王靚玥，郭延寧，馬廣富

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 哈爾濱，150001）

引 言

火星是距離地球最近的類地行星，自1960年起，人類就開始了火星探測(cè)的步伐，截止目前一共進(jìn)行了43次火星探測(cè)任務(wù)[1]。2016年1月，中國(guó)火星探測(cè)項(xiàng)目正式立項(xiàng)。然而，已發(fā)射的火星探測(cè)器失敗率高達(dá)50%，較大一部分探測(cè)器是由于未成功進(jìn)行捕獲制動(dòng)而任務(wù)失敗，如俄羅斯1973年7月發(fā)射的“火星5號(hào)”，美國(guó)1999年12月發(fā)射的“火星氣候探測(cè)者”等[2]?；鹦侵苿?dòng)捕獲階段器地時(shí)延大，且機(jī)會(huì)唯一，是探測(cè)器飛行全過(guò)程中最為重要的階段。火星制動(dòng)捕獲是指在探測(cè)器接近火星時(shí)對(duì)探測(cè)器制動(dòng)減速，使探測(cè)器能夠被火星引力吸引進(jìn)入火星環(huán)繞軌道，而不飛掠或撞擊火星。捕獲策略的選擇對(duì)探測(cè)器的總體設(shè)計(jì)及探測(cè)任務(wù)的規(guī)劃有直接影響[3]，高性能的捕獲策略是火星環(huán)繞及著陸任務(wù)開展的重要前提條件。因此分析研究火星制動(dòng)捕獲策略對(duì)火星探測(cè)任務(wù)的成功開展至關(guān)重要。

火星同地球一樣，具有大氣，因此捕獲制動(dòng)可分為兩類。一類為大氣捕獲制動(dòng)，即探測(cè)器不經(jīng)制動(dòng)直接進(jìn)入火星大氣，利用大氣的摩擦阻力進(jìn)行減速[4]。呂靜[5]等針對(duì)大氣制動(dòng)捕獲，分別建立了在旋轉(zhuǎn)大氣和靜止大氣環(huán)境下的火星捕獲模型，對(duì)任務(wù)耗時(shí)、探測(cè)器承受熱量等進(jìn)行比較分析。另一類為直接捕獲制動(dòng)，即利用探測(cè)器的推力器制動(dòng)實(shí)現(xiàn)軌道捕獲，可分為直接捕獲、勻速捕獲、變速捕獲3類。李軍鋒[3]等針對(duì)有限推力模型，利用粒子群優(yōu)化算法和最優(yōu)控制對(duì)軌道半長(zhǎng)軸和偏心率進(jìn)行約束，對(duì)燃料最優(yōu)捕獲、姿態(tài)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)和姿態(tài)慣性定向捕獲策略即本文中的變速捕獲、勻速捕獲、直接捕獲策略進(jìn)行仿真比較，得到燃料最優(yōu)捕獲制動(dòng)效果最好，但工程上不易實(shí)現(xiàn)等結(jié)論，但對(duì)3種捕獲策略的比較不夠全面系統(tǒng)。羅續(xù)盛[6]等利用多目標(biāo)粒子群算法優(yōu)化控制參數(shù)，以消耗燃料和入軌近火點(diǎn)的高度誤差為雙目標(biāo)，對(duì)3種制動(dòng)捕獲策略進(jìn)行分析，得到勻速捕獲策略可為實(shí)際任務(wù)優(yōu)先選用，且雙目標(biāo)提供更全面的決策信息。閔學(xué)龍[4]等研究了這兩類火星制動(dòng)捕獲策略，并對(duì)任務(wù)耗時(shí)及速度增量進(jìn)行了仿真分析比較，得到大氣捕獲策略速度需求小，制動(dòng)耗時(shí)長(zhǎng)，過(guò)載大，直接捕獲策略速度需求大，制動(dòng)耗時(shí)短等結(jié)論。由于火星大氣成分復(fù)雜多變，大氣捕獲對(duì)探測(cè)器隔熱性能要求高，制動(dòng)過(guò)程耗時(shí)長(zhǎng)，直接捕獲更具有工程應(yīng)用價(jià)值。

影響火星制動(dòng)捕獲性能的因素較多，比如制動(dòng)捕獲方案的選取、推力發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火時(shí)刻的選取、推力發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī)條件設(shè)計(jì)、推力發(fā)動(dòng)機(jī)最大推力約束、目標(biāo)過(guò)渡軌道設(shè)計(jì)等[12]。對(duì)于直接捕獲制動(dòng)情況，目前文獻(xiàn)中提到的已有的制動(dòng)捕獲方案包括定向捕獲、勻速捕獲、變速捕獲等3種，而目前公開發(fā)表的文獻(xiàn)中關(guān)于這3種捕獲方案的系統(tǒng)對(duì)比分析較少，此外，關(guān)于推力發(fā)動(dòng)機(jī)的點(diǎn)火時(shí)刻、關(guān)機(jī)條件或過(guò)渡軌道設(shè)計(jì)等因素對(duì)制動(dòng)捕獲效果的影響研究也較少。

基于此，本文建立了火星探測(cè)器制動(dòng)捕獲過(guò)程中簡(jiǎn)化的動(dòng)力學(xué)二體模型和姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型，針對(duì)3種典型的制動(dòng)捕獲方案分別給出了詳細(xì)的期望姿態(tài)定義，通過(guò)設(shè)定特定遠(yuǎn)火點(diǎn)高度作為過(guò)渡軌道條件，在只進(jìn)行一次點(diǎn)火制動(dòng)的情況下，定量地對(duì)3種策略進(jìn)行分析比較。并以變速捕獲制動(dòng)為例，對(duì)不同點(diǎn)火時(shí)刻的制動(dòng)效果進(jìn)行仿真比較，以探尋燃料最優(yōu)的點(diǎn)火時(shí)刻。鑒于零控速度偏差（ZEV）和零控位移偏差/零控速度偏差（ZEM/ZEV）的制導(dǎo)方法已成功應(yīng)用于彈道導(dǎo)彈攔截、小行星攔截等實(shí)際任務(wù)，并已取得成功案例[7-8]，本文探索了ZEV和ZEM/ZEV制導(dǎo)策略在火星制導(dǎo)捕獲中的應(yīng)用。

1 火星探測(cè)器制動(dòng)捕獲動(dòng)力學(xué)建模

1.1 軌道動(dòng)力學(xué)建模

理論上，天體引力場(chǎng)可以達(dá)到空間無(wú)窮遠(yuǎn)處，但在一定范圍內(nèi)，某個(gè)天體產(chǎn)生的引力起主導(dǎo)作用?；鹦翘綔y(cè)器在接近火星至被火星捕獲的過(guò)程中，火星探測(cè)器受到太陽(yáng)、火星、火衛(wèi)及太陽(yáng)系其他大質(zhì)量天體的引力作用，屬于多體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。由于距離等多因素的影響，其它天體對(duì)火星探測(cè)器產(chǎn)生的引力大小相對(duì)于火星對(duì)探測(cè)器產(chǎn)生的引力可以忽略，同時(shí)，考慮火星為勻質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)球體，即忽略火星的非球形引力攝動(dòng)項(xiàng)，可將火星制動(dòng)捕獲問(wèn)題簡(jiǎn)化為二體模型。

探測(cè)器的軌道動(dòng)力學(xué)方程如式（1）所示

其中：r為探測(cè)器的在火心慣性坐標(biāo)系（MCI）的位置矢量；v為探測(cè)器的速度矢量；μm為火星的引力常數(shù)；Isp為探測(cè)器推力發(fā)動(dòng)機(jī)真空比沖；m為探測(cè)器的質(zhì)量；F為推力器產(chǎn)生的制動(dòng)力。

1.2 姿態(tài)跟蹤控制建模

在火星制動(dòng)捕獲過(guò)程中，由于僅配置一個(gè)大推力發(fā)動(dòng)機(jī)用于產(chǎn)生控制加速度，在施加不同方向的推力時(shí)，必須配合姿態(tài)控制系統(tǒng)完成。姿態(tài)跟蹤控制的數(shù)學(xué)模型可由式（2）表示[9]

2 3種典型制動(dòng)捕獲策略

設(shè)期望坐標(biāo)系三軸的單位矢量在MCI的坐標(biāo)為(i,j,k)，探測(cè)器捕獲點(diǎn)火時(shí)刻的初始速度矢量為v0，位置矢量為r0。

火心慣性坐標(biāo)系到期望坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣，可以如式（3）表示

2.1 定向捕獲

定向捕獲方式是指探測(cè)器的指向在MCI中始終保持固定，推力發(fā)動(dòng)機(jī)向一個(gè)固定的方向輸出推力。

定向捕獲方式以探測(cè)器點(diǎn)火時(shí)刻的姿態(tài)為整個(gè)制動(dòng)捕獲時(shí)刻的期望姿態(tài)指向，即始終保持探測(cè)器姿態(tài)不變，即推力方向始終為制動(dòng)捕獲點(diǎn)火時(shí)刻的反方向。當(dāng)探測(cè)器軌道參數(shù)中的遠(yuǎn)地點(diǎn)高度下降到一定閾值以后即可停止捕獲。

(id,jd,kd)的確定方式如式（4）

其中：id方向?yàn)樗俣确捶较颍籮d方向?yàn)檐壍婪ㄏ?；kd方向與id、jd成右手系。

2.2 勻速捕獲

由于定向捕獲方式推力方向與速度方向不始終在同一直線上，只有沿速度矢量方向的推力分量才會(huì)對(duì)探測(cè)器產(chǎn)生阻尼制動(dòng)作用，推力利用率低。為了提高推力的利用率，將探測(cè)器的捕獲軌道近似為圓軌道，使探測(cè)器在軌道平面內(nèi)勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角速度的選取如文獻(xiàn)[10]所示。停止捕獲條件同定向捕獲。

(ic,jc,kc)的確定方式如式（5）

其中：ωMean為探測(cè)器勻速變化的角速度；?t為制動(dòng)捕獲過(guò)程開始后經(jīng)歷的時(shí)間；R2為期望坐標(biāo)系勻速旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)換矩陣。

2.3 變速捕獲

為了最大限度地利用推力，主推力器在空間中輸出推力方向應(yīng)始終沿著速度矢量的反方向。變速捕獲方式需要實(shí)時(shí)測(cè)量探測(cè)器的速度矢量，制動(dòng)捕獲過(guò)程的期望姿態(tài)應(yīng)隨著速度矢量的改變而改變。停止捕獲條件同定向捕獲。

(it,jt,kt)的求法如下

2.4 仿真校驗(yàn)

取制動(dòng)捕獲點(diǎn)火時(shí)刻為探測(cè)器距離火星位置最近的時(shí)刻，其速度矢量、位置矢量由進(jìn)入火星影響球半徑的速度矢量、位置矢量自由運(yùn)動(dòng)求得，仿真條件參照羅續(xù)盛[6]等的論文，如表1所示。

通過(guò)Matlab軟件對(duì)公式（4）～（6）對(duì)應(yīng)的3種捕獲模式進(jìn)行數(shù)值仿真，3種捕獲模式下探測(cè)器的運(yùn)行軌跡如圖1所示，軌道平面如圖2所示。3種捕獲模式的仿真結(jié)果及優(yōu)缺點(diǎn)如表2所示。

圖1 探測(cè)器運(yùn)行軌跡圖Fig. 1 Trajectory of probe

從圖1可以看出，定向捕獲探測(cè)器的運(yùn)動(dòng)軌跡最長(zhǎng)，間接反映了該捕獲模式耗時(shí)最長(zhǎng)。主推力器開啟后，燃料消耗與捕獲耗時(shí)成正比，故定向捕獲燃料消耗最多。從表2和圖2可得，當(dāng)勻速捕獲角速度選取較為合適時(shí)，勻速捕獲與變速捕獲的制動(dòng)效果相當(dāng)。

圖2 探測(cè)器運(yùn)行的軌道平面圖Fig. 2 Orbital plane of probe running

表2 仿真結(jié)果及優(yōu)缺點(diǎn)Table 2 Simulation result, merits and demerits

定向捕獲推力發(fā)動(dòng)機(jī)在空間中向一個(gè)固定方向輸出推力，捕獲過(guò)程實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，但探測(cè)器的速度矢量實(shí)時(shí)變化，其推力器利用率低，制動(dòng)捕獲過(guò)程耗時(shí)長(zhǎng)，燃料消耗多，一般在實(shí)際任務(wù)中較少使用。

勻速捕獲在角速度選取合理時(shí)，耗時(shí)短，消耗燃料少，制動(dòng)效果與變速捕獲相當(dāng)，但其制動(dòng)效果的優(yōu)劣嚴(yán)重依賴于角速度的選取。一般在實(shí)際任務(wù)中常作為備選方案使用。

變速捕獲的制動(dòng)效果最優(yōu)，推力發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生制動(dòng)力方向始終沿著速度矢量的反方向，推力器燃料消耗低，但需要實(shí)時(shí)速度信息反饋，制動(dòng)效果受反饋信息精度影響。在實(shí)際任務(wù)中一般選擇變速捕獲方式，如歐洲航天局（European Space Agency，ESA）發(fā)射的“火星快車號(hào)”（Mars Express）[11]。

3種捕獲策略的近火點(diǎn)的高度均在200 km以上，有足夠的余量保證探測(cè)器因誤差原因而受到火星大氣摩擦，導(dǎo)致不可控影響或因火星表面不平撞到火星。

3 變速捕獲策略點(diǎn)火時(shí)刻分析

3.1 定量分析

以2.4節(jié)選擇變速捕獲策略為例，探測(cè)器的點(diǎn)火時(shí)刻為近火點(diǎn)時(shí)刻。為了定量的比較不同點(diǎn)火時(shí)刻的制動(dòng)捕獲效果，其中考慮近火點(diǎn)時(shí)刻為0 s，仿真可得不同點(diǎn)火時(shí)刻對(duì)應(yīng)的捕獲過(guò)程耗時(shí)和耗燃料曲線如圖3所示，不同點(diǎn)火時(shí)刻對(duì)應(yīng)的捕獲軌道中距火星表面的最近和最遠(yuǎn)距離如圖4所示。

圖3 不同點(diǎn)火時(shí)刻耗時(shí)、耗燃料Fig. 3 Time and fuel consumption of ignition time

圖4 不同點(diǎn)火時(shí)刻距火星最遠(yuǎn)、近距離Fig. 4 The furthest and nearest distance from Mars of ignition time

由圖3～4仿真數(shù)據(jù)可得，點(diǎn)火的最優(yōu)時(shí)刻在探測(cè)器到達(dá)近火點(diǎn)前688 s，此時(shí)的制動(dòng)捕獲時(shí)間為1 268.4 s，消耗燃料為1 235.9 kg。燃料消耗較近火點(diǎn)時(shí)刻點(diǎn)火減少6.7%左右，制動(dòng)耗時(shí)減少6.7%左右，捕獲后軌道近火點(diǎn)最高。探測(cè)器的點(diǎn)火時(shí)刻不宜在探測(cè)器到達(dá)近火點(diǎn)后，其制動(dòng)捕獲的耗時(shí)過(guò)長(zhǎng)，消耗燃料過(guò)多，且制動(dòng)捕獲后軌道的近火點(diǎn)高度過(guò)低。

為推廣得到更為一般性的結(jié)論，改變2.4節(jié)中的仿真條件，對(duì)各個(gè)工況下的制動(dòng)捕獲進(jìn)行打靶仿真，仿真條件及結(jié)果如表3所示，不同點(diǎn)火時(shí)刻對(duì)應(yīng)的捕獲過(guò)程耗時(shí)和耗燃料曲及不同點(diǎn)火時(shí)刻對(duì)應(yīng)的捕獲軌道中的最近和最遠(yuǎn)距離曲線由于篇幅原因不詳細(xì)給出。

表3 不同工況仿真條件及結(jié)果Table 3 Simulation results of different conditions

3.2 定性分析

由仿真示例推廣可得，探測(cè)器燃料最優(yōu)點(diǎn)火時(shí)刻為探測(cè)器到達(dá)近火點(diǎn)前制動(dòng)耗時(shí)一半左右對(duì)應(yīng)的時(shí)刻。點(diǎn)火時(shí)刻不宜選擇探測(cè)器到達(dá)近火點(diǎn)后，其制動(dòng)捕獲的耗時(shí)過(guò)長(zhǎng)，消耗燃料過(guò)多，不利于探測(cè)器的設(shè)計(jì)與控制，且制動(dòng)捕獲后軌道的近火點(diǎn)高度過(guò)低，探測(cè)器有撞到火星表面的危險(xiǎn)。

4 基于ZEM/ZEV的制動(dòng)捕獲策略

零控速度偏差（ZEV）、零控位移偏差（ZEM）最早應(yīng)用于制導(dǎo)技術(shù)，在彈道導(dǎo)彈攔截，小行星攔截等工程應(yīng)用中已取得一定成功。本文將ZEV、ZEM/ZEV制導(dǎo)策略應(yīng)用于火星捕獲任務(wù)，設(shè)計(jì)基于ZEV、ZEM/ZEV閉環(huán)制導(dǎo)的制導(dǎo)捕獲策略，以實(shí)現(xiàn)特定捕獲過(guò)渡軌道。

4.1 ZEV制動(dòng)捕獲策略

給定制動(dòng)捕獲任務(wù)初末時(shí)刻t0和tf，以及制動(dòng)捕獲點(diǎn)速度矢量r0，位置矢量v0，期望時(shí)刻的速度矢量vf，考慮基于加速度平方積分形式的性能指標(biāo)如式（7）所示。

ZEV指在不控情況下，探測(cè)器的期望速度矢量與由當(dāng)前時(shí)刻自由運(yùn)行到期望時(shí)刻的速度矢量之差。ZEV表征當(dāng)前狀態(tài)同期望狀態(tài)的速度差?？捎墒剑?）表示

利用性能指標(biāo)及約束條件得到最優(yōu)加速度如式（9）

其中：tgo=tf?t為剩余飛行時(shí)間。

4.2 ZEM/ZEV制動(dòng)捕獲策略

給定制動(dòng)捕獲任務(wù)初末時(shí)刻t0和tf，以及制動(dòng)捕獲點(diǎn)火時(shí)刻速度矢量r0，位置矢量v0，期望時(shí)刻的速度矢量vf，位置矢量rf，考慮基于加速度平方積分形式的性能指標(biāo)如式（7）所示。

ZEM/ZEV指在不控情況下，探測(cè)器的期望速度矢量、位移矢量與由當(dāng)前時(shí)刻自由運(yùn)行到期望時(shí)刻的速度、位移矢量之差。ZEV由式（8）所示，ZEM可由式（10）表示

由文獻(xiàn)[7～8]可得，最優(yōu)控制律表達(dá)式如式（11）所示

4.3 仿真校驗(yàn)

以變速捕獲制動(dòng)結(jié)束時(shí)的速度、位置矢量作為期望時(shí)刻的速度、位置矢量，取2.4節(jié)的仿真結(jié)果作為本次仿真條件，即制動(dòng)捕獲時(shí)間為1 358.8 s，初始及期望速度、位置矢量如表4所示。仿真結(jié)果如表5所示，仿真結(jié)果圖由于篇幅原因不詳細(xì)給出。

表4 ZEV、ZEM/ZEV仿真條件Table 4 Simulation conditions of ZEV and ZEM/ZEV

表5 新型捕獲策略仿真結(jié)果Table 5 Simulation results of the new capture strategy

由仿真結(jié)果可以看出ZEV和ZEM/ZEV制動(dòng)捕獲策略可以獲得和變速捕獲相當(dāng)?shù)闹苿?dòng)效果，并且能滿足特定的末端位置/速度約束。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文首先對(duì)火星探測(cè)器捕獲問(wèn)題進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，并闡述了3種典型捕獲策略的原理，通過(guò)典型數(shù)值仿真進(jìn)行分析比較，系統(tǒng)地總結(jié)了3種捕獲策略的優(yōu)缺點(diǎn)，得到定向捕獲策略控制簡(jiǎn)單、實(shí)現(xiàn)容易但燃料消耗高；勻速捕獲燃料消耗低但制動(dòng)捕獲效果嚴(yán)重依賴角速度的選??；變速捕獲燃料消耗低但需要實(shí)時(shí)速度信息的結(jié)論。進(jìn)一步地，通過(guò)數(shù)值分析不同的點(diǎn)火時(shí)刻，得到結(jié)論：探測(cè)器自點(diǎn)火點(diǎn)飛行至近火點(diǎn)消耗時(shí)間為制動(dòng)捕獲總時(shí)間一半時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)火時(shí)刻為最優(yōu)點(diǎn)火時(shí)刻。同時(shí)，當(dāng)期望時(shí)刻位置矢量、速度矢量已知時(shí)，設(shè)計(jì)的基于ZEM/ZEV的閉環(huán)制導(dǎo)捕獲策略不僅能夠獲得與變速捕獲相當(dāng)?shù)牟东@效果，而且能夠滿足特定的末端位置/速度約束，可作為實(shí)際任務(wù)的一種備選方案。此外，未來(lái)可以分析最佳點(diǎn)火距離或設(shè)計(jì)新型制動(dòng)捕獲策略以期為實(shí)際探火任務(wù)提供理論支撐。