和東平,王 濤,任忠凱,馮 光,劉元銘

(太原理工大學機械與運載工程學院,山西太原 030024)

1 引言

銅/鋁復合板、鋼/鋁復合板等層狀雙金屬復合材料在保持基材特性的同時還具有“互補效應”,經(jīng)過適當?shù)呐浔冉M合可具有優(yōu)異的綜合性能,是國民經(jīng)濟建設中急需的一類重要新材料[1].金屬復合板軋制生產(chǎn)的傳統(tǒng)工藝是軋機的上下工作輥都分別采用平輥軋制實現(xiàn)兩種金屬的橫向與縱向延伸,但是在實際的生產(chǎn)中,由于上下兩種金屬的延伸率不一樣,很容易造成金屬大曲率翹曲,不能連續(xù)化生產(chǎn)(如圖1所示).金屬層狀復合板波紋輥軋制技術是一項變革性技術(如圖2所示),可以促進異種材料更好的實現(xiàn)冶金結(jié)合,提高結(jié)合強度,實現(xiàn)連續(xù)化生產(chǎn).通過波紋輥軋制銅鋁復合板的實驗表明:銅鋁復合板界面處的晶粒得到明顯細化;鋁側(cè)晶粒細化程度明顯高于銅側(cè);相同等效壓下率下,波紋軋后拉伸過程中界面結(jié)合良好,界面處存在韌窩[2].但是,波紋輥的輥型曲線為余弦函數(shù)曲線,在復合板的軋制過程中,軋制界面的非線性阻尼以及上下輥系之間的非線性剛度都可能導致上下輥之間主共振等參激振動的發(fā)生,造成輥縫的波動,從而影響復合板的生產(chǎn)質(zhì)量和降低零部件的在線服役時間.

圖1 平輥軋制翹曲現(xiàn)象Fig.1 Warping phenomenon of flat roll

圖2 波紋輥軋制示意圖Fig.2 Rolling diagram of corrugated roll

軋機輥系振動的現(xiàn)象在實際生產(chǎn)中普遍存在,是非線性動力學研究的重要領域之一.常常表現(xiàn)為“幽靈”式多態(tài)耦合振動,主要包含軋輥的垂直振動、水平振動、軸向竄動、帶鋼的橫向和縱向振動、主傳動系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動和軸向振動等,不僅對軋件表面的粗糙度、軋制精度產(chǎn)生不利影響,嚴重的甚至造成設備的損壞和人員的傷亡[3–6].國內(nèi)外的許多專家學者針對軋機的振動及控制方面做了大量的研究.Panjkovi V等認為負載鋼材的規(guī)格和軋輥表面長期工作形成的表面氧化都是引起輥縫摩擦系數(shù)變化的原因,進而提出軋機輥縫的摩擦環(huán)境的變化是造成軋機系統(tǒng)顫振的一個原因[7].Kapil S等考慮移動板帶振動導致的軋輥與軋件間的非線性參激特性,建立了一個單自由度的軋機非線性參激振動模型,并得到軋機振動的不穩(wěn)定區(qū)域及幅頻振動特性[8].Younes M A等將軋件等效為具有線性剛度的彈性零件,基于線性振動理論建立了軋機機座的線性垂振模型[9].Maccari A等研究了外激勵下的Van der Pol振子在狀態(tài)反饋時滯控制下如何通過適當?shù)臅r間延遲和反饋增益來對振動控制和抑振[10].閆曉強通過對熱連軋機的研究,發(fā)現(xiàn)軋機存在扭垂耦合振動、機電耦合振動和液機耦合振動現(xiàn)象,確定軋機振動的性質(zhì)為機電液多態(tài)耦合振動[11].彭榮榮等建立了動態(tài)軋制力下的四輥冷連軋機非線性振動動力學模型,運用多尺度法求解得到了系統(tǒng)的超諧波共振和亞諧波共振[12].侯東曉等考慮冷軋機軋輥在垂直方向上振動位移動態(tài)變化影響,建立了一種動態(tài)軋制力模型[13].錢長照等對含有兩個時滯參數(shù)、受簡諧激勵作用下的Vander Pol-Duffing方程進行了研究,著重分析了時滯參數(shù)對該類參數(shù)激勵的主共振的分岔響應控制[14].劉燦昌等以衰減率為振動控制參數(shù)優(yōu)化目標,以非線性振動系統(tǒng)振動穩(wěn)定條件、幅值最值、最優(yōu)時滯為約束條件,利用最優(yōu)化方法計算獲得最佳線性、非線性反饋控制參數(shù)[15].尚慧琳等利用Melnikov函數(shù)法獲得時滯速度反饋控制相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)產(chǎn)生混沌和安全域分岔的臨界激勵,在正的反饋增益系數(shù)下,時滯速度反饋能夠有效地用于控制相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的混沌運動[16].趙艷影等通過對時滯狀態(tài)反饋控制自參數(shù)動力吸振器減振系統(tǒng)的研究,發(fā)現(xiàn)在時滯的調(diào)節(jié)區(qū)間內(nèi)存在一個時滯的“最大減振點”,能夠在該反饋增益系數(shù)下最大程度地減小主系統(tǒng)的振動[17].到目前為止,國內(nèi)外對軋機振動的研究已取得了一定的成績,但是影響軋機振動的因素較多,涉及到振動理論、軋制理論、故障診斷理論等幾大領域的交叉融合.波紋輥軋機是一個多變量、強耦合、非線性、多約束、時變性的系統(tǒng),波紋輥軋機的振動問題影響著產(chǎn)品的質(zhì)量和零部件的在線使用壽命,但是,目前還沒有學者針對波紋輥軋機輥系的振動特性展開相關研究.

本文基于金屬復合板波紋輥軋制成形技術,考慮了波紋輥軋機波紋界面間的非線性阻尼和非線性剛度,建立了波紋輥軋機兩自由度垂直非線性主共振數(shù)學模型.利用奇異值理論和相平面法討論了波紋輥軋機輥系自治下的穩(wěn)定性,運用多尺度法求解了波紋輥軋機輥系在波紋界面激勵下的主共振的解析近似解和幅頻特性方程.分析了非線性剛度系數(shù)、非線性阻尼系數(shù)、系統(tǒng)阻尼系數(shù)、軋制力的幅值等參數(shù)對主共振的影響.設計了線性和非線性復合作用的時滯反饋控制器來對波紋輥系的穩(wěn)態(tài)響應進行控制,并且通過數(shù)值仿真證明了當線性增益g1>0、非線性增益g2>0時,時滯反饋控制器可以對波紋輥軋機輥系的主共振現(xiàn)象進行合理的控制,避免分岔現(xiàn)象的發(fā)生,為抑制波紋輥軋機的輥系振動和升級改造提供了一定的理論指導.

2 波紋輥軋機輥系主共振數(shù)學模型

考慮波紋輥軋制界面的非線性阻尼以及波紋輥之間的非線性剛度,波紋輥軋機輥系可以簡化為兩自由度垂直非線性參激振動模型如圖3所示.

圖3 波紋輥系參激振動數(shù)學模型Fig.3 Parametrically excited vibration mathematical model of corrugated roll

圖3中,m1代表波紋輥的等效質(zhì)量,m2代表平軋輥的等效質(zhì)量,k1是波紋輥與機架之間的剛度,k2是平軋輥與機架之間的剛度,k0表示波紋輥軋機穩(wěn)態(tài)過程中剛度的均值,F cos wt近似為軋制過程中的軋制力,c1為波紋輥與機架間的阻尼平均值,c2為平軋輥與機架間的阻尼平均值.考慮到波紋輥軋機的非線性阻尼和剛度特性,將Vanderpol振子定義為波紋輥軋機在軋制過程中由于輥型曲線的影響導致的上下工作輥之間的非線性阻尼,將Duffing振子k+k′y2定義為波紋輥系和機架間的非線性剛度項.波紋輥軋機主共振方程表示為

在波紋輥軋制復合板的過程中,上下輥系具有近似對稱性.因此令m1m2,y1?y2,則式(1)可以簡化為

將上式無量綱化,其中y的導數(shù)是對時間τ的求導,為了習慣表達,仍用t代替τ.令

則兩自由度非線性振動微分方程可以簡化為

假設ε為小參數(shù),將式(3)的非線性項冠以小參數(shù)ε,則有

3 波紋輥軋機輥系穩(wěn)定性分析

波紋輥輥系的穩(wěn)定性對復合板的生產(chǎn)質(zhì)量有著重要的影響.基于奇異值理論和相平面法,對波紋輥輥系在自治狀態(tài)下的穩(wěn)定性進行分析[18],非線性剛度系數(shù)γ約定為正.

得到波紋輥軋機自治系統(tǒng)的雅克比矩陣為

由式(5)可知,當γ >0時,自治系統(tǒng)的奇點為(0,0),帶入式(6)得到

由奇異值理論和相平面法可知[19]

1)特征值均為負實數(shù),奇點是穩(wěn)定結(jié)點;

2)特征值均為正實數(shù),奇點是不穩(wěn)定結(jié)點;

3)特征值表示正負號相異的兩個實數(shù),奇點是鞍點;

4)特征值為實部為負的復數(shù),奇點是穩(wěn)定焦點;

5)特征值為實部為正的復數(shù),奇點是不穩(wěn)定焦點;

6)特征值為共軛的純虛數(shù),奇點稱為中心點.

針對ω0和α分別取不同值的分析系統(tǒng)的運動狀態(tài),曲線軌跡如圖4–10.

圖4 ω0=1,α=6時的動態(tài)特性響應圖Fig.4 Dynamic response diagrams and phase diagrams when ω0=1,α=6

圖5 ω0=1,α=2時的動態(tài)特性響應圖Fig.5 Dynamic response diagrams and phase diagrams when ω0=1,α=2

圖6 ω0=1,α=1時的動態(tài)特性響應圖Fig.6 Dynamic response diagrams and phase diagrams when ω0=1,α=1

圖7 ω0=1,α=0時的動態(tài)特性響應圖Fig.7 Dynamic response diagrams and phase diagrams when ω0=1,α=0

圖8 ω0=1,α=?1時的動態(tài)特性響應圖Fig.8 Dynamic response diagrams and phase diagrams when ω0=1,α=?1

圖9 ω0=1,α=?2時的動態(tài)特性響應圖Fig.9 Dynamic response diagrams and phase diagrams when ω0=1,α=?2

1)當ω0>0,α>2ω0時,奇點是鞍點,由圖4中相軌跡曲線可知系統(tǒng)漸進穩(wěn)定.

2)當ω0>0,α2ω0時,奇點為穩(wěn)定結(jié)點,由圖5中相軌跡曲線可知系統(tǒng)漸進穩(wěn)定.

3)當ω0>0,0<α<2ω0時,奇點為穩(wěn)定焦點,由圖6中相軌跡曲線可知系統(tǒng)漸進穩(wěn)定. α的減小會降低波紋輥系的抗干擾性能.

4)當ω0>0,α0時,奇點為中心點,系統(tǒng)處于無阻尼運動狀態(tài),圖7中相軌跡曲線為封閉的圓.

5)當ω0>0,?2ω0<α<0時,奇點為不穩(wěn)定焦點,圖8中相軌跡曲線以震蕩方式“卷離”平衡點,并產(chǎn)生極限環(huán).

6)當ω0>0,α?2ω0時,奇點為不穩(wěn)定結(jié)點,由圖9中相軌跡曲線可知系統(tǒng)逐漸發(fā)散直至產(chǎn)生極限環(huán),并可能導致系統(tǒng)的振蕩失穩(wěn).

7)當ω0>0,α

圖10 ω0=1,α=?6時的動態(tài)特性響應圖Fig.10 Dynamic response diagrams and phase diagrams when ω0=1,α=?6

4 波紋輥軋機輥系主共振特性分析

波紋輥軋機輥系振動是一個非線性系統(tǒng),在軋制的過程中可能導致多種共振現(xiàn)象,如:內(nèi)共振、主參數(shù)共振、倍共振.下面主要對波紋輥的軋制力的激振頻率ω接近固有頻率ω0時的主參數(shù)共振進行分析[20–24].

本文采用多尺度法對波紋輥軋機的參激振動進行分析.引入表示不同尺度的時間變量Tnεnt,其中n0,1,2,···,并把它們看成獨立的自變量,而X為這些自變量的ε和t的函數(shù),即

其中m為小參數(shù)的最高階次,取決于計算的精度要求.

將不同尺度的時間變量視為獨立變量,則X(t,ε)成為m個獨立時間變量的函數(shù),對時間的微分可利用復合函數(shù)微分式按ε的冪次展開,得到

其中Dn(n0,1,2,···,m)為偏微分算子,定義

假設ζ為頻率調(diào)制參數(shù).討論波紋輥軋制力的激振頻率ω 接近波紋輥軋機固有頻率ω0時[15–16],令

將式(10)–(12)代入式(4),展開后令兩邊ε的同次冪系數(shù)相等,得到各階近似方程

設零次近似方程(14)的解為

其中?代表前一項的共軛復數(shù).

將式(16)代入式(15),得到

為了避免出現(xiàn)久期項,必須使函數(shù)B滿足

將B表示成復數(shù)形式,令

將式(19)代入式(18),分離實部與虛部,得到

化簡式(20)–(21)可得主共振一階近似解

改變波紋輥軋機的非線性剛度系數(shù)γ(0.1,0.3,0.6,0.9),非線性阻尼系數(shù)β(0.01,0.03,0.06,0.09),系統(tǒng)阻尼系數(shù)α(0.02,0.04,0.06,0.08),軋制力的幅值F(0.1,0.3,0.6,0.9),可得不同的主共振幅頻特性曲線(擾動頻率ζ與振幅k之間的關系),如圖11所示.

圖11 不同參數(shù)對主共振幅頻特性曲線的影響Fig.11 The amplitude-frequency characteristic curve of principal resonance with different parameters

如圖11(a)所示,隨著非線性剛度系數(shù)γ的增大,曲線右移而且彎曲程度增大.當擾動頻率從負值到正值變化的時候,幅值出現(xiàn)跳躍,引起系統(tǒng)的振蕩.如圖11(b)所示,隨著非線性阻尼系數(shù)β的增大,振幅減小且共振域減小.如圖11(c)所示,隨著系統(tǒng)阻尼系數(shù)α的增大,振幅減小且共振域減小.非線性阻尼系數(shù)β和系統(tǒng)阻尼系數(shù)α的變化不影響頻響曲線的彎曲程度.如圖11(d)所示,隨著軋制力的幅值F的增大,系統(tǒng)的振幅和共振區(qū)域明顯增大.因此,在波紋輥設計的過程中,應該合理優(yōu)化波紋曲線來避免和減小軋制力幅值對主共振的影響.

5 波紋輥軋機輥系主共振時滯控制

波紋輥軋機輥系是一個高度非線性滯后系統(tǒng),在復合板的軋制過程中,軋件的彈塑性變形過程是一種具有時滯特性的非線性變形過程.基于波紋界面的作用,軋制力的波動會使軋件處在加載和卸荷的交替中,處在塑性變形階段的軋件的屈服極限不斷變化、使得加載曲線和卸荷曲線不重合,從而會導致接觸界面的非線性阻尼和非線性剛度表現(xiàn)出時滯特性.

時滯反饋控制方法是研究非線性系統(tǒng)分岔控制的有效方法之一.通過設計一種線性和非線性時滯聯(lián)合作用下的反饋控制器[24]來對波紋輥軋機輥系的主共振響應進行控制,從而消除波紋輥軋機輥系的跳躍、滯后現(xiàn)象.設含有線性和非線性時滯聯(lián)合作用的反饋控制器如下:

則式(4)可以寫成如下形式:

其中: τ1和τ2為時滯參數(shù),g1為線性反饋增益,g2為非線性反饋增益.如果g1和g2為零,則系統(tǒng)為無控制系統(tǒng).

仍采用多尺度法對改進后的方程(25)進行分析.將式(10)–(12)帶入式(25),展開后令兩邊ε的同次冪系數(shù)相等,得到各階近似方程

設零次近似方程(26)的解為

其中?代表前一項的共軛復數(shù).

將式(28)代入式(27),得到

為了避免y1出現(xiàn)久期項須滿足

將B表示成復數(shù)形式,令

將式(31)代入式(30),分離實部與虛部,得到

其中:

如圖12所示,沒有反饋控制時,主共振幅頻特性曲線存在分岔現(xiàn)象.通過適當?shù)恼{(diào)節(jié)時滯量(τ1,τ2)和增益系數(shù)(g1,g2)可以達到對主共振幅值和共振區(qū)域的控制,減小主共振分岔.通過對比發(fā)現(xiàn)同時調(diào)節(jié)時滯量(τ1,τ2)和增益系數(shù)(g1,g2)的控制效果優(yōu)于單獨分別調(diào)節(jié)線性反饋增益g1和非線性反饋增益g2的控制效果.其中,非線性剛度系數(shù)γ0.1,非線性阻尼系數(shù)β0.01,系統(tǒng)阻尼系數(shù)α0.02,軋制力的幅值F0.1.

圖12 主共振時滯控制曲線Fig.12 The time delay control curve of principal resonance

如圖13(a)所示,隨著線性增益g1和非線性增益g2的逐漸增大,系統(tǒng)的振幅逐漸減小且共振域逐漸減小,消除了曲線分岔.以反饋控制增益作為控制參數(shù)時,同時增大線性和非線性反饋控制增益,可以使系統(tǒng)的主共振現(xiàn)象得到合理的控制.圖13(b)可以看出,隨著時滯參數(shù)τ1和τ2的逐漸增大,系統(tǒng)的振幅逐漸減小且共振域逐漸減小,但是調(diào)節(jié)時滯參數(shù)不影響曲線的彎曲程度.通過兩幅圖可以發(fā)現(xiàn),以反饋控制增益作為控制對象的控制效果優(yōu)于以時滯參數(shù)作為控制對象的控制效果.圖13(c)可以看出,當線性增益g1<0和非線性增益g2<0時,不能消除曲線分岔,主共振現(xiàn)象得不到合理的控制.利用線性和非線性復合作用的時滯反饋控制器對波紋輥系的主共振進行控制時,線性增益g1>0,非線性增益g2>0.

圖13 不同控制參數(shù)對主共振時滯控制曲線的影響Fig.13 The time delay control curve of principal resonance with different parameters

6 結(jié)論

1)本文考慮了波紋輥軋機波紋界面間的非線性阻尼和非線性剛度,建立了波紋輥軋機兩自由度垂直非線性主共振數(shù)學模型.利用奇異值理論和相平面法討論了波紋輥軋機輥系自治下的穩(wěn)定性,運用多尺度法求解了波紋輥軋機輥系在波紋界面激勵下主共振的解析近似解和幅頻特性方程.

2)通過數(shù)值仿真分析了非線性剛度系數(shù)、非線性阻尼系數(shù)、系統(tǒng)阻尼系數(shù)、軋制力的幅值等參數(shù)對波紋輥軋機輥系主共振的影響,驗證了分析結(jié)果的正確性.通過設計時滯控制器來對波紋輥軋機輥系的主共振進行控制,通過適當調(diào)節(jié)時滯參數(shù)可以減小系統(tǒng)的響應幅值,避免分岔現(xiàn)象的發(fā)生.通過數(shù)值仿真驗證了該控制器設計的正確性和可行性,為抑制波紋輥軋機的輥系振動和設計改造提供了一定的理論指導.

3)在波紋輥的設計過程中,可以通過減小波峰與波谷之間的距離、減少波紋的數(shù)量來對輥形曲線進行優(yōu)化設計從而減小參激振動對軋制過程的影響.后續(xù)波紋輥軋機輥系主共振時滯反饋控制的研究將會通過最優(yōu)算法來獲得最佳線性和非線性反饋控制參數(shù),并且結(jié)合智能抑振來對波紋輥的振動特性進行更深層次的研究.