魏明遜

(昆明第三中學(xué) 云南 昆明 650500)

1 問題概述

在2019年1月13日，YouTube上的著名頻道3Blue1Brown發(fā)布了一個(gè)非常有趣的視頻(https://www.bilibili.com/video/av41712219/?spm_

圖1 3Blue1Brown網(wǎng)站的Logo

這個(gè)問題的描述如下：如圖2所示，在完全光滑的無限長平面上，有一個(gè)質(zhì)量為M的滑塊A以垂直于墻面的速度v0向墻運(yùn)動(dòng)，A和墻之間的連線上停著另一個(gè)質(zhì)量為m的滑塊B.假設(shè)系統(tǒng)所有碰撞均為完全彈性碰撞，且滑塊可以看成質(zhì)點(diǎn).求解M和m的質(zhì)量是什么樣的關(guān)系才能使m碰撞的次數(shù)與π有一定的關(guān)系.

圖2 碰撞模型

從離散的物理碰撞能夠推導(dǎo)出一個(gè)無限不循環(huán)的數(shù)學(xué)常量，數(shù)學(xué)和物理有時(shí)會(huì)顯現(xiàn)出令人驚訝的默契，這就是3Blue1Brown所說的Unexpected，冥冥之中蘊(yùn)含著宇宙的某種設(shè)計(jì).Gregory Galperin于1990年最早發(fā)現(xiàn)了這個(gè)結(jié)果，并于2003在論文Playing pool with π (the number π from a billiard point of view)中公布這個(gè)問題，這是一個(gè)網(wǎng)紅問題.但網(wǎng)上的各種解答數(shù)學(xué)味比較重，并且所有解答都是為了討論與π的關(guān)系，對(duì)一般情景沒有討論，我們希望經(jīng)過深入地分析讓這道從物理中來的數(shù)學(xué)題重新回歸物理的情景.

2 解決問題

設(shè)M以速度v0向右與m發(fā)生第一次碰撞后

(1)

MvM+mvm=P=Mv0

(2)

對(duì)式(1)(2)進(jìn)行變形得

x2+y2=2E

(3)

(4)

分界線與x軸的夾角為θ，從初始點(diǎn)到點(diǎn)A1，對(duì)應(yīng)的圓周角為θ，如圖3所示可以看出相鄰點(diǎn)之間的弧長相同，對(duì)應(yīng)的圓周角為θ，圓心角是2θ，而全部圓心角加起來小于2π，因此碰撞次數(shù)N和θ的關(guān)系為

圖3 碰撞點(diǎn)區(qū)域分析

N2θ≤2π

(5)

即N取整.

至此，N和π的關(guān)系就清晰了，最終提取的其實(shí)就是π10n的整數(shù)部分，這就是碰撞問題中隱藏的π與碰撞次數(shù)的關(guān)系.所有的網(wǎng)絡(luò)解答都注重討論M=100nm時(shí)呈現(xiàn)的關(guān)系，而對(duì)于高中物理我們需要引導(dǎo)學(xué)生研究M和m任意比值下碰撞后速度的變化及碰撞的次數(shù)，還需要討論圖3所呈現(xiàn)的物理含義，探尋規(guī)律引導(dǎo)資優(yōu)生尋找物理的樂趣.

3 深入探討

3.1 求解任意一次碰撞后M和m的速度大小

這個(gè)問題的實(shí)質(zhì)就是求A1,A2,…的坐標(biāo)(x1，y1),(x2,y2),…

首先求解A1的坐標(biāo)，從x2+y2=2E入手，如圖3所示.

得

vM1=v0cosα

(6)

得

(7)

根據(jù)

所以

以此類推A2點(diǎn)的角度為2α……所以n(n為M和m碰撞次數(shù))次M和m碰撞后的速度為

(8)

(9)

驗(yàn)證：

假設(shè)M=2m，取M的初速度v0為正方向

從第一次M和m碰撞后

M的速度

m的速度為

第二次M和m碰撞后

M的速度為

m速度為

同理得到M和m第三次碰撞后，M速度為

m速度為

M,m都向右運(yùn)動(dòng)，并且vm3

3.2 由任意時(shí)刻M速度表達(dá)式得到碰撞次數(shù)N的其他表達(dá)式

作M的速度

圖4 v-t圖像

(10)

N取整.特別注意：如果N正好出來是整數(shù)，那么碰撞次數(shù)就是N-1.

從數(shù)學(xué)上很容易得到

(11)

真有點(diǎn)九九歸一的感覺.從不同的表達(dá)式也可以看出其中的物理含義：勻速圓周運(yùn)動(dòng)和簡諧運(yùn)動(dòng)本來就是圖3和圖4的兩種不同呈現(xiàn)方式.式(11)實(shí)際上是把兩種運(yùn)動(dòng)關(guān)聯(lián)起來了.

3.3 最后的碰撞點(diǎn)落在x軸和分界線上的物理情景

前面的討論最后的碰撞點(diǎn)落在圖3的斜線區(qū)域，那么對(duì)于落在x軸和分界線上的碰撞點(diǎn)是否具有物理意義呢？我們分別從兩個(gè)方面進(jìn)行討論.

(1)如圖5所示，A4的對(duì)稱點(diǎn)B4正好落在分界線上，也就是M和m最后一次碰撞完以后速度大小相等，方向相反，但m與墻碰撞以后，M和m以相同的速度遠(yuǎn)離墻.

圖5 碰撞點(diǎn)在分界線

以上兩個(gè)結(jié)論是不是很有意思??！

4 啟示

這道題本來只是一道數(shù)學(xué)的趣題，想反映出大自然中存在的神奇.如果僅僅根據(jù)機(jī)械能守恒和動(dòng)量守恒只是揭示了碰撞和π之間隱藏的關(guān)系.但對(duì)于資優(yōu)生而言消化網(wǎng)絡(luò)上對(duì)網(wǎng)紅題的解法僅僅是欣賞物理的開始，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圓進(jìn)行討論，特別是根據(jù)圓上的點(diǎn)可以引導(dǎo)學(xué)生求解任意時(shí)刻碰撞的速度，并通過速度的表達(dá)式，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)M速度大小不光是M=m時(shí)可以回到原來的初速度大小，而且M和m只要比例適當(dāng)就可以使M的速度變?yōu)関0或者M(jìn),m速度大小相同，這是大自然神奇的一面.進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)M的速度大小變化是一條余弦曲線，從而找到M和n碰撞的其他表達(dá)式，最后發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)表達(dá)式在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的，最終完成勻速圓周運(yùn)動(dòng)和簡諧運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)一，物理真奇妙！

物理之所以能給優(yōu)秀學(xué)生持續(xù)不斷的動(dòng)力，關(guān)鍵一點(diǎn)還是有趣，我們討論一道題實(shí)際上不是題目本身，而是要告訴學(xué)生，外面的世界很精彩，如何欣賞物理，并從中得到快樂.這些優(yōu)秀學(xué)生不一定將來都從事物理學(xué)研究，但他們能長期保持愛好，并在將來提出一些有意思的問題，推動(dòng)社會(huì)的進(jìn)步不就是我們教物理最大的快樂嗎.