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        求解無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的非單調(diào)自適應(yīng)信賴(lài)域方法

        2020-08-11 04:10:36徐明明
        科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新 2020年20期
        關(guān)鍵詞:非球面信賴(lài)特征值

        徐明明

        (成都理工大學(xué),四川 成都610059)

        1 概述

        傳統(tǒng)的求解無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的迭代方法是行搜索方法或信賴(lài)域方法。很多學(xué)者通過(guò)改進(jìn)信賴(lài)域半徑以及非單調(diào)項(xiàng)來(lái)提高信賴(lài)域方法的魯棒性以及加快收斂速度。

        2 問(wèn)題的提出

        考慮無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題:

        在傳統(tǒng)信賴(lài)域方法中,通過(guò)解決以下子問(wèn)題,選擇一個(gè)試驗(yàn)步驟dk:

        其中g(shù)k∈Rn和Hk∈Rn分別是在當(dāng)前迭代點(diǎn)xk處f(x)的梯度和Hessian 矩陣的近似。||·||是歐氏范數(shù),δk>0 是當(dāng)前迭代點(diǎn)的信賴(lài)域半徑。

        3 新的非單調(diào)自適應(yīng)信賴(lài)域方法

        在這一部分中,提出了一種新的非單調(diào)自適應(yīng)信賴(lài)域算法,該算法是基于文獻(xiàn)[1]中提出的非球面信賴(lài)域半徑與文獻(xiàn)[2]中提出的一種新的非單調(diào)比率。

        在文獻(xiàn)[1]中,作者提出了一種非球面信賴(lài)域的非單調(diào)信賴(lài)域算法。

        首先,介紹了一種基于Hessian 矩陣在當(dāng)前迭代點(diǎn)的特征值,然后將非單調(diào)搜索策略與信任區(qū)域方法相結(jié)合。其算法如下:

        將λki設(shè)置為在迭代點(diǎn)xk處Hessian 矩陣Hk的第i 個(gè)特征值。通過(guò)Ger觢gorin Circle theorem,得到:

        然后,在迭代點(diǎn)xk處的第i 維中的非球面信賴(lài)域的尺度可以由

        確定。也就是說(shuō),試驗(yàn)步驟dk在(2)中的第i 個(gè)元素dki在[-δki,δki]中是有界的。

        利用(4),可以將球面信賴(lài)域轉(zhuǎn)換為非球面信賴(lài)域。因此,子問(wèn)題(2)轉(zhuǎn)換為

        為了進(jìn)一步調(diào)整信賴(lài)域,引入了以下兩個(gè)參數(shù):

        為了提高信賴(lài)域算法的計(jì)算效率以及增強(qiáng)收斂性,文獻(xiàn)[2]提出來(lái)一種新的非單調(diào)項(xiàng):

        其中

        其中是滿足下列條件的正序列:

        信賴(lài)域比率如下:

        基于以上兩種方法,本文提出了新的信賴(lài)域算法:

        Step3:在迭代點(diǎn)xk處求解子問(wèn)題(5)。

        Step4:計(jì)算fk+1,通過(guò)(4)計(jì)算δki,

        Step6:令xk+1=xk+dk,mk=min{k,M},k:=k+1 轉(zhuǎn)Step2。

        4 結(jié)論

        本文提出的新的非單調(diào)自適應(yīng)信賴(lài)域算法,是文獻(xiàn)[1]與文獻(xiàn)[2]的優(yōu)點(diǎn)的一個(gè)融合。以后,會(huì)對(duì)本算法進(jìn)行進(jìn)一步的研究。

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