì)上代花粉位置完全繼承；2π 是花粉粒子繼承系數(shù)；|L(j)|是花粉粒子在第j維上的Lévy飛行距離。

由于每一維的Lévy 飛行距離不同，使得花粉個(gè)體的每一維不同程度地繼承上代信息，受到不同程度的擾動(dòng)，解決了維間干擾問(wèn)題，增加了種群多樣性，在當(dāng)代最優(yōu)位置的牽引作用下，最終提出的第j維的更新公式為：

該更新方式不僅解決了維間干擾問(wèn)題，而且使得算法不會(huì)錯(cuò)失Lévy 飛行的良好機(jī)制，如果較大跳躍配合全局搜索執(zhí)行，自然可以提升算法全局尋優(yōu)能力，如果較大跳躍配合局部開(kāi)發(fā)執(zhí)行，就可以使花粉個(gè)體受到更大的擾動(dòng)影響（Lévy 飛行距離越長(zhǎng)，2-m的值越大）。在迭代初期種群差異較大時(shí)，花粉個(gè)體能受到更大的擾動(dòng)影響，遍歷更大的范圍，因此不管進(jìn)行全局搜索還是局部搜索，都能保證算法初期花粉個(gè)體的跳躍能力，提高算法初期的迭代質(zhì)量和全局尋優(yōu)能力，有效解決算法易陷入局部最優(yōu)的問(wèn)題。

被更新的花粉個(gè)體如果更優(yōu)，就接受它并將它作為下代更新的基礎(chǔ)，否則就舍棄該更新解，保持之前的迭代基礎(chǔ)。局部開(kāi)發(fā)的逐維隨機(jī)擾動(dòng)策略具體如算法1所示。

綜上，IFPA優(yōu)化流程如圖3所示。

Fig.3 Flow diagram of IFPA圖3 IFPA流程圖

4.3 花粉粒子多樣性分析

為模擬改進(jìn)算法的尋優(yōu)過(guò)程，仍以Sphere 函數(shù)為例，展示花粉粒子反向?qū)W習(xí)初始化、迭代10 次、50次、100次、200次和500次后的位置分布，如圖4所示。為便于分析花粉粒子的多樣性，設(shè)置種群規(guī)模為50。

從圖4 可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，花粉個(gè)體以較快的收斂速度朝全局最優(yōu)解靠近。為分析全局最優(yōu)解附近的花粉多樣性，將50代、100代、200代和500代的局部放大圖展示為圖5所示。

Fig.4 Pollen iteration graph圖4 花粉迭代分布圖

Fig.5 Partial enlarged detail圖5 局部放大圖

從圖4 和圖5 可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，花粉離全局最優(yōu)解的距離越來(lái)越近，求解精度越來(lái)越高，但是花粉種群并沒(méi)有趨同，Lévy飛行的較大跳躍和隨機(jī)步長(zhǎng)的不均勻性賦予決策變量的不同擾動(dòng)，使得種群多樣性良好，花粉個(gè)體在迭代后期依然較為均勻地分布在全局最優(yōu)解附近。

5 數(shù)值實(shí)驗(yàn)與分析

5.1 測(cè)試函數(shù)與性能指標(biāo)

為全面客觀地評(píng)價(jià)IFPA求解大規(guī)模復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題的性能，選取15 個(gè)不同類(lèi)型的測(cè)試函數(shù)[5,33]在3 種高維狀態(tài)下進(jìn)行測(cè)試。f1～f9為高維單峰函數(shù)，可測(cè)試算法的收斂速度和尋優(yōu)精度，其中f5有非凸病態(tài)特點(diǎn)，算法在對(duì)其優(yōu)化過(guò)程中很容易陷入局部極??；f10～f15是高維多峰函數(shù)，解空間中分布著大量局部極小點(diǎn)，尋優(yōu)過(guò)程中極易陷入局部最優(yōu)，極難找到全局最優(yōu)解，可有效測(cè)試算法跳離局部極值的能力及全局收斂性能，f10和f13是典型代表。測(cè)試函數(shù)的具體特征如表1所示。

本文設(shè)定結(jié)果精確度（accuracy，AC）和尋優(yōu)成功率（successful ratio，SR）來(lái)評(píng)價(jià)算法性能。AC反映算法迭代結(jié)果和測(cè)試函數(shù)理論最優(yōu)值的接近程度。若一個(gè)測(cè)試函數(shù)的理論最優(yōu)值是Xopt，迭代結(jié)果為Sbest，則精確度為AC=|f(Sbest)-f(Xopt)|，本文設(shè)定AC<0.000 1即稱(chēng)此次運(yùn)行尋優(yōu)成功，收斂到全局最優(yōu)解；SR 即多次實(shí)驗(yàn)中算法收斂到問(wèn)題全局最優(yōu)解的比例，若總實(shí)驗(yàn)次數(shù)為z，全局最優(yōu)解被收斂到的實(shí)驗(yàn)次數(shù)為z′，SR=z′/z×100%。

Table 1 Benchmark functions表1 基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)

5.2 實(shí)驗(yàn)環(huán)境及參數(shù)設(shè)置

為客觀評(píng)價(jià)IFPA 處理大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題的性能，將其與經(jīng)典的PSO、BA 和FPA 進(jìn)行對(duì)比。在每次運(yùn)行中，將迭代1 000次作為這些算法的終止準(zhǔn)則。為防止偶然性誤差，產(chǎn)生有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的結(jié)果，對(duì)每個(gè)函數(shù)獨(dú)立運(yùn)行30 次，所有實(shí)驗(yàn)都在相同的條件下進(jìn)行，并記錄結(jié)果中的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。種群數(shù)統(tǒng)一設(shè)為5，其他參數(shù)設(shè)置如表2所示。

基于上述參數(shù)設(shè)置，分3 種維度100、1 000 和5 000 進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)筆記本操作系統(tǒng)為Win-dows10，主頻1.6 GHz，CPU 為Intel Core i5-8520，內(nèi)存8 GB，使用Matlab R2014a實(shí)現(xiàn)編程。

Table 2 Parameter settings of each algorithm表2 各算法參數(shù)設(shè)置

5.3 尋優(yōu)精度分析

15個(gè)測(cè)試函數(shù)100、1 000和5 000維的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3 所示，4 種算法中的最好結(jié)果加粗表示。從表3中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果可知，除f14外，本文提出的IFPA在各個(gè)維度下的求解精度均優(yōu)于其他3種算法，尋優(yōu)精度大幅提高，以極高的尋優(yōu)成功率收斂到了f1～f4、f6、f8、f10～f13這10 個(gè)函數(shù)的全局最優(yōu)解，并能收斂到f3、f10和f13的理論最優(yōu)值，而3種對(duì)比算法對(duì)15個(gè)函數(shù)的尋優(yōu)成功率全為0。

Table 3 Simulation results of different functions表3 不同函數(shù)的仿真結(jié)果

續(xù)表

IFPA 在3 種高維狀態(tài)下次次都能收斂到f3、f10和f13的理論最優(yōu)值。IFPA 對(duì)函數(shù)f1、f2、f4、f6、f8、f11、f12的尋優(yōu)精度比對(duì)比算法中的最好結(jié)果提高了17～69個(gè)數(shù)量級(jí)。

3 種對(duì)比算法對(duì)f6的求解精度隨維度升高變化極大，特別是PSO 和BA，在1 000 和5 000 維時(shí)無(wú)法對(duì)解空間進(jìn)行任何有效搜索的概率高達(dá)93.4%～100%，魯棒性很差，而IFPA 的收斂精度依然能達(dá)到10-24以上并且變化極小。

IFPA 對(duì)f7、f9和f15的求解結(jié)果已較接近理論最優(yōu)值。IFPA對(duì)f7、f9的求解精度至少比對(duì)比算法提高了6、4個(gè)數(shù)量級(jí)。IFPA對(duì)f5的求解精度比對(duì)比算法提高了4～8 個(gè)數(shù)量級(jí)，對(duì)f14的求解精度也提高了0～16個(gè)數(shù)量級(jí)。

IFPA不但尋優(yōu)精度高，魯棒性也強(qiáng)。除f14的標(biāo)準(zhǔn)差隨維度升高變化稍大以外，另14 個(gè)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差極小且基本不隨維度改變，求解結(jié)果穩(wěn)定，證明了IFPA 的求解性能基本不受維度和函數(shù)類(lèi)型的影響，與其他3 種算法相比優(yōu)勢(shì)突出，成功克服了“維數(shù)災(zāi)難”問(wèn)題，適合處理大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題。

5.4 收斂曲線分析

算法跳出局部極值的能力和收斂速度都可通過(guò)適應(yīng)度收斂曲線直觀顯現(xiàn)。圖6 給出了4 種算法1 000 維下優(yōu)化8 個(gè)測(cè)試函數(shù)的適應(yīng)度收斂曲線，所有收斂曲線都是對(duì)應(yīng)算法30 次獨(dú)立運(yùn)行的平均值。除f2、f11、f12和f13外，其他函數(shù)的目標(biāo)函數(shù)值取以10為底的對(duì)數(shù)。

圖6 的收斂曲線清楚地顯示，較3 種對(duì)比算法，IFPA收斂速度更快，尋優(yōu)精度更高，跳出局部極值的能力更強(qiáng)。從圖6（c）、圖6（e）和圖6（h）中可以看出，IFPA 可分別在100、400 和300 代左右收斂到f3、f10和f13的理論最優(yōu)值。IFPA對(duì)f6的優(yōu)化效果極好，無(wú)法看到圖6（d）中BA和PSO的收斂曲線，是因?yàn)檫@兩種算法對(duì)f6搜索不到任何有效解，而IFPA對(duì)此函數(shù)求解精度依然很高。從圖6（b）、圖6（f）～圖6（h）可以看出，4種算法均有陷入局部最優(yōu)的情況，其中BA在迭代初期就易陷入局部最優(yōu)，PSO和FPA幾次陷入局部最優(yōu)，而IFPA的收斂曲線較為光滑，陷入局部最優(yōu)的次數(shù)偏少，收斂速度也明顯快于其他算法。

Fig.6 Convergence curve of 4 algorithms for different functions in 1000 dimensions圖6 1 000維下求解不同函數(shù)的4種算法的收斂曲線

高維狀態(tài)下，4 種算法中FPA 收斂速度較快，但求解精度偏差；PSO算法的收斂精度雖然是3個(gè)對(duì)比函數(shù)中最好的，但其收斂速度卻是4 個(gè)算法中最慢的，且容易陷入局部最優(yōu)；IFPA 的全局優(yōu)化能力很強(qiáng)，不但收斂速度快，尋優(yōu)精度高，而且不易陷入局部最優(yōu)；BA表現(xiàn)最差。以f12的收斂曲線為例，IFPA迭代50 代左右求解精度已非常高，F(xiàn)PA 雖然前期收斂較快，但1 000次迭代后尋優(yōu)結(jié)果僅在1 300左右，離函數(shù)的理論最優(yōu)解相差很遠(yuǎn)，雖然PSO 的最終求解結(jié)果比FPA 更優(yōu)，但其收斂速度很慢，并且在70、130、200 代左右?guī)状蜗萑刖植孔顑?yōu)，BA 不管在求解精度上還是收斂速度上都是最差的。

5.5 兩種改進(jìn)策略的有效性分析

為了分析兩種改進(jìn)策略對(duì)算法性能的影響，從表1 中選取了7 個(gè)能代表尋優(yōu)精度不同提高程度的測(cè)試函數(shù)在100 維下進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，將IFPA 與僅采用反向?qū)W習(xí)策略的FPA算法（記為OFPA）、僅采用逐維隨機(jī)擾動(dòng)的局部開(kāi)發(fā)策略的FPA 算法（記為DFPA）和FPA 進(jìn)行比較，算法的參數(shù)設(shè)置與5.2 節(jié)相同。表4給出了4種算法的測(cè)試結(jié)果比較，最好結(jié)果加粗表示，其中T是30 次獨(dú)立運(yùn)行的總時(shí)間（單位：s），B、M、W、S分別表示最優(yōu)值、優(yōu)化均值、最差值和標(biāo)準(zhǔn)差。

Table 4 Comparison of test results of 4 algorithms(D=100)表4 4種算法的測(cè)試結(jié)果比較（D=100 維）

由表4 的比較結(jié)果可知，OFPA 提高了算法的求解精度和魯棒性，較FPA的求解精度更高，且不增加求解時(shí)間。例如，OFPA 在維持運(yùn)行時(shí)間的前提下，僅通過(guò)反向?qū)W習(xí)初始化，對(duì)f6的求解精度就提高了4個(gè)數(shù)量級(jí)；對(duì)f9求得的最優(yōu)值的精度只比IFPA低了2 個(gè)數(shù)量級(jí)。這說(shuō)明反向?qū)W習(xí)初始化確實(shí)可以充分搜索解空間，保留更多的優(yōu)良個(gè)體，為算法奠定高質(zhì)量迭代基礎(chǔ)，而且IFPA 的求解精度普遍比DFPA 高也證實(shí)了反向?qū)W習(xí)初始化的作用。

采用逐維隨機(jī)擾動(dòng)策略設(shè)計(jì)的局部更新方式是IFPA性能改進(jìn)的有效算子，DFPA收斂到了f10和f13的理論最優(yōu)值，使f1、f6、f9、f11、f12的求解精度分別提高了58、33、5、17、31 個(gè)數(shù)量級(jí)，且求解結(jié)果穩(wěn)定，算法穩(wěn)定性強(qiáng)。DFPA 求解單峰函數(shù)的時(shí)間代價(jià)大概為FPA 的1.5～2.1 倍，求解多峰函數(shù)的時(shí)間代價(jià)為FPA 的1.3 倍左右，很好地平衡了精度提高和時(shí)間代價(jià)兩方面。

6 結(jié)束語(yǔ)

為有效處理大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題，本文用反向?qū)W習(xí)策略提高FPA 初始種群質(zhì)量，在局部開(kāi)發(fā)階段采用逐維隨機(jī)擾動(dòng)策略對(duì)花粉個(gè)體進(jìn)行優(yōu)化，打破了維間干擾，降低了大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題的求解難度，擴(kuò)大了花粉受擾動(dòng)的程度，提高了算法的全局尋優(yōu)能力，并發(fā)揮當(dāng)代最優(yōu)位置的牽引作用，減少了算法迭代代價(jià)，有效解決了FPA收斂精度低、易陷入局部極值和“維數(shù)災(zāi)難”等問(wèn)題，大大提高了算法求解大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題的性能。在100、1 000 和5 000 的高維狀態(tài)下，IFPA的求解精度、收斂速度、魯棒性、對(duì)不同類(lèi)型測(cè)試函數(shù)的適應(yīng)性等都明顯優(yōu)于FPA、PSO和BA，15個(gè)測(cè)試函數(shù)的最好結(jié)果基本全部由IFPA 求得，且求解精度基本不受維度影響。在今后的研究工作中，考慮將分組策略應(yīng)用其中，進(jìn)一步提高算法性能；細(xì)致研究參數(shù)p如何動(dòng)態(tài)變化能使算法更優(yōu)；將改進(jìn)算法應(yīng)用于實(shí)際工程問(wèn)題。