李 惠

(株洲市第二中學(xué) 湖南 株洲 412000)

【例題】水平光滑大桌面上有一質(zhì)量為M的均勻圓環(huán)形細(xì)管道，管道內(nèi)有兩個(gè)質(zhì)量同為m的小球A和B位于管道同一直徑的兩端.t=0時(shí)刻管道靜止，小球A和B沿著切線方向有相同的初速度v0，如圖1所示.不計(jì)一切摩擦.

圖1 例題題圖

(1)兩個(gè)小球在管道內(nèi)第一次相碰前瞬間的相對(duì)速度大小.

(2)設(shè)兩個(gè)小球的碰撞是彈性的，分析兩小球碰后能否在管道內(nèi)返回初始時(shí)刻相對(duì)管道的位置？

(3)若能，再通過計(jì)算確定兩小球到達(dá)這個(gè)位置時(shí)相對(duì)于大桌面的速度方向.

這是2008年北京大學(xué)自主招生考試的最后一題.筆者選擇這道題作為講解完一維對(duì)心碰撞模型后的一道習(xí)題對(duì)學(xué)生做競(jìng)賽培訓(xùn)，在培訓(xùn)中，為了讓學(xué)生能進(jìn)一步深化物理規(guī)律，筆者在此題的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了3處改動(dòng)，著重對(duì)學(xué)生思維能力的訓(xùn)練，以期能夠在較短時(shí)間內(nèi)建立起正確而適合的物理模型來解決新的問題.本文把這一培訓(xùn)過程展現(xiàn)出來.

1 參照一維碰撞模型 緊扣物理規(guī)律 引導(dǎo)學(xué)生提煉“新”情境中的“舊”規(guī)律

我們來回顧一維碰撞模型，為了更直觀地“看到”碰撞這一極短時(shí)間內(nèi)的內(nèi)力作用過程，我們可以在參與碰撞的兩個(gè)小球之間添加一根輕質(zhì)彈簧，彈簧只與其中一個(gè)小球焊接，觀察彈簧的形變就可以了解碰撞過程中內(nèi)力的作用規(guī)律(其實(shí)，在彈簧彈力作用的時(shí)間內(nèi)，這就是一個(gè)復(fù)振子系統(tǒng)).如圖2所示.他們之間對(duì)應(yīng)的聯(lián)系如表1所示.碰后1球和2球的速度分別用v′1和v′2表示.

圖2 一維碰撞模型分析

表1 兩球碰撞與復(fù)振子系統(tǒng)之間的聯(lián)系

1.1 新情境“新”在何處？

有3個(gè)物體參與相互作用，且運(yùn)動(dòng)是二維運(yùn)動(dòng).

1.2 新情境中蘊(yùn)含“舊”規(guī)律

所以，兩小球第一次碰前相對(duì)速度大小為

原題第(1)問得解.

假設(shè)兩小球碰后能回到與初始時(shí)刻一樣的相對(duì)大圓環(huán)的位置，則小球相對(duì)大圓環(huán)的速度是x軸方向，大圓環(huán)相對(duì)大桌面的速度也沿x軸方向，所以系統(tǒng)不存在y軸方向速度，則整個(gè)過程相當(dāng)于一次x軸方向的完全彈性碰撞，代入公式得小球碰后速度

可以看到，若2m>M，則小球相對(duì)大桌面的速度朝右，若2m

綜上所述，物理有助于我們?cè)谛碌奈锢砬榫持懈逦⒖焖俚卣业狡鋬?nèi)在的物理規(guī)律，返璞歸真，體會(huì)到物理規(guī)律的邏輯美.

2 深挖物理內(nèi)涵 創(chuàng)設(shè)各種角度 引領(lǐng)學(xué)生做思維訓(xùn)練

筆者不改變題干設(shè)定，適當(dāng)改變?cè)O(shè)問的方式和角度，啟發(fā)學(xué)生去思考.

(1)小球能否發(fā)生第二次、第三次碰撞?

這個(gè)問題主要是引導(dǎo)學(xué)生探究t=0時(shí)刻之后很長一段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.引導(dǎo)學(xué)生去分析為什么大圓環(huán)和兩小球構(gòu)成的系統(tǒng)質(zhì)心會(huì)一直做勻速直線運(yùn)動(dòng)，而在質(zhì)心系中兩小球每碰撞2次之后，3個(gè)物體就會(huì)回到與t=0時(shí)刻一樣的相對(duì)位置.可見，在質(zhì)心系中，三者的運(yùn)動(dòng)是周期往復(fù)的.

這個(gè)問題主要在于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)非彈性碰撞模型和彈性碰撞模型的特點(diǎn)進(jìn)行比較.

解析：從t=0時(shí)刻開始到第一次碰撞前瞬間，x軸方向完成了一次完全非彈性碰撞，如上所述，A,B球碰前的相對(duì)速度為

三者的x軸方向達(dá)到共速

已知恢復(fù)系數(shù)，可求碰后相對(duì)速度大小為

(3)假設(shè)圓環(huán)形細(xì)管道與A,B小球質(zhì)量相等均為m，且有兩個(gè)對(duì)稱的缺口P1和P2，如圖3所示，位置已經(jīng)由方位角φ標(biāo)定，A，B球?qū)⒃谌笨谔幋┏?，在大桌面上某處相?求相碰時(shí)兩球與管道中心O之間的距離以及兩球從缺口穿出后到小球相碰的過程中圓環(huán)形細(xì)管道經(jīng)過的路程[1].

圖3 圓環(huán)形軌道的兩個(gè)對(duì)稱缺口

這個(gè)問題旨在引導(dǎo)學(xué)生在不同的參考系中觀察物體的運(yùn)動(dòng).先以細(xì)管為參考系，設(shè)小球穿出前的運(yùn)動(dòng)看成是隨圓環(huán)形細(xì)管以u(píng)的速度的同時(shí)相對(duì)大圓環(huán)做速度為v的圓周運(yùn)動(dòng)，A，B球相對(duì)大圓環(huán)從缺口處穿出后三者都做勻速直線運(yùn)動(dòng)，如圖4所示.所以，兩小球會(huì)在Q點(diǎn)碰撞，此時(shí)Q與O之間的距離為

圖4 兩球從缺口處穿出在Q點(diǎn)碰撞

設(shè)小球穿出缺口到相碰經(jīng)歷時(shí)間t，小球相對(duì)管道經(jīng)過路程為

Rcotφ=vt

接下來我們回到實(shí)驗(yàn)室參考系，在上述這段時(shí)間內(nèi)，圓環(huán)形細(xì)管相對(duì)大桌面經(jīng)過的路程為

又穿出前系統(tǒng)動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒

mu+2m(vcosφ+u)=2mv0

以上就是筆者在實(shí)際的物理競(jìng)賽培訓(xùn)時(shí)對(duì)一道習(xí)題的處理方式，可操作性強(qiáng)，學(xué)生積極性很高，思維訓(xùn)練量大，學(xué)生能緊扣物理內(nèi)在規(guī)律，建模能力得到了非常明顯的提高.