潘京輝 ,張維存

(1.北京科技大學(xué)自動化學(xué)院,北京 100083;2.工業(yè)過程知識自動化教育部重點實驗室,北京 100083)

1 引言

磁鏈觀測一直是感應(yīng)電動機控制中的重要部分,要想獲得較高的調(diào)速性能,就必須要對電機磁鏈進行精確的觀測[1].為了獲得更加準確的電機狀態(tài)估計以提高調(diào)速系統(tǒng)的控制性能,各國學(xué)者相繼提出了許多狀態(tài)估計方法,其中比較有代表性的有直接計算法、模型參考自適應(yīng)推算法(model reference adaptive system,MRAS)、自適應(yīng)觀測器法以及擴展卡爾曼濾波器法(extended Kalman filter,EKF)等[2–6].這3 種方法屬于模型確定觀測方法,電機參數(shù)變化對其觀測準確性影響比較大.擴展卡爾曼濾波器屬于隨機過程估計方法,可以有效的削弱系統(tǒng)噪聲和測量噪聲的對狀態(tài)變量估計的影響,對電機參數(shù)變化的干擾具有很好的魯棒性[7–8].采用擴展卡爾曼濾波器對感應(yīng)電機進行狀態(tài)估計,能同時給出電機磁鏈和轉(zhuǎn)速的估計值.

由于交流電動機是一個多變量、強耦合的非線性系統(tǒng),對其進行動態(tài)系統(tǒng)建模得到的系統(tǒng)狀態(tài)矩陣也是一個高階矩陣[9–11].系統(tǒng)的復(fù)雜性增加了觀測器設(shè)計的難度,而且在觀測器進行狀態(tài)估計時運算量也會非常大,這樣降低了觀測器的響應(yīng)速度,同時也使得調(diào)速系統(tǒng)控制性能大打折扣[12–13].為此,許多學(xué)者提出了使用降維觀測器來對系統(tǒng)狀態(tài)變量進行估計.Francesco Alonge等于1990年提出了變結(jié)構(gòu)降維磁鏈觀測器[14];翁海清等于2001年提出了基于H∞控制理論的降維觀測器[15];武明珠等于2012年提出了基于降維EKF的轉(zhuǎn)速磁鏈觀測器[16];在2007年Francesco Alonge等提出了降維磁鏈優(yōu)化觀測器[17],其后又于2014年提出了基于復(fù)數(shù)模型的擴展卡爾曼濾波器對模型進行降維,在感應(yīng)電機轉(zhuǎn)子磁鏈估計中使用復(fù)數(shù)型擴展卡爾曼濾波器,并將其狀態(tài)估計值應(yīng)用于電機矢量控制系統(tǒng),取得了比較理想的效果.

復(fù)數(shù)型擴展卡爾曼濾波器是近年來國外學(xué)者提出的比較新穎的概念,通過對控制系統(tǒng)建立復(fù)數(shù)數(shù)學(xué)模型,使系統(tǒng)狀態(tài)矩陣維數(shù)得到降低,在理論計算和硬件實現(xiàn)上會帶來很大的便捷,有效減少了數(shù)字信號處理器(digital signal processor,DSP)的運算時間;而且比起全階狀態(tài)觀測器,復(fù)數(shù)型擴展卡爾曼濾波器也能獲得準確的狀態(tài)估計,同時也具有很強的魯棒性.

本文首次將復(fù)數(shù)型擴展卡爾曼濾波器應(yīng)用于感應(yīng)電機轉(zhuǎn)速和定子磁鏈進行估計,采用復(fù)數(shù)模型進行濾波器設(shè)計有效減少DSP運算量,降低延遲,提高響應(yīng)速度,在電機啟動和加速時也能具有較高的觀測精度.這些特點改善了感應(yīng)電機無速度傳感器控制系統(tǒng)的調(diào)速性能.本文首先建立了感應(yīng)電機的復(fù)數(shù)數(shù)學(xué)模型,然后對模型進行離散化并分析了離散化后感應(yīng)電機的復(fù)數(shù)數(shù)學(xué)模型的可觀性,證明了該模型的局部可觀性.基于此,推導(dǎo)得出了感應(yīng)復(fù)數(shù)型擴展卡爾曼濾波器的表達式,并將該濾波算法應(yīng)用于感應(yīng)電機直接轉(zhuǎn)矩控制中;最后通過仿真和實驗證明了該方法的有效性和可行性.

2 感應(yīng)電機的復(fù)數(shù)數(shù)學(xué)模型[18]

在兩相靜止坐標系下,三相感應(yīng)電機的狀態(tài)方程式可表示為

式中:

isα和isβ是定子電流,usα和usβ為定子電壓,ψsα和ψsβ是定子磁鏈. Rs和Rr分別是定子電阻和轉(zhuǎn)子電阻,ωr是轉(zhuǎn)子電磁轉(zhuǎn)速,Lsd和Lrd分別是定子和轉(zhuǎn)子電感,Lmd為互感,np為電機極對數(shù),JM為電機轉(zhuǎn)動慣量,TL為負載轉(zhuǎn)矩.

當(dāng)轉(zhuǎn)速在兩個相鄰采樣時刻間變化很小時,方程組(1)中的最后一式將等于零,即轉(zhuǎn)速變化率為零,這種處理方式在卡爾曼濾波器設(shè)計的建模過程中被廣泛采用[8,13,19],它所造成的轉(zhuǎn)速估計誤差可簡單歸結(jié)到系統(tǒng)噪聲中,電機模型的精度不會受到影響.為建立感應(yīng)電機復(fù)數(shù)數(shù)學(xué)模型,定義狀態(tài)變量復(fù)數(shù)形式如下:

式中j為虛數(shù)單位.

選取定子電流作為輸出,定子電壓作為輸入,狀態(tài)方程式(1)變?yōu)槿缦滦问?

上式就是三相感應(yīng)電動機復(fù)數(shù)模型的狀態(tài)方程式.從維數(shù)上看,采用復(fù)數(shù)模型后狀態(tài)方程式由5維減少了3維,這對之后的模型可觀性分析和濾波器設(shè)計帶來了很多方便.

3 感應(yīng)電機的復(fù)數(shù)數(shù)學(xué)模型離散化及可觀性分析

3.1 感應(yīng)電機的復(fù)數(shù)數(shù)學(xué)模型離散化

為了設(shè)計卡爾曼濾波器并在DSP上實現(xiàn)濾波器功能,需要先對式(2)中的感應(yīng)電機復(fù)數(shù)模型進行離散化.取采樣周期為Ts,經(jīng)過離散化后其狀態(tài)方程式為

3.2 感應(yīng)電機的離散復(fù)數(shù)模型可觀性分析

下面將對第3.1節(jié)中得到的離散復(fù)數(shù)模型進行可觀性分析.首先令x(k+1)gk(x(k),us(k)),即

gk在x(k)處的雅克比矩陣為

則可觀性矩陣O可表示為[20]

經(jīng)過直接計算,可觀性矩陣O的行列式值為

式中:由于Ts>0,a12?jf1x3(k)0,因此式(3)中的感應(yīng)電機離散復(fù)數(shù)模型局部可觀性條件為

注意到式(3)中第2項:

整理得

顯然,x2(k)的差分與x1(k)差分沒有比例關(guān)系,因此式(4)中感應(yīng)電機離散復(fù)數(shù)模型局部可觀性條件成立,即式(3)中感應(yīng)電機離散復(fù)數(shù)模型局部可觀.

4 復(fù)數(shù)型擴展卡爾曼濾波器設(shè)計

前文已證明了感應(yīng)電機離散復(fù)數(shù)模型的局部可觀性,這里本文將在感應(yīng)電機復(fù)數(shù)模型的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)出感應(yīng)電機復(fù)數(shù)型擴展卡爾曼濾波器的表達式,以實現(xiàn)對感應(yīng)電機轉(zhuǎn)速和定子磁鏈的估計.

4.1 感應(yīng)電機離散隨機模型

為推導(dǎo)出復(fù)數(shù)型擴展卡爾曼濾波觀測器(extended complex Kalman filter,ECKF)表達式,這里先給出感應(yīng)電機離散隨機模型:

其中: gk表達式如式(4)所示,ωk,νk分別為系統(tǒng)噪聲和輸出測量噪聲,二者都是均值為零的高斯白噪聲,且互不相關(guān);分別用Q,R表示其協(xié)方差矩陣.

與普通擴展卡爾曼濾波器設(shè)計方法相同,復(fù)數(shù)型擴展卡爾曼濾波器設(shè)計分為兩個步驟:第1個步驟稱為預(yù)報階段,該步驟主要是計算狀態(tài)預(yù)報值和狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣預(yù)報值這兩個量,得出狀態(tài)先驗估計;第2個步驟稱為更新階段,在該步驟中將要計算出所構(gòu)造的擴展卡爾曼濾波器的增益,進行狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣的更新,還要對所預(yù)報的狀態(tài)值進行更新,得出狀態(tài)后驗估計.其結(jié)構(gòu)圖如圖1所示.

4.2 復(fù)數(shù)型擴展卡爾曼濾波器的表達式

本文設(shè)計的ECKF與EKF有相同的結(jié)構(gòu),但ECKF的狀態(tài)估計誤差協(xié)方差矩陣為厄米特矩陣即

式中:

圖1 擴展卡爾曼濾波器結(jié)構(gòu)圖Fig.1 The structure of extended Kalman filter

由上述推導(dǎo)過程可以看出,復(fù)數(shù)型擴展卡爾曼濾波器的表達式是一個由式(7)–(8)組成的遞歸表達式.

4.3 復(fù)數(shù)模型減少計算量的分析

本文采用復(fù)數(shù)模型進行濾波器設(shè)計,有效地減少了濾波算法的計算量,復(fù)數(shù)模型之所以能降低運算量,減少運算次數(shù)其主要原因總結(jié)為如下3點:

1)濾波器維數(shù)降低減少了運算次數(shù),采用復(fù)數(shù)模型,與EKF相比,ECKF維數(shù)從5維降低到了3維,在狀態(tài)方程求解運算的過程中有效地減少了運算次數(shù);

2)不包含矩陣求逆運算,在整個濾波算法實現(xiàn)過程中,沒有用到矩陣求逆的運算,相比EKF在求解Lk的過程中需要進行一個二階矩陣求逆的運算,ECKF算法中Lk為一個實數(shù);

3)輸出矩陣Hk中零元素減少,在EKF中輸出矩陣Hk是一個2×5的矩陣,其中有8個零元素,這在運算過程中帶來了很多不必要的計算,占用DSP資源,而在本文設(shè)計的ECKF中Hk為一個1×3的矩陣,有2個零元素,有效減少了運算量;

基于上述因素,采用復(fù)數(shù)型擴展卡爾曼濾波器使感應(yīng)電機數(shù)學(xué)模型得到了降維,減少了計算機運算次數(shù),避免了不必要的計算,使DSP的運算時間得到了降低,提高了濾波器狀態(tài)估計的快速性.

5 仿真與實驗研究

設(shè)計采用MATLAB/Simulink對提出的感應(yīng)電機復(fù)數(shù)型擴展卡爾曼濾波器進行仿真,以驗證其有效性和準確性.感應(yīng)電機主要參數(shù):額定電壓UN380 V,額定頻率fN50 Hz,額定轉(zhuǎn)速nN1440 r/min,定子電阻Rs1.405 ?,轉(zhuǎn)子電阻Rr1.395 ?,定子自感Lsd0.1780 H,轉(zhuǎn)子自感Lrd0.1780 H,互感Lmd0.1722 H,極對數(shù)np2,轉(zhuǎn)動慣量J0.511 kg·m2.

在仿真模型中,復(fù)數(shù)型卡爾曼濾波器先對感應(yīng)電機定子磁鏈和轉(zhuǎn)速進行狀態(tài)估計,再將得到的估計值反饋到直接轉(zhuǎn)矩控制系統(tǒng),形成轉(zhuǎn)速和磁鏈雙閉環(huán)控制,其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示.

圖2 感應(yīng)電機直接轉(zhuǎn)矩控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 The structure of induction motor direct torque control system

進行仿真時,先給定電機轉(zhuǎn)速為600 r/min,定子磁鏈幅值給定為1 Wb,到1 s轉(zhuǎn)速平穩(wěn)后再重新給定轉(zhuǎn)速為800 r/min,定子磁鏈幅值不變.仿真時間2 s,仿真結(jié)果如圖3–5所示.

圖3 轉(zhuǎn)速估計仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of rotor speed estimation

圖4 α軸定子磁鏈估計仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of stator flux estimation in α axis

從圖3可以看出,ECKF估計轉(zhuǎn)速能很好地跟隨實際轉(zhuǎn)速變化,即使在電機啟動和加速時也能保持良好的收斂性和準確性;當(dāng)電機達到設(shè)定轉(zhuǎn)速穩(wěn)定運行時,轉(zhuǎn)速估計誤差就會迅速收斂到零.圖4顯示,ECKF對電機定子磁鏈的估計誤差始終保持在0.04 Wb以下,滿足磁鏈精度要求.圖5表明定子磁鏈從仿真開始后迅速增大到設(shè)定值(1 Wb),同時按逆時針方向旋轉(zhuǎn),最終形成了磁鏈圓環(huán).

圖5 ECKF定子磁鏈估計(α–β軸)Fig.5 Simulation results of stator flux estimation(α–β axis)

為在MATLAB仿真中計算復(fù)數(shù)型擴展卡爾曼濾波器算法和擴展卡爾曼濾波器算法的執(zhí)行時間,在仿真用tic和toc監(jiān)控程序的運行時間,得出擴展卡爾曼濾波器算法的單次執(zhí)行時間為6μs,復(fù)數(shù)型擴展卡爾曼濾波器算法的單次執(zhí)行時間為2μs,仿真結(jié)果驗證了ECKF算法能夠有效減少計算量.

同時為了驗證的感應(yīng)電機復(fù)數(shù)型擴展卡爾曼濾波器的實際可行性,搭建了實驗平臺進行實物實驗,主要包括感應(yīng)電機及負載、主回路、PC、DSP(TMS3–20F2812)控制板,如圖6所示.

電機參數(shù)同仿真參數(shù).實物實驗時使電機在與仿真同樣的條件下運行和加速,實驗中用同樣的方法整定得到噪聲協(xié)方差矩陣R1,Qdiag{1,10?4,20}.復(fù)數(shù)型擴展卡爾曼濾波器通過DSP來實現(xiàn),其轉(zhuǎn)速和定子磁鏈估計結(jié)果直接反饋到轉(zhuǎn)速控制的直接轉(zhuǎn)矩控制(direct torque control,DTC)模塊,實驗結(jié)果如圖7–8所示.

圖6 實驗平臺及其構(gòu)成Fig.6 The experiment platform and its components

圖7 感應(yīng)電機轉(zhuǎn)速響應(yīng)(實驗結(jié)果)Fig.7 The induction motor rotor speed response (experiment result)

圖8 感應(yīng)電機定子磁鏈(實驗結(jié)果)Fig.8 The induction motor stator flux response(experiment result)

對比圖3(a)和圖7可以看出,仿真結(jié)果和實驗結(jié)果得到的轉(zhuǎn)速變化曲線趨勢一致,電機轉(zhuǎn)速能迅速增加到設(shè)定轉(zhuǎn)速,并根據(jù)設(shè)定值變化進行轉(zhuǎn)速調(diào)整.實驗結(jié)果圖7顯示,感應(yīng)電機轉(zhuǎn)速自調(diào)整到僅用了不到0.2 s的時間,驗證了DTC控制算法的有效性,同時也表明了ECKF對轉(zhuǎn)速和定子磁鏈估計的快速性和準確性,足以滿足DTC控制的實時需求.圖8顯示,在實驗過程中定子磁鏈始終收斂于單位圓上,符合定子磁鏈幅值的預(yù)先設(shè)定1 Wb.實驗結(jié)果證明了復(fù)數(shù)型擴展卡爾曼濾波器的實際可行性.同時為計算實驗中復(fù)數(shù)型擴展卡爾曼濾波器算法子程序在DSP中的執(zhí)行時間,在子程序運行開始,置一個引腳為高電平,退出子程序時為低電平,并利用示波器進行觀察得到實驗中復(fù)數(shù)型擴展卡爾曼濾波器算法執(zhí)行時間約為1.2μs,同理得到實驗中擴展卡爾曼濾波器算法執(zhí)行時間約為3μs,實驗結(jié)果說明了ECKF算法能夠明顯減少DSP的計算量,驗證了該方法的有效性.

6 結(jié)論

本文提出了一種感應(yīng)電機復(fù)數(shù)型擴展卡爾曼濾波器,首次將復(fù)數(shù)型擴展卡爾曼濾波器應(yīng)用于感應(yīng)電機轉(zhuǎn)速和定子磁鏈進行估計.經(jīng)理論推導(dǎo)及仿真和實驗驗證得出以下結(jié)論:

1)復(fù)數(shù)形式的感應(yīng)電機離散數(shù)學(xué)模型具有局部可觀性,滿足濾波器設(shè)計條件;

2)采用復(fù)數(shù)模型進行濾波器設(shè)計可以有效減少DSP運算量,降低延遲,提高響應(yīng)速度,在電機啟動和加速時也能具有較高的觀測精度.這些特點改善了感應(yīng)電機無速度傳感器控制系統(tǒng)的調(diào)速性能;

3)仿真和實驗結(jié)果表明,本文提出的感應(yīng)電機復(fù)數(shù)型擴展卡爾曼濾波器對轉(zhuǎn)速和定子磁鏈估計具有較高準確性和快速性,足以滿足DTC控制的實時需求.實物實驗驗證了感應(yīng)電機復(fù)數(shù)型擴展卡爾曼濾波器的有效性和可行性.