練紅海 ,鄧 鵬 ,肖伸平 ,肖會(huì)芹

(1.湖南電氣職業(yè)技術(shù)學(xué)院風(fēng)能工程學(xué)院,湖南湘潭 411101;2.湖南工業(yè)大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院,湖南株洲 412008)

1 引言

現(xiàn)代工業(yè)過程系統(tǒng)越來(lái)越趨于復(fù)雜化和大規(guī)?；?呈現(xiàn)出混沌、分岔等復(fù)雜的非線性行為,若這些行為得不到妥善處理,會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)惡化甚至崩潰,使生產(chǎn)遭到巨大損失.因此,非線性系統(tǒng)的控制問題備受關(guān)注[1–3].混沌是一種典型的非線性行為,具有無(wú)規(guī)律和不可預(yù)測(cè)的行為,這些行為往往會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的性能下降甚至不穩(wěn)定.近些年,眾多學(xué)者致力于非線性混沌系統(tǒng)的分析與控制并提出了一些有效的控制方法,例如并行分布補(bǔ)償控制[4]、時(shí)滯反饋控制[5]、滑?？刂芠6]、脈沖控制[7]等.T–S 模糊模型通過簡(jiǎn)單的IF–THEN規(guī)則結(jié)合模糊錄屬度函數(shù)能以任意精度逼近一個(gè)連續(xù)的非線性函數(shù),該模型具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,數(shù)學(xué)描述方便的特點(diǎn),因而成為描述非線性系統(tǒng)的主要方式[8].由于基于T–S模糊模型描述的非線性系統(tǒng),可利用線性系統(tǒng)的理論和方法來(lái)進(jìn)行分析與設(shè)計(jì),使得各類非線性系統(tǒng)得到了更為深入的研究,例如智能電網(wǎng)系統(tǒng)[9]、高速列車車輛懸掛系統(tǒng)[10]、網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)[11]等,因此,T–S模糊控制理論被廣泛應(yīng)用到非線性系統(tǒng)控制領(lǐng)域[12–13].

采樣控制只需利用采樣時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)信息,因?yàn)樗目刂菩盘?hào)在任意一個(gè)采樣周期內(nèi)只更新一次(只在數(shù)據(jù)采樣時(shí)刻更新),與傳統(tǒng)的連續(xù)控制相比,這極大的減少了信息的傳輸量并且提高了控制效率[14],文獻(xiàn)[15–16]研究了時(shí)變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步采樣控制問題.文獻(xiàn)[17]利用模糊采樣控制方法討論了T–S模糊系統(tǒng)的魯棒耗散問題.對(duì)于采樣控制系統(tǒng)來(lái)說(shuō),采樣周期是影響系統(tǒng)控制、!效率和性能的重要因素,因?yàn)橐粋€(gè)大的采樣周期可以放松對(duì)系統(tǒng)通信容量,帶寬的限制要求.因此,設(shè)計(jì)低保守性的魯棒鎮(zhèn)定條件實(shí)現(xiàn)控制器對(duì)系統(tǒng)的控制目標(biāo)且能容忍盡可能大的采樣周期具有重要的應(yīng)用價(jià)值和理論意義.基于這個(gè)觀點(diǎn),許多學(xué)者致力于T–S模糊混沌系統(tǒng)的模糊采樣控制[18–24].文獻(xiàn)[20–21,24]利用時(shí)間相關(guān)L–K泛函方法,建立了混沌系統(tǒng)穩(wěn)定控制器存在的充分條件并設(shè)計(jì)T–S模糊采樣控制器實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定.文獻(xiàn)[22]使用基于Wirtinger不等式的時(shí)間相關(guān)不連續(xù)Lyapunov泛函方法,提出了模糊采樣控制器的設(shè)計(jì)方案實(shí)現(xiàn)了混沌系統(tǒng)的鎮(zhèn)定.文獻(xiàn)[23]通過兩類新的Lyapunov泛函方法即采樣間隔分割的Lyapunov泛函方法和基于自由矩陣的不連續(xù)Lyapunov泛函方法,討論T–S模糊混沌系統(tǒng)的采樣鎮(zhèn)定問題.注意到文獻(xiàn)[18–23]僅僅只考慮了采樣間隔[tk,t)的系統(tǒng)特征信息,忽視了采樣間隔[t,tk+1)的系統(tǒng)特征信息.也就是說(shuō),它們并沒用充分利用實(shí)際采樣模型的特征信息.因此,文獻(xiàn)[18–23]提出的方法是趨于保守的,還有待進(jìn)一步研究.

基于此,本文利用Lyapunov理論和模糊采樣控制的方法,研究了一類T–S模糊模型的非線性系統(tǒng)的魯棒采樣控制問題.建立了確保系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的低保守性條件并給出了T–S模糊采樣狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)方法.然后,將提出的方法用于處理混沌Lorenz系統(tǒng)和倒立擺系統(tǒng)的控制問題,仿真結(jié)果展示了提出方法的有效性和優(yōu)越性.其主要貢獻(xiàn)歸納如下:1)充分考慮采樣間隔[tk,t)和[t,tk+1)的系統(tǒng)特征信息,提出了一個(gè)改進(jìn)的雙邊時(shí)間相關(guān)Lyapunov泛函,與文獻(xiàn)[18–23]相比,利用了更多的實(shí)際采樣模型的鋸齒結(jié)構(gòu)特征信息;2)基于雙邊時(shí)間相關(guān)Lyapunov泛函和自由矩陣不等式,給出了系統(tǒng)魯棒鎮(zhèn)定的充分條件,設(shè)計(jì)了T–S模糊采樣控制器并實(shí)現(xiàn)了非線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制.

整文采用如下記號(hào):0和I分別代表合適維數(shù)的零矩陣和單位矩陣;上標(biāo)“?1”和“T”代表矩陣的逆和轉(zhuǎn)置;R>0表示矩陣R是正定的;sym{N}N+NT代表矩陣N與矩陣N轉(zhuǎn)置之和;diag{·}表示對(duì)角陣;“?”代表矩陣中的對(duì)稱項(xiàng).

2 問題描述

考慮一類如下的非線性系統(tǒng):

式中:x(t)∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài);u(t)是控制輸入;f(·)是一個(gè)非線性函數(shù).利用T–S模糊模型,系統(tǒng)(1)可通過IF–THEN規(guī)則描述如下:

采用單點(diǎn)模糊化,乘積模糊推理和加權(quán)平均反模糊化,非線性系統(tǒng)的T–S模糊模型(2)可描述如下:

Vij(δj(t))為δj(t)屬于模糊集合Vij的隸屬度.

根據(jù)并行分布補(bǔ)償算法,設(shè)計(jì)局部狀態(tài)反饋控制器,其規(guī)則如下:

控制器規(guī)則i:IF δ1(t)is Vi1, δ2(t)is Vi2,···,δp(t)is Vip,THEN

其中:Ki為模糊采樣局部狀態(tài)反饋控制器的增益矩陣,控制信號(hào)u(t)由零階保持器(zero-order holder,ZOH)輸出產(chǎn)生,tk為ZOH的更新時(shí)刻,x(tk)為x(t)在更新時(shí)刻tk的離散測(cè)量值,那么,T–S模糊采樣全局狀態(tài)反饋控制器可描述為

采樣周期為兩個(gè)相鄰連續(xù)采樣時(shí)刻之間的間隔時(shí)間,假設(shè)滿足

其中:hk為某一采樣周期,不同k值其大小不同,體現(xiàn)了采樣的變周期性,h1和h2分別表示采樣周期的最小值和最大值.

將式(5)代入式(3),得到下面的閉環(huán)非線性系統(tǒng)的T–S模糊模型:

引入下面的引理,用于系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制器的設(shè)計(jì).

引理1(自由矩陣不等式[25])給定正定矩陣R>0,合適維度的自由權(quán)矩陣N和任意向量φ0,對(duì)所有在[a,b]→Rn上連續(xù)可微的函數(shù)x,則下面積分不等式成立:

3 主要結(jié)論

為了簡(jiǎn)化公式表達(dá)以及推導(dǎo)過程,定義如下標(biāo)記符:

接下來(lái),基于Lyapunov理論和線性矩陣不等式技術(shù)(linear matrix inequality,LMI),給出系統(tǒng)(7)漸近穩(wěn)定控制器存在的充分條件.

定理1若存在合適維度的對(duì)稱矩陣P >0,R1>0,R2>0,以及合適維度的矩陣Q1,Q2,X1,X2,Z,N1,N2,F,使得對(duì)hk∈[h1,h2],滿足LMI:

另外,?的定義見引理1,則T–S模糊系統(tǒng)(7)是魯棒漸近穩(wěn)定的.

證針對(duì)T–S模糊系統(tǒng)(7),構(gòu)造如下的雙邊時(shí)間相關(guān)Lyapunov泛函:

注1構(gòu)造的Lyapunov泛函V(t)滿足

其中i=2,3,···,6.由式(12)知,泛函V(t)在時(shí)間上是連續(xù)的,即滿足條件(12)的泛函也被稱之為時(shí)間相關(guān)Lyapunov泛函,它的特點(diǎn)在于:1)可有效的捕獲實(shí)際采樣模型的特征信息;2)這類Lyapunov泛函只需要在采樣時(shí)刻正定,無(wú)需在整個(gè)采樣區(qū)間內(nèi)正定,這樣可通過放松Lyapunov泛函中的矩陣變量來(lái)達(dá)到降低系統(tǒng)保守性的目的,如泛函V(t)中的矩陣變量Q1,Q2,X1,X2和Z.因此,這類Lyapunov泛函被廣泛用于處理T–S模糊系統(tǒng)的采樣控制問題[18–23].另外,受文獻(xiàn)[14]的啟發(fā),提出的泛函V(t)既與采樣間隔[tk,t)的系統(tǒng)特征信息相關(guān),也與[t,tk+1)的系統(tǒng)特征信息相關(guān),所以,將V(t)稱之為雙邊時(shí)間相關(guān)Lyapunov泛函.

注2注意到文獻(xiàn)[18–23]構(gòu)造的Lyapunov泛函中僅僅只利用了采樣間隔[tk,t)的系統(tǒng)特征信息,與之相比,泛函V(t)通過新項(xiàng)Vi(t)(i=2,3,4,5)還利用了采樣間隔[t,tk+1)的系統(tǒng)特征信息.也就是說(shuō),與文獻(xiàn)[18–23]中構(gòu)造的Lyapunov泛函相比,泛函V(t)利用了更多的系統(tǒng)特征信息,這些信息有助于降低所得條件的保守性,這在實(shí)例分析部分得以驗(yàn)證.除此之外,本文構(gòu)造的Lyapunov泛函還可以用于處理其他復(fù)雜系統(tǒng)的綜合控制問題,如T–S模糊采樣網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的跟蹤控制問題[3],T–S模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制問題等.

對(duì)t ∈[tk,tk+1),計(jì)算雙邊時(shí)間相關(guān)L–K泛函V(t)對(duì)時(shí)間t導(dǎo)數(shù)得

其中: R1diag{R1,3R1}, R2diag{R2,3R2},?的定義見引理1.

若存在實(shí)數(shù)γ1,γ2和γ3以及合適維度的矩陣F,則下式成立:

由Schur補(bǔ)引理知,LMI(9)和LMI(10)等價(jià)于Θ1<0和Θ2<0,若Θ1<0 和Θ2<0,則有˙V(t)<0.因此,若LMI(9)和LMI(10)成立,則系統(tǒng)(7)是魯棒漸近穩(wěn)定的.證畢.

注3使用Lyapunov泛函分析系統(tǒng)的綜合問題,主要通過兩方面來(lái)降低所得結(jié)論的保守性:1)選擇的Lyapunov泛函包含盡可能多的有效信息;2)在估計(jì)Lyapunov泛函導(dǎo)數(shù)時(shí)盡可能的縮小其放大程度.關(guān)于泛函V(t)的構(gòu)造在注1和注2進(jìn)行了詳細(xì)描述,相對(duì)已報(bào)道的文獻(xiàn)[18–23],V(t)包含了更多的有效信息.另外,在Lyapunov泛函導(dǎo)數(shù)的估計(jì)方面,相對(duì)于文獻(xiàn)[18–23]中使用的Jense型不等式即Jense或Wirtinger不等式來(lái)說(shuō),本文使用的自由矩陣不等式可提供更精確的邊界.因此,所得結(jié)論比文獻(xiàn)[18–23]具有更低保守性.

注4注意到定理1中的LMI是(h1,h2)–相關(guān)的,即提出的魯棒鎮(zhèn)定條件既與采樣間隔的上界h2相關(guān),也與采樣間隔的下界h1相關(guān).文獻(xiàn)[18–23]中的條件只與采樣間隔的上界h2相關(guān),當(dāng)設(shè)h1=0,定理1也可轉(zhuǎn)換為只與采樣間隔的上界h2相關(guān)的條件.與文獻(xiàn)[18–23]相比,定理1更具一般性.另外,當(dāng)設(shè)h1=h2時(shí),定理1也可用于處理定周期采樣的情況.

下面的定理將給出T–S模糊采樣狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)方法.

另外,Ξi(i1,2,···,16)的定義見定理1,? 的定義見引理1,則系統(tǒng)(7)魯棒鎮(zhèn)定.使系統(tǒng)(7)鎮(zhèn)定的模糊采樣狀態(tài)反饋控制器增益為

注5定理2涉及到調(diào)整參數(shù)γ1,γ2和γ3.合適的調(diào)整參數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)一個(gè)期望的T–S模糊采樣狀態(tài)反饋控制器十分重要.基于網(wǎng)格搜索算法找出最優(yōu)調(diào)整參數(shù)(詳見圖1),主要步驟如下:1)確定參數(shù)γi的取值范圍以及它的增量?γi;2)根據(jù)設(shè)定的參數(shù),求解定理中的LMI;3)輸出最優(yōu)調(diào)整參數(shù)以及該參數(shù)對(duì)應(yīng)的采樣周期和控制率.

4 實(shí)例分析

這部分提供4個(gè)例子來(lái)說(shuō)明提出方法的有效性和優(yōu)越性.

例1考慮下面的非線性混沌Lorenz系統(tǒng)[19]:

其中:x1(t)∈[?d,d], a10, b8/3, c28, d25.非線性混沌Lorenz系統(tǒng)(20)可通過具有如下矩陣參數(shù)的T–S模糊模型(7)描述:

選擇模糊隸屬度函數(shù)為

根據(jù)圖1給出的算法,設(shè)h10,確定調(diào)整參數(shù)的范圍為γi∈[0,5](i1,2,3),增量為?γi0.01.利用定理2 可得最優(yōu)調(diào)整參數(shù)為γ12.60, γ20.01, γ30.04,采樣周期的最大允許上界為h20.0444 s,與文獻(xiàn)[23]獲得的最大允許上界h20.0380 s相比,結(jié)果改善了16.8%,即提出的方法可容忍更大的采樣周期,說(shuō)明了提出方法的保守性更低且更有效.

圖1 使用定理2找出最優(yōu)調(diào)整參數(shù)的流程圖Fig.1 Flow chart to find the optimal tuning parameters by Theorem 2

當(dāng)h20.0444 s時(shí),根據(jù)式(19),求得對(duì)應(yīng)T–S模糊采樣狀態(tài)反饋控制器的增益為

圖2 當(dāng)u(t)=0時(shí)的系統(tǒng)(20)的混沌軌跡Fig.2 Chaotic trajectories of system(20)with u(t)=0

圖3 當(dāng)u(t)=0時(shí)的系統(tǒng)(20)的狀態(tài)軌跡Fig.3 State trajectories of system(20)with u(t)=0

通過使用控制器(21),可得系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡和控制輸入如圖4–5所示.由圖4–5可見,在系統(tǒng)采樣周期為hk∈(0,0.0444]的條件下,驗(yàn)證了設(shè)計(jì)的控制器(21)可有效的控制系統(tǒng)鎮(zhèn)定.表明提出方法的可行性.

另外,文獻(xiàn)[23]設(shè)計(jì)的控制器,只有在系統(tǒng)采樣周期為hk∈(0,0.0380]的條件下,才能保持系統(tǒng)穩(wěn)定.當(dāng)系統(tǒng)采樣周期為hk0.0380時(shí),則無(wú)法保持系統(tǒng)穩(wěn)定.而設(shè)計(jì)的控制器(21)在系統(tǒng)采樣周期為0.0380

對(duì)于定周期采樣情況(即h1h2),選擇調(diào)整參數(shù)為γi(i1,2,3)與變周期采樣情況一樣,使用定理2(h1h2)計(jì)算系統(tǒng)可允許的最大采樣周期上界h2列于表1.由表1知,與文獻(xiàn)[19–23]中的結(jié)果相比,提出方法獲得的采樣周期上界h2更大,這意味著可以降低信號(hào)采樣(采樣裝置)的頻率,從而可放松對(duì)通信帶寬,容量等要求來(lái)降低成本.另外,也進(jìn)一步說(shuō)明了提出方法比文獻(xiàn)[19–23]中的方法具有更低保守性.

圖4 變周期采樣的系統(tǒng)(20)的狀態(tài)軌跡Fig.4 State trajectories of system(20)under variable sampling period

圖5 變周期采樣的系統(tǒng)(20)的控制輸入Fig.5 Control input of system(20)under variable sampling

表1 當(dāng)h1 h2時(shí)最大的h2Table 1 Maximum h2 when h1 h2

表1 當(dāng)h1 h2時(shí)最大的h2Table 1 Maximum h2 when h1 h2

當(dāng)h1h20.0468時(shí),對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)T–S模糊采樣狀態(tài)反饋控制器的增益為

基于T–S模糊采樣控制器(22),可得系統(tǒng)(20)的狀態(tài)軌跡和控制器輸入如圖6–7所示.由圖6–7知,在系統(tǒng)采樣周期為hk0.0468的條件下,設(shè)計(jì)的控制器(22)可有效控制Lorenz系統(tǒng)鎮(zhèn)定,說(shuō)明了提出方法的可行性.

圖6 定周期采樣的系統(tǒng)(20)的狀態(tài)軌跡Fig.6 State trajectories of system(20)under constant sampling period

圖7 定周期采樣的系統(tǒng)(20)的控制輸入Fig.7 Control input of system(20)under constant sampling

例2考慮如下具有多輸入的非線性混沌Lorenz系統(tǒng)[24]:

其中x1(t)∈[?d,d].非線性混沌Lorenz 系統(tǒng)(23)可通過T–S模糊模型(7)進(jìn)行描述,矩陣參數(shù)滿足

矩陣A1,A2以及模糊隸屬度函數(shù)的定義與例1一樣.

通過例2進(jìn)一步說(shuō)明提出方法的有效性和優(yōu)越性.首先,根據(jù)圖1給出的算法,設(shè)h10,調(diào)整參數(shù)的取值范圍為γi∈[0,5](i1,2,3),增量為?γi0.01.通過定理2,可得調(diào)整參數(shù)γ12.6,γ20.01, γ30.04,采樣周期的最大允許上界為h20.0569,對(duì)應(yīng)T–S模糊采樣狀態(tài)反饋控制器的增益如下:

通過不同方法獲得的系統(tǒng)采樣周期的最大允許上界h2見表2.由表2可見,使用定理2所得的結(jié)果與文獻(xiàn)[20–21,24]所得的結(jié)果相比,有了很大改善,即分別改善了3456.2%,2486.3%,124.9%.表明了定理2相比于文獻(xiàn)[20–21,24]中的方法具有很大優(yōu)越性,同時(shí)也說(shuō)明了定理2的保守性更低.

表2 當(dāng)h1 0時(shí)最大的h2Table 2 Maximum h2 when h1 0

表2 當(dāng)h1 0時(shí)最大的h2Table 2 Maximum h2 when h1 0

圖8 系統(tǒng)(23)的狀態(tài)軌跡Fig.8 State trajectories of system(23)

圖9 系統(tǒng)(23)的控制輸入Fig.9 Control input of system(23)

例3考慮具有如下矩陣參數(shù)的T–S模糊混沌Lorenz系統(tǒng)[23]:

根據(jù)圖1給出的算法,設(shè)h10,,調(diào)整參數(shù)的取值范圍為γi∈[0,5](i1,2,3),增量為?γi0.01.使用定理2 可得最優(yōu)調(diào)整參數(shù)為γ14.45, γ21.05, γ30.25,采樣周期的最大允許上界為h20.0643,狀態(tài)反饋控制器的增益如下:

利用文獻(xiàn)[23]中所提方法得到采樣周期的最大允許上界為h20.0563,與之相比,本文所得結(jié)果改善了14.2%.說(shuō)明本文方法更加有效.

圖10 系統(tǒng)(26)的狀態(tài)軌跡Fig.10 State trajectories of system(26)

圖11 系統(tǒng)(26)的控制輸入Fig.11 Control input of system(26)

例4提供一個(gè)應(yīng)用實(shí)例–倒立擺系統(tǒng),進(jìn)一步說(shuō)明提出方法的有效性.倒立擺系統(tǒng)的示意圖如圖8所示[26].利用牛頓定律,得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程如下(為了簡(jiǎn)化表達(dá)一些地方“(t)”被省略):

表3 倒立擺系統(tǒng)參數(shù)Table 3 The parameters of the pendulum system

圖12 倒立擺系統(tǒng)Fig.12 Inverted pendulum system

選擇狀態(tài)變量x1y, x2θ,可得狀態(tài)空間方程

利用歐拉一階近似,倒立擺系統(tǒng)可轉(zhuǎn)換為下面的T–S模糊模型:

根據(jù)圖1給出的算法,設(shè)h10,確定調(diào)整參數(shù)的范圍為γi∈[0,5](i1,2,3),以及增量為?γi0.01.使用定理2可得最優(yōu)調(diào)整參數(shù)為γ10.01, γ20.01, γ30.55,采樣周期的最大允許上界為h20.3048 s,相應(yīng)的T–S模糊采樣狀態(tài)反饋控制器的增益為

圖13 倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡Fig.13 State trajectories of the inverted pendulum system

圖14 倒立擺系統(tǒng)的控制輸入Fig.14 Control input of the inverted pendulum system

5 結(jié)論

針對(duì)T–S模糊混沌系統(tǒng),利用模糊采樣控制方法研究了該系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問題.首先,基于提出的雙邊時(shí)間相關(guān)L–K泛函和自由矩陣不等式,建立了系統(tǒng)穩(wěn)定控制器存在的充分條件,該條件克服了已有方法的保守性且結(jié)論更具一般性.然后,基于這個(gè)條件,給出了T–S模糊采樣狀態(tài)反饋的設(shè)計(jì)方法.最后,通過4個(gè)實(shí)例仿真驗(yàn)證了提出方法的有效性和優(yōu)越性.