王宗信

我們對數(shù)的認(rèn)識是不斷深入的，同學(xué)們學(xué)習(xí)了自然數(shù)（零和正整數(shù)）、分?jǐn)?shù)、負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)，知道了有理數(shù)的概念.本章將在有理數(shù)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)無理數(shù)（無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，如π等），這樣數(shù)的概念就從有理數(shù)擴(kuò)充到了實數(shù)，實際上人類從發(fā)現(xiàn)無理數(shù)到正確認(rèn)識無理數(shù)，經(jīng)歷了漫長、曲折的歷史過程，相對于其他章的內(nèi)容，本章內(nèi)容雖說比較少，但都很重要，

一、從平方根、立方根去認(rèn)識某些無理數(shù)

我們知道有理數(shù)的乘法法則是：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘.任何數(shù)與0相乘，積仍為0.數(shù)x的平方運(yùn)算記為X2，就是這個數(shù)x自己乘以自己，即x2=x·x.要分三種情況考慮：①x<0;②x=0;③x>0.因為負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)，0的平方是0.正數(shù)的平方還是正數(shù)，所以任何一個有理數(shù)的平方要么是正數(shù)，要么是0.也就是說一個有理數(shù)的平方不可能是負(fù)數(shù)，即x2≥0.

我們重點討論x2=a（a>0），那么符合條件的數(shù)x應(yīng)該有兩個，它們互為相反數(shù)（比如x2=g，x可以是3.也可以是-3），這兩個數(shù)叫作a的平方根，記作±√a，其中正的平方根+ √a叫作正數(shù)a的算術(shù)平方根，并且二次根號“√ ”前的“+”可以省略不寫，比如3是9的算術(shù)平方根，即√9=3.

在生活中，人們經(jīng)常用多少平方米來表述建筑面積.同學(xué)們最熟悉的正方形的面積是邊長的平方，如果正方形的邊長分別是1.2，3，…，n，…，那么這些正方形的面積依次是1，4，9，…，n2，….如果正方形的面積是2，3，5，7，8等整數(shù)，那么它們的邊長又分別是哪些數(shù)呢？

我們不妨具體研究一下面積為2的正方形，我們設(shè)其邊長為x，則x是2的算術(shù)平方根，即x=√2、√3是有理數(shù)嗎？如果它是有理數(shù)，那么一定是介于1和2之間的一個有理數(shù)，因為面積為1和4的正方形邊長分別為1和2.下面我們來進(jìn)行探索.

假設(shè)√2是有理數(shù)，那么存在兩個互質(zhì)的正整數(shù)m，n，使得、√2=n/m，去分母得

√2m=n，兩邊同時平方得2m2=n2，顯然2m2是偶數(shù)，則n2必然也是偶數(shù)，所以n是偶數(shù).可以設(shè)n=2y，代人2m2=n2，得2m2=（2y）2，即m2=2y2，由此可以推出m也是偶數(shù)，這與“兩個互質(zhì)的正整數(shù)m.n”矛盾.所以√2不可以表示成一個分?jǐn)?shù)的形式.不是分?jǐn)?shù)就不可能是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，而且√2不可能是整數(shù)，

綜上所述，√2不是整數(shù)，不是有限小數(shù)，不是無限循環(huán)小數(shù).√2只能是無限不循環(huán)小數(shù).

同學(xué)們可以仿照上面的方法來說明√3了也是無限不循環(huán)小數(shù)，試一試！

我們把無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù).像√3、√5、√6、√7、√8、√9、√10√11、√12、√13、√14、√15、√17…

二、認(rèn)識實數(shù)

有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù).

需要特別指出的是，當(dāng)數(shù)的范圍從有理數(shù)擴(kuò)充到實數(shù)后，一個實數(shù)只可能是：整數(shù)、有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)、無限不循環(huán)小數(shù).其中前三種都是有理數(shù)，第四種是無理數(shù).這樣數(shù)軸上每一個點表示的數(shù)要么是有理數(shù)，要么是無理數(shù).也就是說，實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的，即每一個實數(shù)在數(shù)軸上都有唯一的一個點來對應(yīng)，反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示唯一的一個實數(shù)，相應(yīng)地，與規(guī)定有理數(shù)的大小一樣，對于數(shù)軸上的任意兩個點，右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大，

有理數(shù)中的運(yùn)算法則同樣適用于實數(shù)，實數(shù)之間不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、乘方運(yùn)算，而且正數(shù)和0可以進(jìn)行開平方運(yùn)算，任意一個實數(shù)都可以進(jìn)行開立方運(yùn)算.