杜文舉 ,李引珍 ,張建剛 ,俞建寧

(1.蘭州交通大學(xué)交通運輸學(xué)院,甘肅蘭州 730070; 2.蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院,甘肅蘭州 730070)

1 引言

隨著社會經(jīng)濟的迅猛發(fā)展和城市規(guī)模的不斷擴大,交通擁堵問題已然成為世界范圍內(nèi)急需解決的共同難題.交通流的穩(wěn)定性是研究交通道路中的擾動對交通流狀態(tài)的影響.如果系統(tǒng)處在不穩(wěn)定時,小擾動會沿著交通流向后傳播,使得暢行的車流出現(xiàn)交通阻塞.如果系統(tǒng)處在穩(wěn)定狀態(tài)時,在傳播的過程中小擾動會逐漸減小甚至?xí)Щ蛘咦罱K保持在一定范圍內(nèi),使交通車流能順利通行.交通流模型主要分為宏觀模型、微觀模型和介觀模型,其中微觀交通流模型主要包括元胞自動機模型和跟馳模型.車輛跟馳模型將交通流中的車輛看成分散的質(zhì)點,在沒有超車的情況下,通過觀察單個車輛跟馳前車的方式來了解單車道交通流的特性.近年來,不少學(xué)者已經(jīng)對車輛跟馳模型進行了研究[1–6].Zhang等[7]研究了經(jīng)典車輛跟馳模型的穩(wěn)定性,并通過線性化和數(shù)值積分分析了非線性模型.Orosz等[8]針對環(huán)形單車道上n輛車的最優(yōu)速度跟蹤模型,研究了不同波數(shù)下均勻流平衡的穩(wěn)定性和分岔周期解.Zheng等[9]提出了一類擴展的車輛跟馳模型,考慮了同時包含車輛與前面車輛之間的速度差的控制信號,并應(yīng)用控制理論方法研究了模型的穩(wěn)定性.楊龍海等[10]采用高精度車載GPS設(shè)備獲取基于時間序列的車輛跟馳數(shù)據(jù),根據(jù)實測車頭間距–平均速度關(guān)系構(gòu)建了改進的優(yōu)化速度函數(shù),對原優(yōu)化速度函數(shù)和改進的優(yōu)化速度函數(shù)進行了參數(shù)標(biāo)定,并對兩個函數(shù)進行了微觀向宏觀交通參數(shù)的推導(dǎo).Zhai等[11]在考慮謹(jǐn)慎型和激進型駕駛行為的基礎(chǔ)上,提出了一類新的最優(yōu)速度跟馳模型,并給出了該模型的線性穩(wěn)定性條件.秦嚴(yán)嚴(yán)等[12]基于智能網(wǎng)聯(lián)車輛跟馳特性,考慮多前車電子節(jié)氣門角度反饋,構(gòu)建智能網(wǎng)聯(lián)車輛(connected autonomous vehicle,CAV)跟馳模型,并應(yīng)用穩(wěn)定性分析方法得到模型穩(wěn)定性判別條件.目前,對跟馳模型的穩(wěn)定性的研究采用線性化處理會導(dǎo)致不準(zhǔn)確的結(jié)果,特別是在臨界條件附近,系統(tǒng)小擾動信息可能會產(chǎn)生意想不到的演化結(jié)果.而非線性穩(wěn)定性分析方法,仍然是忽略掉方程高階項得到的,還是不可避免地存在誤差.此外,傳統(tǒng)的跟馳模型的穩(wěn)定性分析方面的研究基本上都是假設(shè)車道上所有車輛具有相同的初始速度和初始車頭間距,即車輛跟馳系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài),然后討論跟馳車隊中頭車或者中間的某輛車改變運行狀態(tài)對整個跟馳系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,沒有考慮受到隨機外部干擾之后如何通過控制策略使其趨于穩(wěn)定.

此外,在實際系統(tǒng)中經(jīng)常存在著噪聲或擾動,它們經(jīng)常會引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定.因為有外部擾動的存在,在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的實際應(yīng)用中,必須考慮不確定性因素.為了避免或者消除這種隨機外部擾動的影響,我們需要對具有外部擾動的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步控制進行研究.因為隨機外部擾動廣泛的研究背景,其在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的研究得到了許多學(xué)者的關(guān)注,而它與網(wǎng)絡(luò)同步之間的關(guān)系也成為了研究的熱點.Li等[13]研究了受外界干擾的線性復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的擾動抑制問題.Zheng等[14]應(yīng)用基于觀測器的控制研究了一類復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的魯棒H∞同步問題.Li[15]提出了一種新的H∞聚類同步概念以量化復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的外部干擾,并以線性矩陣不等式的形式導(dǎo)出了H∞聚類同步判據(jù).郭凌等[16]對一類帶有外部擾動和時變時滯的Lurie系統(tǒng)的聚類同步進行了研究.Shen等[17]研究了具有時變時滯和半馬爾可夫跳變拓撲的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有限時間H∞同步問題.Liu等[18]采用滑?？刂品椒ㄑ芯苛讼辔皇桨腭R爾可夫開關(guān)主從式系統(tǒng)的H∞同步問題.Ho等[19]通過泊松過程討論了非線性隨機耦合網(wǎng)絡(luò)的魯棒同步問題.Wang等[20]利用Lyapunov泛函和Barbalat引理分析了多重權(quán)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的輸出同步問題,同時還討論了多重權(quán)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的H∞輸出同步問題.本文主要基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步理論,通過設(shè)計基于速度和車頭間距的自適應(yīng)控制器對一類考慮前后車效應(yīng)的時變時滯最優(yōu)速度車輛跟馳模型的穩(wěn)定性進行了研究.

2 時變時滯車輛跟馳模型

1995年,Bando等[21]基于“速度–車間距函數(shù)”的概念,提出了如下最優(yōu)速度模型:

式中: a 是加速度常數(shù),也稱為司機的敏感性系數(shù);V(h)為“速度–車間距函數(shù)”.該模型能很好的描述交通流的數(shù)學(xué)與物理性質(zhì),所以在交通流領(lǐng)域,受到了學(xué)者的廣泛關(guān)注與研究.

2014 年,李樹凱等[22]基于Lyapunov 穩(wěn)定性理論,通過反饋控制策略,研究了如下考慮駕駛員反應(yīng)存在滯后時間的非線性車輛跟馳模型的穩(wěn)定性問題:

然而,該模型認為駕駛員在調(diào)整車速時僅依靠本車與前車之間的車間距來調(diào)整車輛的速度,但經(jīng)過實際的分析發(fā)現(xiàn)駕駛員在調(diào)控的過程中有時還會受到后車的影響.針對同時考慮前后車的影響,葛紅霞等[23]考慮前后臨近車輛對當(dāng)前車速度的影響,提出一個同時考慮前后車影響的車輛跟馳模型.然而,該模型中沒有考慮駕駛員接受信息和采取應(yīng)對措施之間存在滯后時間.Zhai等[24]同時考慮了前后車的影響和駕駛員接受信息和采取應(yīng)對措施之間存在的時變滯后時間,提出了一類新的跟馳模型并利用控制理論研究了模型的穩(wěn)定性問題.基于控制理論的車輛跟馳模型穩(wěn)定性的控制分析,基本上都是通過添加一些控制項來提高交通流的穩(wěn)定性,沒有考慮平穩(wěn)的交通流受到隨機外部干擾之后如何通過控制策略使其趨于穩(wěn)定.因此,本文同時考慮前后車效應(yīng)以及駕駛員的反應(yīng)時間存在時變滯后時間,提出考慮前后車效應(yīng)的時變時滯最優(yōu)速度車輛跟馳模型,并基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步理論,設(shè)計同時基于速度和車頭間距的自適應(yīng)控制器,更加精確快速的控制車輛跟馳模型的穩(wěn)定性.

基于此,本文同時考慮前后車效應(yīng)以及駕駛員的反應(yīng)時間存在滯后時間,研究如下考慮前后車效應(yīng)的時變時滯最優(yōu)速度車輛跟馳模型:

式中: ai表示第i輛車的司機在行駛過程中的敏感系數(shù),vi(t)表示t時刻第i輛車的速度,vi?1(t)表示t時刻第i ?1輛車的速度,hi(t)表示t時刻車道中第i輛車與前方車輛i ?1的車頭間距,hi+1(t)表示t時刻車道中第i輛車與后方車輛i+1的車頭間距.

葛紅霞等[23]在其模型中的優(yōu)化速度函數(shù)既依賴于與前車之間的車頭間距,也依賴于與后車之間的車頭間距,具體形式如下:

其中τ1,τ2都是恒定常數(shù),且τ1表示由駕駛員理性行為產(chǎn)生的最大反應(yīng)時間延遲,τ2表示關(guān)于車頭間距滯后時間的變化率.此外,對于方程(3),初始的hi(t)為:hi(t)?i(t), t∈[?τ1,0], i1,2,···,N,其中?i(t)為連續(xù)可微函數(shù).

本文假定當(dāng)前車輛同時受到前后車輛的影響,且車頭間距存在著隨時間變化的滯后時間,與以往研究相比更貼近現(xiàn)實,更能反映真實的交通行為.

引理1[22]V(hi(t))是一個連續(xù)的、非負的單調(diào)遞減函數(shù),并且存在常數(shù)k >0,使得對?hi(t),hj(t)∈Rn,都有

3 外部擾動下時變時滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步理論

考慮由N個具有時變時滯的節(jié)點組成的含有外部擾動項的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò),其模型如下:

式中:xi(t)(xi1(t)xi2(t)··· xin(t))T∈Rn表示第i個節(jié)點的狀態(tài)變量;f(·):Rn×R →Rn是一個光滑的非線性連續(xù)向量值函數(shù);Γ(γij)n×n∈Rn×n是已知的內(nèi)部耦合矩陣;ε為網(wǎng)絡(luò)(7)的內(nèi)部耦合強度;τ(t)是節(jié)點的時變時滯,它連續(xù)可微且滿足τ <∞,其中τ是已知的非零常數(shù);矩陣A(aij)∈RN×N表示網(wǎng)絡(luò)(7)的拓撲結(jié)構(gòu),滿足耗散耦合條件aii其中aij的具體定義如下:若節(jié)點i 和節(jié)點j 之間有連邊,則aij>0,否則aij0(ij,i,j1,2,···,N);ωi(t)為外部干擾,B為一個常數(shù)矩陣,決定了外部干擾ωi(t)的強度;ui(t)是所需設(shè)計的控制器.

令同步誤差ei(t)xi(t)?s(t),i1,2,···,N,則誤差系統(tǒng)定義為

定義1對于給定的擾動衰減系數(shù)γ >0,以及對稱正定矩陣S,如果下面的條件成立:

a)當(dāng)ωi(t)0時,在控制器ui(t)作用下,同步誤差系統(tǒng)(8)漸近自適應(yīng)穩(wěn)定;

b)當(dāng)ωi(t)0時,在初始條件為零的條件下,若同步誤差系統(tǒng)(8)滿足

則稱網(wǎng)絡(luò)(7)實現(xiàn)了自適應(yīng)H∞同步.

引理2[25]對任意給定的矩陣X,Y ∈Rn×m,都有下列矩陣不等式成立:

其中A ∈Rn×n且ATA>0.

假設(shè)1τ(t)是可微函數(shù)且(常數(shù)延遲是該假設(shè)的特例).

假設(shè)2對所有xi(t),yi(t)∈Rn,存在矩陣K1,K2∈Rn×n使得

假設(shè)3對?x(t),y(t)∈Rn和t>0,存在一個正定的對角矩陣P和數(shù)γ >0,η >0,使得

定理1當(dāng)外部擾動ωi(t)0時,對于給定的對稱正定矩陣S和γ >0,如果假設(shè)1–2成立,且存在正定矩陣P和Q以及足夠大的?d,使得

成立.那么,在控制器

根據(jù)假設(shè)1–2以及引理2,可得

從而網(wǎng)絡(luò)(7)在擾動衰減水平為γ的情況下達到了自適應(yīng)H∞同步.證畢.

推論1當(dāng)外部擾動ωi(t)0時,如果假設(shè)1,3成立,且存在正定矩陣P 和足夠大的使得(γ+I +εa′PΓ ?<0,那么,網(wǎng)絡(luò)(7)在控制器(13)的作用下實現(xiàn)自適應(yīng)同步.

4 基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的車輛跟馳模型穩(wěn)定性控制

利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步控制理論研究車輛跟馳模型的穩(wěn)定性,是將行駛在車道上的每一輛車視為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的一個節(jié)點,車輛之間如果存在通訊關(guān)系則構(gòu)成復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的虛擬邊,即車輛間通信關(guān)系就可以構(gòu)成復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣.以車輛為節(jié)點、車輛間通訊關(guān)系為邊構(gòu)成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步,即車道上跟馳車隊中所有車輛都以相同的理想速度,并保持相同的理想車頭間距有序的行駛.對于行駛在單車道上的N輛車,每一輛車視為網(wǎng)絡(luò)的一個節(jié)點,令矩陣A(aij)∈RN×N表示車輛間通信關(guān)系的鄰接矩陣,其中aii且aij定義如下:如果車輛j是車輛i(j)的前方最近鄰車輛,則aijaji1;否則aij0.對于任意一輛車i(i2,3,···,N)都受到前方最近鄰車輛i ?1的影響,同時也會受到后方最近鄰車輛i+1的催促作用.因此,可以得到如下車輛運動的鄰接矩陣:

若車輛的理想速度為v0(t),理想的車頭間距h0(t),本文的目的是要利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步理論,通過設(shè)計基于速度和車頭間距的自適應(yīng)控制器,使得所有車輛都以速度v0(t),并保持車頭間距h0(t)有序的行駛.

4.1 時變時滯車輛跟馳模型的穩(wěn)定性控制

當(dāng)外部擾動ωi(t)0時,考慮單行道上行駛的N輛車,以模型(3)為網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點,則網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點動力學(xué)方程為

因為ωi(t)0,則由式(7),對網(wǎng)絡(luò)中的第i(1iN)個節(jié)點有

為了滿足假設(shè)3,選取適當(dāng)?shù)膮?shù)δ >0,使得

因此,由上式可知假設(shè)3成立,且由式(6)知假設(shè)1成立.根據(jù)推論1,若存在正定矩陣P和足夠大的使得那么,跟馳模型在控制器(17)的作用下趨于穩(wěn)定,即所有的車輛都以速度v0(t),并保持車頭間距h0(t)有序的行駛.

4.2 外部擾動下時變時滯車輛跟馳模型的穩(wěn)定性控制

當(dāng)外部擾動ωi(t)0時,同樣考慮行駛在單行道上的N輛車,以模型(3)為網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點,則由式(7),網(wǎng)絡(luò)的第i(1iN)個節(jié)點的動力學(xué)方程為

下面將式(23)化成以下形式:

由上式可知,假設(shè)2成立,且由式(6)知假設(shè)1成立.從而根據(jù)定理1,如果存在正定矩陣P和足夠大的使得式(12)成立,那么網(wǎng)絡(luò)在控制器(13)的作用下就可以達到自適應(yīng)H∞同步,即在受到隨機外部擾動的情形下,加入控制器后所有的車輛都以速度v0(t),并保持車頭間距h0(t)有序的行駛.

5 數(shù)值仿真

在接近開放邊界條件下對模型進行仿真,考慮行駛在單車道上的20 輛車.模型中參數(shù)的取值為ε0.6,hd2 m,理想速度為v0(t)5.56 m/s,理想的車頭間距h0(t)7.02 m.同時假設(shè)所有駕駛員的敏感系數(shù)都相同,即ai1.2 s?1,i1,2,···,20.考慮前方車輛及其后方車輛對當(dāng)前車速度的影響,在駕駛員實際行駛過程中,對前車的敏感系數(shù)會大于對后面車輛的敏感程度,所以令α10.8, α20.2.駕駛員感應(yīng)車頭間距的滯后函數(shù)為τ(t)0.5+0.1 cos t,這里τ10.6,τ20.1.此外,假設(shè)所有車輛具有相同的參數(shù),初始的車頭間距hi(0)在區(qū)間[6.5,12]內(nèi)隨機選取,初始速度vi(0)在區(qū)間[3.5,8]內(nèi)隨機選取,車輛的初始速度和初始的車頭間距都不相等,研究結(jié)果更具有一般性.首先,對模型不加控制器,得到車頭間距hi(t)與速度vi(t)隨時間的演化曲線,如圖1所示.由圖1看到,在沒有加入控制器的情況下,整個跟馳系統(tǒng)都沒有趨于穩(wěn)定,也就是說出現(xiàn)了交通擁堵現(xiàn)象.

圖1 未加控制器時車輛的車頭間距和速度隨時間的演化曲線Fig.1 The evolution curves of lateral distance,headway distance and velocity without controller

下面,將控制器加入到模型中,取參數(shù)ki0.5,i1,2,···,20,其他參數(shù)保持不變,可以得到如圖2所示的誤差收斂曲線以及hi(t)與vi(t)隨時間的演化曲線.由圖2(a)(c)看到,所有的車頭間距hi(t)(i1,2,···,19)與本文設(shè)置的理想的車頭間距h0(t)的差值在92個時間單位都趨于0;同時所有的車輛的車頭間距hi(t)在92個時間單位趨于h0(t)7.02 m.由圖2(b)(d)看到,所有的車輛的速度vi(t)(i1,2,···,20)與頭車的速度v0(t)的差值在92個時間單位都趨于0;同時所有車輛的速度vi(t)在92個時間單位趨于v0(t)5.56 m/s.這表明,加入了控制器后,系統(tǒng)在92個時間單位就達到穩(wěn)定狀態(tài),即加入控制器后,使得車輛行駛順暢,明顯地緩解了交通擁堵.

此外,保持其他參數(shù)不變,令參數(shù)ai0.5 s?1,i1,2,···,20,觀察司機的敏感性系數(shù)對交通流穩(wěn)定性的影響.由圖3看到,交通流大約在106個時間單位才達到穩(wěn)定.與圖2相比,交通流達到穩(wěn)定的時間延遲了14個時間單位.這說明,司機的敏感性系數(shù)對交通流的穩(wěn)定性有一定的影響.因此,有關(guān)部門應(yīng)該加強監(jiān)管和宣傳力度,盡量不要讓司機疲勞駕駛、帶病駕駛、避免讓高齡司機駕駛等,有利于緩解交通擁堵、避免交通事故.

圖2 加入控制器時車輛的車頭間距和速度隨時間的演化曲線Fig.2 The evolution curves of lateral distance,headway distance and velocity when adding the controller

圖3 ai=0.5 s?1,i=1,2,···,20時車輛的車頭間距和速度隨時間的演化曲線Fig.3 The evolution curves of lateral distance,headway distance and velocity when ai=0.5 s?1,i=1,2,···,20

下面考慮在隨機外部擾動的情形下,車輛跟馳系統(tǒng)的穩(wěn)定性.假設(shè)對第3,8,13輛車施加如下的外部擾動:

圖4 外部擾動下車輛的車頭間距和速度隨時間的演化曲線Fig.4 The evolution curves of lateral distance,headway distance and velocity with external disturbance

6 結(jié)論

本文針對考慮前后車效應(yīng)的時變時滯最優(yōu)速度車輛跟馳模型,利用時變時滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)H∞同步理論,研究了該模型的穩(wěn)定性問題.數(shù)值仿真結(jié)果表明:考慮前后車效應(yīng)的時變時滯最優(yōu)速度車輛跟馳模型在本文設(shè)計的控制器下快速趨于穩(wěn)定,有效的緩解了交通擁堵.本文研究的主要內(nèi)容是運用時變時滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步理論解決跟馳模型中的交通堵塞問題,得到的結(jié)論可以為預(yù)防和控制跟馳模型中的交通擁堵提供理論依據(jù).