李豪杰,何漢林,查 苗

(海軍工程大學(xué)基礎(chǔ)部,湖北武漢 430032)

1 引言

執(zhí)行器飽和又稱輸入飽和,存在于幾乎所有的現(xiàn)實(shí)控制系統(tǒng)中,對(duì)于時(shí)滯非線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)也是如此.因此,研究飽和時(shí)滯非線性系統(tǒng)的抗飽和設(shè)計(jì)是非常有意義的[1].解決這個(gè)問(wèn)題有3個(gè)難點(diǎn):一是非線性系統(tǒng);二是時(shí)滯;三是輸入飽和.前人對(duì)于這3個(gè)問(wèn)題的單獨(dú)研究不少,但3個(gè)問(wèn)題的綜合研究并不多.文獻(xiàn)[2]綜述了近年來(lái)抗飽和的研究概況.總體上看抗飽和設(shè)計(jì)方法可分為一步法與兩步法,補(bǔ)償器的選擇可分為靜態(tài)補(bǔ)償[3]與動(dòng)態(tài)補(bǔ)償[4],從反饋的角度可分為狀態(tài)反饋[5]與輸出反饋[6].對(duì)于具有輸入飽和的時(shí)滯開關(guān)線性系統(tǒng),文獻(xiàn)[7]利用動(dòng)態(tài)補(bǔ)償方法給出了閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件.針對(duì)一類具有輸入飽和的時(shí)滯控制系統(tǒng),文獻(xiàn)[8]以無(wú)輸入飽和與有輸入飽和的系統(tǒng)狀態(tài)之差作為性能指標(biāo),推導(dǎo)出一種使其最小化的動(dòng)態(tài)補(bǔ)償抗飽和控制器.針對(duì)具有輸入飽和的時(shí)不變仿射非線性系統(tǒng),文獻(xiàn)[9]利用T–S模型、輸出反饋、并行分布補(bǔ)償及矩陣?yán)碚?得到了閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI)判據(jù).

現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)中的時(shí)滯現(xiàn)象是多樣的,主要體現(xiàn)在時(shí)滯函數(shù)的約束條件上,不同的約束條件代表著不同的時(shí)滯問(wèn)題[10–12].文獻(xiàn)[13]針對(duì)一類時(shí)滯變化率有界的飽和時(shí)滯非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)了靜態(tài)抗飽和補(bǔ)償器,利用Lyapunov泛函重新構(gòu)造了利布希茨連續(xù)性條件,得到了全局及局部穩(wěn)定條件.針對(duì)具有飽和的分布正常數(shù)時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),文獻(xiàn)[14]利用經(jīng)典的兩步法提出了一種代數(shù)抗飽和補(bǔ)償設(shè)計(jì).所謂兩步法[15]是指:第一步,在不考慮系統(tǒng)輸入飽和的前提下,設(shè)計(jì)好反饋增益矩陣;第二步,當(dāng)系統(tǒng)存在輸入飽和時(shí),引入抗飽和補(bǔ)償項(xiàng)并求解補(bǔ)償增益矩陣.本文使用的一步抗飽和法,能夠一步求解出反饋增益陣和補(bǔ)償增益陣,較之兩步法,一步抗飽和能夠得到更為全局優(yōu)化的吸引域估計(jì).

本文研究了一類時(shí)滯變化率上確界小于1的飽和時(shí)滯非線性系統(tǒng),當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)滿足一定條件時(shí)[16],飽和時(shí)滯非線性系統(tǒng)可利用T–S模糊模型(T–S模型)精確重構(gòu)為若干個(gè)線性子系統(tǒng)的加權(quán)和,針對(duì)每個(gè)線性子系統(tǒng)利用動(dòng)態(tài)輸出反饋引入并行分布補(bǔ)償系統(tǒng),綜合得到閉環(huán)控制系統(tǒng).選擇一類含有時(shí)滯函數(shù)的特殊Lyapunov泛函,利用Schur補(bǔ)引理[17]及矩陣不等式理論[18],得到系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)輸出反饋一步抗飽和控制,利用一個(gè)矩陣不等式的等價(jià)引理,得到利用間接LMI一步抗飽和補(bǔ)償算法,一步求出反饋增益矩陣與補(bǔ)償增益矩陣.仿真實(shí)例效果良好.

2 系統(tǒng)描述

考慮如下具有輸入飽和的時(shí)滯非線性系統(tǒng):

式中: x(t)∈Rn,u(t)∈Rm和y(t)∈Rp分別為系統(tǒng)的狀態(tài)向量、輸入向量和輸出向量,f(x)∈Rn×n,fd(x)∈Rn×n,g(x)∈Rn×m,h(x)∈Rp×n為連續(xù)函數(shù)矩陣.飽和函數(shù)

式中u0i>0(i1,2,···,m)為控制輸入的飽和約束.時(shí)變時(shí)滯τ(t)滿足

式中ε是標(biāo)量,利用T–S模型對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行重構(gòu).

規(guī)則Ri:如果z1(t)為Fi1,z2(t)為Fi2,···,zs(t)為Fis,則

式中:Fij(i1,2,···,q,j1,2,···,s)為規(guī)則Ri的第j個(gè)模糊集,zj(t)為前件變量,q為規(guī)則數(shù),時(shí)不變矩陣Ai∈Rn×n, Adi∈Rn×n, Bi∈Rn×m, Ci∈Rp×n分別為第i個(gè)線性子系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣、時(shí)滯矩陣、輸入矩陣以及輸出矩陣.

則系統(tǒng)(1)可被重構(gòu)為

式中:Lb為n維行向量,db>0為常數(shù).考慮隸屬度函數(shù)集合

式中:Fij(zj(t))表示前件變量zj(t)在模糊集Fij中的隸屬度,容易證明,如果x(t)∈?(x),則存在μ(t)∈Ξ使得系統(tǒng)(1)可以用系統(tǒng)(3)精確重構(gòu).

引入nc維并行分布補(bǔ)償系統(tǒng)

式中:xc(t)∈為并行分布補(bǔ)償系統(tǒng)的狀態(tài)變量,ψ(u)u ?sat(u)為死區(qū)函數(shù),Aci,Bci,Cci,Dci為反饋增益矩陣,Eci為抗飽和增益矩陣.綜合式(3)、式(6)可得閉環(huán)系統(tǒng):

問(wèn)題1求出使得閉環(huán)系統(tǒng)(7)局部漸近穩(wěn)定的矩陣Aci,Bci,Cci,Dci,Eci, i1,2,···,nc,并給出閉環(huán)系統(tǒng)(7)的吸引域估計(jì)及其優(yōu)化模型.

為了便于問(wèn)題求解,給出如下假設(shè):

假設(shè)1矩陣對(duì)(Ai,Bi)可控,矩陣對(duì)(Ai,Ci)可觀,i1,2,···,q.

3 主要結(jié)果

3.1 控制器設(shè)計(jì)

設(shè)K(a)代表矩陣K 的第a 行構(gòu)成的行向量,KT(a)(K(a))T,符號(hào)?為對(duì)稱矩陣左下角對(duì)稱塊的縮寫,為復(fù)數(shù)v的共軛,簡(jiǎn)記ξ(t)為ξ,設(shè)矩陣Gij與Kij同型,Kij?Gij,定義多面體集

為了便于定理證明,首先給出兩個(gè)引理.

引理1若ξ ∈Σ,則

引理2對(duì)任意合適維矩陣X,Y(Y >0),Z,有[18]

設(shè)對(duì)稱正定矩陣P,Q,矩陣Nij可寫成分塊形式:

定理1若存在兩個(gè)對(duì)稱正定矩陣P,Q,定義如上,對(duì)角正定矩陣T1及合適維矩陣Aci,Bci,Cci,Dci,Eci,Nij,使得

設(shè)T1T?1,利用合同變換的性質(zhì),對(duì)式(11)分別左乘、右乘diag(P,T)得Ψijk<0,i,j,k1,2,···,q,當(dāng)ξ所以閉環(huán)系統(tǒng)(7)在區(qū)域0時(shí),所以閉環(huán)系統(tǒng)(7)在區(qū)域Λ內(nèi)漸近穩(wěn)定.證畢.

3.2 間接LMI一步抗飽和補(bǔ)償算法

為了便于結(jié)論推導(dǎo),首先給出如下引理.

引理3已知對(duì)稱矩陣Γ ∈Rn×n和兩個(gè)矩陣X ∈Ri×n, Y ∈Rj×n,則存在一個(gè)合適維矩陣Θ使得

當(dāng)且僅當(dāng)

式中NX和NY分別為由零空間ker(X)和ker(Y)的任意一組基向量作為列向量構(gòu)成的矩陣[19].

引理4矩陣P,Q定義如上,若P11和Q11正定,P12列滿秩,且

則P,Q正定.

那么a11<0與b11<0不能同時(shí)成立,所以式(14)無(wú)解.同理可證,如果存在(Ai,Ci)不可觀,那么式(15)也無(wú)解.

3.3 吸引域估計(jì)及其優(yōu)化模型

由定理1知閉環(huán)系統(tǒng)(7)的一個(gè)吸引域估計(jì)為Λ,由于筆者真正感興趣的是原系統(tǒng)(1)的吸引域,因此,僅考慮區(qū)域Λ與x(t)向量空間的交空間{x|xTP11x1},以矩陣P11的最大特征值λmax的最小化為優(yōu)化目標(biāo),考慮如下優(yōu)化模型:

間接LMI一步抗飽和補(bǔ)償算法中的步驟2做出如下改變就能得到優(yōu)化算法.

步驟2求解式(19)得到矩陣P11,Mj,Rij,λ, i,j1,2,···,q.

4 數(shù)值仿真

結(jié)合求解結(jié)果,可得閉環(huán)系統(tǒng)(7)的狀態(tài)圖如圖1所示,閉環(huán)系統(tǒng)優(yōu)化前后的吸引域如圖2所示.

圖1 閉環(huán)系統(tǒng)(7)的狀態(tài)圖Fig.1 The states diagram of closed-loop system(7)

圖2 閉環(huán)系統(tǒng)(7)的吸引域?qū)Ρ葓DFig.2 The comparison chart of attraction domain in closed-loop system(7)

由圖1可知,4 s后,系統(tǒng)狀態(tài)趨于0,達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài),間接LMI一步抗飽和補(bǔ)償算法起到了明顯的控制效果.由圖2可知,優(yōu)化模型(19)起到了較為顯著的優(yōu)化作用.

5 結(jié)論

本文研究了一類時(shí)滯變化率上確界小于1的飽和時(shí)滯非線性系統(tǒng)的抗飽和設(shè)計(jì).首先利用T–S模型對(duì)時(shí)滯非線性系統(tǒng)精確重構(gòu),再利用動(dòng)態(tài)輸出反饋引入并行分布補(bǔ)償系統(tǒng),綜合得到閉環(huán)控制系統(tǒng).然后,利用Lyapunov穩(wěn)定性理論、扇形區(qū)間不等式、Schur補(bǔ)引理、矩陣不等式的等價(jià)引理以及矩陣合同變換等理論,得到間接LMI一步抗飽和補(bǔ)償算法及吸引域優(yōu)化模型,實(shí)現(xiàn)了一步求解反饋增益矩陣和補(bǔ)償增益矩陣的目標(biāo).最后進(jìn)行了數(shù)值仿真,仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文提出的抗飽和設(shè)計(jì)的有效性.