丁藝 朱雅婷

【摘要】在高中幾何教學中，圖形變換中的復(fù)合變換一直是教學的難點。傳統(tǒng)的板書、幻燈片等形式，要讓平均水準的學生掌握圖形變化的性質(zhì)和關(guān)系力有未逮。文章介紹了一款專業(yè)的幾何圖形繪制軟件，并通過兩個教學案例展示了如何交互、動態(tài)地展示復(fù)合變換的規(guī)律，在實踐中獲得了良好的教學效果。

【關(guān)鍵詞】高中幾何;圖形變換;軟件;動態(tài)

一、問題的引入

高中階段的幾何教學中，有一些知識點及其運用往往被大多數(shù)學生畏之如虎，圖形變換特別是涉及幾種變換的復(fù)合變換，就是其中之一。根據(jù)筆者多年的教學經(jīng)歷，在學習單一圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、反射等變換的時候，平均水準的學生都能較好地掌握，然而一旦涉及幾種變換組合起來的復(fù)合變換情況，學生往往思路不清，對變換的本質(zhì)理解不深，無論是在作業(yè)中還是在測評中，都易失分。

這主要是因為，使用傳統(tǒng)的板書形式只能描繪變換之后的靜態(tài)結(jié)果，如果要討論若干條件的改變對變換的影響，則需要修改和重繪，費時費力;即便使用一些常規(guī)的信息化教學手段，如制作幻燈片并利用一些動畫效果，但對學生來說，缺乏互動性和探索性，也無法很快地形成對圖形變換本質(zhì)的理解。

筆者在研究和評估了一些教學輔助手段之后，使用“幾何畫板”繪制了一些教學示例?！皫缀萎嫲澹═he Geometer's Sketchpad，簡稱GSP）”是一款國內(nèi)外廣泛用于數(shù)學、物理教學的付費軟件，可運行于Windows和Macintosh操作系統(tǒng)上。筆者除了用幾何畫板在課堂上給學生動態(tài)地展示復(fù)合變換，也鼓勵學生自己去與之交互、修改和舉一反三地編寫新的例子。通過幾年的教學實踐后發(fā)現(xiàn)，相較于傳統(tǒng)的教學方法，使用幾何畫板設(shè)計展示動態(tài)示例，在讓學生定性地認識復(fù)合變換的效果以及定量地分析幾種特殊的變換組合產(chǎn)生的效果方面，后者更具優(yōu)勢。

下面通過兩個具體案例來探討如何基于幾何畫板進行知識點的動態(tài)展示。

二、使用動態(tài)展示提高教學效果的案例

案例1：一個簡單幾何形狀，關(guān)于兩條平行直線，連續(xù)反射兩次。

原像關(guān)于直線反射，得到圖像;關(guān)于直線反射，得到圖像。

先請學生觀察，原像和最后的像之間是什么關(guān)系。通過幾何畫板的演示，移動兩條直線和，讓學生觀察到，象會跟著移動。這使得學生推斷得到的關(guān)系看起來更加明確。

通過這個操作實例，大部分學生可以判斷出，原像和兩次反射后的像，是一個平移的關(guān)系。

通過測量三個點對、、之間的距離，以及移動兩條平行線和，可以看出，三個點對的距離一直保持一致。

于是，筆者請同學們進一步思考：平移是可以通過平移的方向和平移的距離來描述的，那這個平移是否也可以根據(jù)某些條件確定呢？

于是有學生猜測，這個平移的距離和兩條平行線是垂直的。通過構(gòu)造直線和的垂線，并且移動圖形，可以看出，和是平行的，即，的移動方向是垂直于直線和的。并且進一步可以看出，移動的距離是兩條平行線的距離的兩倍。無論在幾何畫板中如何改變平行線和的距離，上述關(guān)系始終成立。

由此大部分學生都已經(jīng)能得出結(jié)論：經(jīng)過兩條平行線連續(xù)兩次反射的疊加效果是平移，并且平移的方向和平行線垂直，平移的距離是兩條平行線距離的兩倍。

由于是觀察圖形和與圖形交互以后推理并得到驗證的結(jié)論，大部分學生都能記憶并且較好地理解了多次反射的特點。

案例2：一個簡單幾何形狀，關(guān)于兩條相交直線，連續(xù)反射兩次。

原像關(guān)于直線反射，得到圖像;關(guān)于直線反射，得到圖像。

筆者請學生觀察，原像和最后的像之間是什么關(guān)系。通過幾何畫板的作圖演示，并且通過任意改變兩條相交直線的角度，像會動態(tài)地跟著移動，使這個關(guān)系看起來更加明確。

通過這個示例的動態(tài)演示，大部分學生已經(jīng)可以判斷出，原像和兩次反射后的像是一個旋轉(zhuǎn)的關(guān)系，并且猜測很大可能是繞著兩條直線的交點旋轉(zhuǎn)的。由此可以進入下一步的驗證。

將兩條直線的交點標記為，并測量三對點與形成的角度，可以看出，不管怎么移動相交直線和，這三個角度一直保持相等。這就驗證了之前的猜測。

于是，筆者啟發(fā)學生進一步思考：旋轉(zhuǎn)是可以通過旋轉(zhuǎn)中心和角度來描述的，那在這個兩次反射構(gòu)造的旋轉(zhuǎn)中，旋轉(zhuǎn)的角度是什么呢？通過前面的動態(tài)展示，學生會發(fā)現(xiàn)，和之間的角度隨著兩條直線之間的交角增加而增加。大部分學生都能給出合理的猜測，這兩個角度之間一定有關(guān)系。

用幾何畫板自帶的角度測量工具，并且通過動態(tài)地任意調(diào)整兩條直線之間的交角，可以發(fā)現(xiàn)量化關(guān)系，即和之間的角度一直是兩條直線交角（銳角）的兩倍。

由此，很多學生已經(jīng)可以得出結(jié)論：經(jīng)過兩條相交直線連續(xù)兩次反射的疊加效果是旋轉(zhuǎn)，并且旋轉(zhuǎn)的中心是兩條直線的交點，旋轉(zhuǎn)的角度是兩條直線交角（銳角）的兩倍。由于這些結(jié)論是學生與筆者一同進行交互性地探索和驗證得出的，而非生硬記憶的結(jié)論，因此在之后的測評中，都顯示學生對這些知識點理解和掌握得相當扎實。

三、結(jié)語

板書、手繪作圖和測量是高中數(shù)學教師的基本功，也是最常規(guī)的教學方法。但在有些知識點的教學中，傳統(tǒng)手繪的方式需要花費的時間比較長，并且測量距離和角度的結(jié)果并沒有那么直觀地揭示量化關(guān)系，也沒法任意移動，展示動態(tài)的效果。

筆者并不提倡一味地用“信息化”甚至全盤幻燈片化來解決教學中的所有難點，而是選用合適的信息化載具作為常規(guī)教學方法的補充。本文所探討的，使用幾何畫板展示、教學的這兩個案例，既脫胎于常規(guī)教學的教案，又利用了專業(yè)工具的直觀性、交互性、動態(tài)性和易操作性，學生很容易掌握使用，幾分鐘就可以構(gòu)造出自己的例子，進行計算和驗證也非常方便，從而讓學生更愿意進行主動探索型的學習，無論從提高教學效果還是從培育學習興趣的角度，都獲得了意料之外又在情理之中的效果。

【參考文獻】

孫嵐，王紅芳.巧用平面幾何解決高中數(shù)學問題[J].新課程（中學），2016（05）：53.