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        深度理解實數(shù)

        2020-08-10 08:59:31孔凡哲
        關(guān)鍵詞:畢達(dá)哥拉斯乘方對角線

        孔凡哲

        在人類發(fā)展史上,沒有哪一類數(shù)像實數(shù)一樣,蘊(yùn)涵如此多的故事,這些故事不是傳說,而是史實.就讓我們到歷史長河中探尋實數(shù)背后的故事吧.

        一、根植于豐富文化中的實數(shù)

        在人類文明發(fā)展史中,古希臘時期是一個永遠(yuǎn)無法忽略的時期.這個時期,為數(shù)眾多的數(shù)學(xué)家做出了永載史冊的貢獻(xiàn).

        以數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯為首的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出了“萬物皆數(shù)”,即世間萬物的所有數(shù)都可以表示為兩個整數(shù)之比的形式.

        真是這樣嗎?那個時代,人類尚未認(rèn)識到負(fù)數(shù),當(dāng)時的數(shù)是指0以及今天所說的正數(shù),可以這樣說,當(dāng)時所說的數(shù),除了自然數(shù),就是小數(shù).

        自然數(shù)可以寫成分母為1的兩個自然數(shù)之比的形式,對于有限小數(shù),當(dāng)然可以化成分?jǐn)?shù),但是,對于無限循環(huán)小數(shù),比如,0.35,該怎么辦呢?事實上,對于0.35,設(shè)它為x,于是.100x=35+x,從而,x=35/99.

        如此,“萬物皆數(shù)”的觀點是“對”的.

        可是,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一位學(xué)者,無意中發(fā)現(xiàn):將兩個邊長為1的小正方形分別沿著一條對角線剪開,得到四個完全一樣的等腰直角三角形,將其拼成一個大正方形,這個大正方形的面積自然是2,它的邊長a既不是1,也不是2,而在1和2之間不可能存在其他的自然數(shù),如果a是分?jǐn)?shù)(分子、分母不能約分),那么,a·a肯定還是一個分?jǐn)?shù),而且,分子、分母依然不能約分,自然不能等于2.這就奇怪了!

        這個事實意味著,用小正方形的邊長1作為單位,度量面積為1的這個正方形的對角線,是無法度量的!“萬物皆數(shù)”的神話破滅了!

        這個驚人的事實震驚了所有人,按照畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的規(guī)矩,發(fā)現(xiàn)這個“奇怪結(jié)論”的人被處以重罰——據(jù)說,他在一條行駛的船上講述他的發(fā)現(xiàn),行刑者將其裝入麻袋投入水中.

        但是,√2是“淹不死”的!

        在隨后的歷史進(jìn)程中,人們接受了這個事實!不僅√2被發(fā)現(xiàn),而且√3,√5等陸續(xù)被發(fā)現(xiàn).這就是無理數(shù)的由來!

        二、深度理解多重含義的實數(shù)

        實數(shù)是由有理數(shù)和無理數(shù)組成的,有理數(shù)都可以表示為兩個整數(shù)之比的形式,即分?jǐn)?shù).而無理數(shù)其實是非?!坝欣怼钡模∷暮x非常豐富.

        首先,無理數(shù)是真實存在的.

        、/丁是邊長為1的正方形的對角線的長(如下頁圖1所示),、/了是邊長分別為1和2的長方形的對角線的長,、/了是邊長分別為、/7萬和1的長方形的對角線的長(如下頁圖2所示),而邊長分別為、/7歹和1的長方形,其對角線的長為2.

        對于非零自然數(shù)n,邊長分別為1和√n的長方形,其對角線的長就是√n+1.

        其次,無理數(shù)是無限小數(shù),

        我們已經(jīng)知道,√2是面積為2的正方形的邊長.如圖3所示,面積為2的正方形的邊長a肯定在1到2之間.因為面積越大,邊長越長,所以邊長分別為1,a,2的正方形面積之間的關(guān)系為:122=2<22.可以清楚直觀地看出a在1和2之間,a的整數(shù)位上的數(shù)一定是1,可十分位上的數(shù)是多少沒有辦法看出來.

        我們可以用0.1,0.01,0.001,…作為間距,依靠計算器探索它的十分位上的數(shù),百分位上的數(shù),千分位上的數(shù)……如表1所示,可以發(fā)現(xiàn)a介于1.414 2與1.414 3之間.

        a肯定是一個無限小數(shù),因為假如a是一個小數(shù)點后有n位的有限小數(shù),那么,a·a一定是一個小數(shù)點后有2n位的有限小數(shù),而不可能是2.

        最后,無理數(shù)具有不循環(huán)性,事實上,若無理數(shù)是循環(huán)小數(shù),根據(jù)無限循環(huán)小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù),則它就不是無理數(shù)了,

        三、數(shù)形結(jié)合理解實數(shù)

        實數(shù)和有理數(shù)一樣,可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算,而且有理數(shù)的運(yùn)算法則與運(yùn)算律對實數(shù)仍然適用,

        在學(xué)習(xí)無理數(shù)之前,有理數(shù)對應(yīng)的點密密麻麻地分布在數(shù)軸上,但是有空隙.無理數(shù)對應(yīng)的點將數(shù)軸上有理數(shù)對應(yīng)的點之間的空隙填滿,至此實數(shù)對應(yīng)的點填滿了整個數(shù)軸,數(shù)軸上的每一個點,都可以唯一對應(yīng)一個實數(shù).也就是說,實數(shù)可以表示任意一條線段的長度,并且同一條線段只有一個長度.

        其實,我們可以用無限小數(shù)將所有的實數(shù)表示出來.因為任意有限小數(shù)也可以寫成無限小數(shù)的形式,只要是從某位之后永遠(yuǎn)是9就可以了,例如5.38=5.379 999 99….你能解釋這個問題嗎?

        事實上,利用實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)的關(guān)系,我們可將實數(shù)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為點的位置關(guān)系,數(shù)軸正方向指向右方,數(shù)軸上右邊的點所表示的數(shù)比左邊的點所表示的數(shù)要大.恰當(dāng)利用這個性質(zhì),可以解決許多問題.

        例1 (2019年廣東)實數(shù)a ,b在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖4所示,下列式子成立的是(

        ).

        A.b

        B.-a

        C.a+b>0

        D.a/b<0

        6

        解析:由數(shù)軸可知,一21>b,-2

        特別地,可以利用正方形邊長與面積之間的相互關(guān)系“邊長越大,正方形的面積也越大:反之亦然”判斷邊長的大小關(guān)系,對于兩個無理數(shù)(或者兩個實數(shù)),當(dāng)判斷其大小較困難時,有時也可以利用其平方之后的大小關(guān)系進(jìn)行判斷.

        對于a>0,b>0的情形:若a2>b2,則a>b.

        對于a<0, b<0的情形:若a2>b2,則a

        例2 比較10/3和√11的大小.

        實數(shù)是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要內(nèi)容.在學(xué)習(xí)本章之前,數(shù)學(xué)內(nèi)容都是在有理數(shù)的范圍內(nèi)討論的,學(xué)習(xí)了本章之后,我們就可以在實數(shù)范圍內(nèi)研究數(shù)學(xué)問題,本章的主要內(nèi)容是平方根和立方根的概念和求法,實數(shù)的有關(guān)概念和運(yùn)算.實數(shù)的學(xué)習(xí)為后面學(xué)習(xí)二次根式、一元二次方程等知識打下堅實的基礎(chǔ),

        四、實數(shù)對加、減、乘、除(除數(shù)不為0)乘方運(yùn)算都是封閉的

        實數(shù)可以進(jìn)行加、減、乘、除(除數(shù)不為0)、乘方運(yùn)算,運(yùn)算的結(jié)果仍然是實數(shù),這就是說,運(yùn)算是封閉的,非負(fù)數(shù)(正數(shù)和0)可以進(jìn)行開平方運(yùn)算.任意一個實數(shù)可以進(jìn)行開立方運(yùn)算.

        在進(jìn)行實數(shù)的運(yùn)算時,有理數(shù)的運(yùn)算法則及運(yùn)算律,以及有理數(shù)關(guān)于絕對值和相反數(shù)的意義,都適用于實數(shù).

        在學(xué)習(xí)實數(shù)的過程中,有一些知識點容易混淆,需要進(jìn)一步明確,比如,無理數(shù)都是無限小數(shù),但無限小數(shù)不都是無理數(shù);帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù),不帶根號的數(shù)不一定是有理數(shù);兩個無理數(shù)的和、差、積、商不一定是無理數(shù);一個有理數(shù)與一個無理數(shù)的和、差一定是無理數(shù),但是,它們的積、商可能是有理數(shù)等,

        例3在實數(shù)原有運(yùn)算基礎(chǔ)上,補(bǔ)充新運(yùn)算“*”如下:

        當(dāng)a≥b時,a*b=b2;當(dāng)a

        當(dāng)x=√2時,(1*x).x-(3*x)=____.(“·”和“一”仍為實數(shù)運(yùn)算中的乘號和減號)

        解析:本題用“*”定義了一種新運(yùn)算,關(guān)鍵是深刻理解新運(yùn)算符號“*”的意義,再將新運(yùn)算轉(zhuǎn)化為熟悉的加、減、乘、除、乘方等運(yùn)算.

        在實數(shù)中,解決新定義運(yùn)算型問題與解決常規(guī)的混合運(yùn)算問題區(qū)別不大,只要按照新定義運(yùn)算的規(guī)律、法則將其轉(zhuǎn)化為熟悉的運(yùn)算即可.

        練一練

        1.如果在實數(shù)原有運(yùn)算基礎(chǔ)上,新定義“@”的運(yùn)算法則為x@y =xy -1,那么,(2@3)@4=____.

        2.(2019年寧波)請寫出一個小于4的無理數(shù):____.

        參考答案:1. 19 2.答案不唯一,如√15等,

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