何金哲　孔繁強(qiáng)　劉慶友　張游　周恒驥

摘? 要：該文根據(jù)空間三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、逆解易得的特性，設(shè)計了一種空間三自由度的并聯(lián)打磨機(jī)器人。建立了機(jī)構(gòu)運(yùn)動方程，得到了動平臺姿態(tài)與3條支鏈變形量的關(guān)系?；贏dams軟件對建立的三維模型進(jìn)行仿真，并通過樣機(jī)模擬得到機(jī)構(gòu)的工作參數(shù)。仿真和試驗結(jié)果表明，這種打磨機(jī)器人能夠完成空間曲面的打磨，該機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡單，控制方便，具有廣泛的應(yīng)用價值。

關(guān)鍵詞：打磨機(jī)器人;空間三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu);運(yùn)動學(xué)逆解;Adams仿真

中圖分類號：TP242.2? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0 引言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有串聯(lián)機(jī)構(gòu)不可比擬的獨(dú)特優(yōu)勢，如承載能力強(qiáng)、誤差小、自重負(fù)荷比小、動力性能好、控制容易等結(jié)構(gòu)特性，并聯(lián)機(jī)器結(jié)構(gòu)可以大幅減少其零件數(shù)以及減少制造成本和庫存成本，同時更加容易組裝和模塊化。除此以外，并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有運(yùn)動學(xué)逆解求取容易的特性，很好地滿足了打磨任務(wù)的要求。基于以上優(yōu)點(diǎn)，該文采用并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)空間曲面的軌跡運(yùn)動。

傳統(tǒng)打磨機(jī)構(gòu)主要針對XY平面維度上的應(yīng)用，而空間曲面的打磨要求打磨機(jī)構(gòu)在三維空間曲面內(nèi)的靈活自如地運(yùn)動（Z軸以及繞坐標(biāo)軸的α和β方向的運(yùn)動（平動、轉(zhuǎn)動））。1985年克拉維爾設(shè)計的Delta型并聯(lián)機(jī)構(gòu)[1]經(jīng)過幾十年的發(fā)展得到了廣泛應(yīng)用，經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)Delta型并聯(lián)機(jī)構(gòu)很好地實(shí)現(xiàn)了三維空間的平動，但由于其動平臺的姿態(tài)始終不變，因此無法滿足需要。1965年，德國Stewart[2]發(fā)明了六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，通過6個獨(dú)立液壓缸實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)六自由度運(yùn)動，可以很好地滿足需求，但因為機(jī)構(gòu)自由度的增加導(dǎo)致求解過程非常復(fù)雜，所以增加了控制的難度且大大增加了生產(chǎn)的成本。3-RRR球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)球面三自由度，且該類機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)正反解都很簡單，是一種應(yīng)用很廣泛的三維移動空間機(jī)構(gòu)，Alige Eye[3-4]作為三自由度并聯(lián)機(jī)器人中的一種，理論上的工作空間為完整球面，但經(jīng)過驗證發(fā)現(xiàn)，實(shí)物加工困難且對精度要求高，容易出現(xiàn)各類碰撞干涉。此外，打磨也需要機(jī)構(gòu)具有良好的承載能力和穩(wěn)定性，而Alige Eye獨(dú)特的結(jié)構(gòu)很難滿足這一定要求。根據(jù)人類踝關(guān)節(jié)的運(yùn)動特征可知，踝關(guān)節(jié)具有3個轉(zhuǎn)動自由度，具有高度的靈活性和穩(wěn)定性[5]，對此該文結(jié)合并聯(lián)式踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)和3-RSS/S并聯(lián)機(jī)構(gòu)的特點(diǎn)，提出了一種空間三自由度并聯(lián)打磨機(jī)器人機(jī)構(gòu)，分析打磨機(jī)構(gòu)的運(yùn)動方程，通過仿真和樣機(jī)試驗驗證了打磨機(jī)構(gòu)能適應(yīng)工件曲面打磨加工的場景。

1 三自由度并聯(lián)打磨機(jī)器人設(shè)計

1.1 機(jī)構(gòu)描述

該機(jī)構(gòu)由動平臺、靜平臺、打磨裝置、3條相同的支鏈和一個約束軸構(gòu)成。其中動平臺（上平臺）與打磨裝置相連，靜平臺（下平臺）可以通過快換裝置與機(jī)床或機(jī)械臂末端相連，3對支鏈從上到下由1個球頭（球副）、電缸（移動副）、十字萬向節(jié)（轉(zhuǎn)動副）構(gòu)成。支鏈通過球頭和萬向節(jié)分別與動平臺、靜平臺相連。約束軸和動平臺通過球頭連接約束動平臺的活動范圍，同時還起到支撐動平臺、高結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的作用，機(jī)械結(jié)構(gòu)如圖1所示。

1.2 機(jī)構(gòu)自由度計算

三自由度并聯(lián)打磨機(jī)器人采用的是空間三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，自由度M計算公式為

（1）

式中：n為機(jī)構(gòu)中的活動構(gòu)件數(shù)，g為運(yùn)動副數(shù)，fi為第i個運(yùn)動副的自由度數(shù)，該機(jī)構(gòu)的活動構(gòu)件數(shù)n=7，運(yùn)動副數(shù)g=9，空間機(jī)構(gòu)d=6，其中6個運(yùn)動副的自由度為1（f=1），3個運(yùn)動副的自由度為3（f=3），應(yīng)用公式

M=6×（7-9）+（6×1+3×3）=3 （2）

由自由度計算公式可知，該三自由度并聯(lián)打磨機(jī)器人有3個轉(zhuǎn)動自由度，滿足空間打磨的需要。

2 機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)分析

2.1 三自由度并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動模型的建立

三自由度并聯(lián)機(jī)器人是通過3條支鏈將動、靜平臺連接起來的閉環(huán)機(jī)構(gòu)。在該機(jī)構(gòu)中有3條相同的支鏈，每條支鏈從下到上依次為轉(zhuǎn)動副R、虎克鉸u、移動副P、球鉸S。以第4條支鏈為中心支撐桿，使用單一球鉸連接動、靜平臺，靜平臺上3條支鏈的3個點(diǎn)A1，A2，A3分別位于以靜平臺中心為圓心，半徑為100 mm的圓上（即支鏈與靜平臺連接點(diǎn)處），動平臺上3條鏈的3個點(diǎn)B1，B2，B3分別位于以動平臺中心為圓心，半徑為100 mm的圓上（即支鏈與動平臺的連接點(diǎn)處），動平臺厚度為5 mm，動靜平臺之間的距離為200 mm。具體示意圖如圖2所示。

2.2 三自由度并聯(lián)機(jī)器人位置反解分析

在描述三自由度并聯(lián)機(jī)器人的位姿時，采用的運(yùn)動學(xué)研究方法是將三維坐標(biāo)增廣為四維坐標(biāo)，將剛體的旋轉(zhuǎn)和平移納入一個四階方陣中，通過歐拉旋轉(zhuǎn)方程將平移、旋轉(zhuǎn)與矩陣運(yùn)算聯(lián)系起來。對于選定的靜平臺坐標(biāo)系{A}，空間中任意點(diǎn)P的位置可用3×1的列向量表示，即

（3）

式中：PX，PY，PZ分別是點(diǎn)P在坐標(biāo)系{A}中分別沿X，Y，Z方向上的分量。為了描述空間某剛體B的方位，需要在剛體B上建立一直角動坐標(biāo)系{B}，并將動坐標(biāo)系{B}與剛體B固連。用動坐標(biāo)系{B}的3個單位主矢量BX，BY，BZ分別與靜坐標(biāo)系{A}的AX，AY，AZ構(gòu)成的方向余弦矩陣來表示剛體B在坐標(biāo)系{A}中的位置姿態(tài)，即

（4）

式中：表示剛體B相對于坐標(biāo)系{A}的位置姿態(tài)，稱為旋轉(zhuǎn)矩陣。旋轉(zhuǎn)變換矩陣一般是通過繞X軸旋轉(zhuǎn)一個角度、繞Y軸旋轉(zhuǎn)一個角度以及繞Z軸旋轉(zhuǎn)一個角度來描述的。要完全描述剛體B在靜坐標(biāo)系{A}的位姿，首先要將動坐標(biāo)系{B}與剛體B固連。動坐標(biāo)系{B}的坐標(biāo)原點(diǎn)定在剛體B的中心點(diǎn)上。由于P點(diǎn)不能移動，因此（XP，YP，ZP）為（0，0，ZP） （ZP表示動平臺中心到靜平臺之問的距離為定值）。動坐標(biāo)系{B}相對于靜坐標(biāo)系{A}的原點(diǎn)位置和坐標(biāo)軸的方位分別用位置向量和旋轉(zhuǎn)矩陣來描述，即

空間任意點(diǎn)P在兩坐標(biāo)系{A}和{B}中的位置矢量分別為和 ，則它們之間具有以下變換關(guān)系：

基于前述分析，設(shè)動坐標(biāo)系B-XYZ為定坐標(biāo)系A(chǔ)-XYZ沿Z軸平移（0，0，200）后的坐標(biāo)系，繞Z軸轉(zhuǎn)a角，繞Y軸轉(zhuǎn)b角，最后繞X軸轉(zhuǎn)c角，對于旋轉(zhuǎn)次序，我們作如下規(guī)定

=rot（Z，a）rot（Y，b）rot（X，c）

式中：表示為坐標(biāo)系{B}相對于坐標(biāo)系{A}的旋轉(zhuǎn)矩陣。

則其歐拉角轉(zhuǎn)換矩陣為

=trans（0，0，200）rot（Z，a）rot（Y，b）rot（X，c）

則其歐拉角轉(zhuǎn)換矩陣為

式中：trans為{B}相對{A}的平移，rot為{B}相對{A}根據(jù)X，Y，Z軸旋轉(zhuǎn)給定的角度

通過MATLAB編程求解，可以求解出AP ，動平臺上的3點(diǎn)坐標(biāo)分別為B1（B1X，B1Y，B1Z），B2（B2X，B2Y，B2Z），B3（B3X，B3Y，B3Z），其中

靜平臺上3點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：

A1（-50， ，0），A2（-50，-，0），A3（100，0，0）

結(jié)合機(jī)構(gòu)特點(diǎn)與2點(diǎn)之間的距離公式可得，桿長為L1=︱A1B1︱，L2=︱A2B2︱，L3=︱A3B3︱。

將所得的A1，A2，A3，B1，B2，B3代入桿長計算公式中，初步給定a，b，c的運(yùn)行區(qū)間為[-π/12，12/π]，可求得相對應(yīng)的電動推桿桿長及其變化長度。

3 Adams仿真驗證

該文中設(shè)計的三自由度并聯(lián)打磨機(jī)器人有3個相同的對稱支鏈，每個支鏈上需要安裝一個驅(qū)動電機(jī)，考慮到電動推桿質(zhì)量較大，且末端執(zhí)行器是輕質(zhì)產(chǎn)品，系統(tǒng)的總動能主要分布在電動推桿上。因此在動力學(xué)建模時可對機(jī)器人進(jìn)行簡化：忽略動平臺和末端執(zhí)行器質(zhì)量以及動能。

首先使用三維軟件SolidWorks進(jìn)行建模，確定三維模型的參數(shù)尺寸。模型主要包括靜平臺、動平臺、電動推桿等36個部件，其中電動推桿初始長度都是200 mm。在ADAMS環(huán)境下建立運(yùn)動仿真模型，其姿態(tài)變化如圖3所示。打磨裝置在3條由電動推桿組成的支鏈的帶動下，可以根據(jù)工件的形狀進(jìn)行打磨。

添加運(yùn)動函數(shù)：

X向平移=0.005×time×sin（2×pi×time）

Y向平移自由

Z向平移=0.005×time×cos（2×pi×time）

繞X旋轉(zhuǎn)自由

繞Y旋轉(zhuǎn)=0×time

繞Z旋轉(zhuǎn)自由

設(shè)置仿真時間5 s，步長500步進(jìn)行簡單驗證

測量出電動推桿位移、速度、加速度隨時間的關(guān)系圖如圖4，圖5，圖6所示。

仿真結(jié)果表明，電動推桿速度、加速度曲線連續(xù)且變化平滑，關(guān)鍵位置速度、加速度接近0，滿足軌跡規(guī)劃要求。在仿真過程中，運(yùn)動能夠平穩(wěn)運(yùn)行，具有良好的穩(wěn)定性，適合打磨場景。

4 樣機(jī)及實(shí)驗

4.1 樣機(jī)的電路系統(tǒng)

動力源選用了12 V的電動推桿，并且可以通過編碼器的反饋精確控制電動推桿的伸長量，電機(jī)驅(qū)動選用了L298N的直流電機(jī)驅(qū)動，可以通過改變PWM的大小來改變電機(jī)的轉(zhuǎn)速跟轉(zhuǎn)向，完成對電機(jī)轉(zhuǎn)角的閉環(huán)控制，姿態(tài)傳感器選用的JY61，可以通過和主控板的串口通信，得到當(dāng)前機(jī)構(gòu)的滾轉(zhuǎn)角（X軸）、俯仰角（Y軸）、偏航角（Z軸）的反饋值（姿態(tài)角解算時所使用的坐標(biāo)系為東北天坐標(biāo)系），主控板采用的STM32F407。上位機(jī)跟主控板之間也通過串口通信，主控板接收上位機(jī)發(fā)出的設(shè)定角度值。另外，機(jī)構(gòu)上端的打磨頭由無刷電機(jī)帶動，機(jī)構(gòu)開始運(yùn)動時，打磨頭開始旋轉(zhuǎn)，滿足打磨物體的需求。

4.2 控制思路

通過上位機(jī)向主控板發(fā)送數(shù)據(jù)，得到所需角度的設(shè)定值。主控板對所需角度的設(shè)定值跟當(dāng)前的實(shí)際角度相減，并將相差值等分一定值之后，得到一個每次角度的累加值，通過對三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動方程的逆解，得到要到達(dá)設(shè)定角度時，每一根推桿應(yīng)該移動的距離。主控板與電動推桿之間連接有電機(jī)驅(qū)動L298N，再通過電動推桿上的編碼器的反饋值構(gòu)成閉環(huán)控制，實(shí)現(xiàn)對每根推桿桿長移動距離的精確控制。在不斷累加的過程中，得到的姿態(tài)反饋值會和設(shè)定值不斷比較，直到兩者差值小于設(shè)定閾值時，表明機(jī)構(gòu)已經(jīng)達(dá)到所需的姿態(tài)。由于機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)的特性，如果要使機(jī)構(gòu)按預(yù)定的運(yùn)動軌跡運(yùn)動，就需要計算出所需軌跡上的多個（盡可能多的）細(xì)分的點(diǎn)，使機(jī)構(gòu)按上述流程不斷擬合這些軌跡上的點(diǎn)，從而擬合所需軌跡，實(shí)現(xiàn)軌跡運(yùn)動?？刂屏鞒毯驮韴D如圖7，圖8所示。

5 結(jié)語

通過分析空間三自由度并聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)特性，列出并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置逆解的表達(dá)式，通過MATLAB軟件的分析計算，并結(jié)合Adams軟件對打磨軌跡進(jìn)行仿真，驗證了機(jī)構(gòu)的可行性。通過樣機(jī)搭建，簡單模擬了打磨場景，可以滿足空間曲面的打磨要求。

小型三自由度打磨機(jī)器人因其優(yōu)越的結(jié)構(gòu)構(gòu)造，使得其具有更好的性價比，更適合大批量生產(chǎn)，在保證產(chǎn)品精密和高質(zhì)量的同時，也能優(yōu)化生產(chǎn)效率和成本。將小型三自由度打磨機(jī)器人應(yīng)用于拋磨工藝，有助于提高機(jī)械加工的效率，降低生產(chǎn)成本，可以給拋磨業(yè)的發(fā)展提供一定的幫助。

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