廣東省普寧市華僑中學(xué)(515300) 陳鑫城

從近五年不等式選講模塊的高考試題來看,考查的重點有:絕對值函數(shù)、絕對值不等式的求解、含絕對值不等式的參數(shù)范圍問題;不等式的證明與綜合應(yīng)用等.高考的熱點為絕對值不等式的求解.試題為中檔難度,一般有兩個設(shè)問,基本上都含有參數(shù),經(jīng)常以含絕對值的函數(shù)來表示不等關(guān)系,本文選擇的2020 廣東一模的不等式選講題目主要是考查絕對值不等式的解法和利用不等式恒成立求參數(shù)的范圍.

1 試題呈現(xiàn)

題目(2020年廣東省一模第23 題)已知函數(shù)f(x)=

(1)當k=1 時,解不等式f(x)≤1;

(2)若f(x)≥x對于任意的實數(shù)x恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

2 難點解讀

第一問考查絕對值不等式的解法相對簡單,在此不作研究.本文主要研究的是第二問利用不等式的恒成立求參數(shù)范圍的幾種常見的做法.

解法1(數(shù)形結(jié)合)f(x)≥x對于任意的實數(shù)x恒成立,即在R 上恒成立,也即在R 上恒成立,令

作出y=g(x)的圖象如圖所示:要使|x?k|≥g(x)在R 上恒成立,則函數(shù)y=|x?k|的圖象應(yīng)恒在函數(shù)y=g(x)的圖象的上方,由數(shù)形結(jié)合可得k≤?1,所以k的取值范圍(?∞,?1].

點評數(shù)形結(jié)合思想是貫穿高中課程的主線,也是數(shù)學(xué)最本質(zhì)的思想方法之一,它的實質(zhì)是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系和直觀的圖形結(jié)合起來,它包括“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面,本題應(yīng)用數(shù)形結(jié)合將在R 上的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=|x?k|的圖象應(yīng)恒在函數(shù)y=g(x)的圖象的上方問題,有效的避免了繁瑣的分類討論.

解法2形如|f(x)|＜g(x),|f(x)|＞g(x)型不等式,可以把g(x)看成一個大于零的常數(shù)a進行求解,即:|f(x)|＜g(x)??g(x)＜f(x)＜g(x),|f(x)|＞g(x)?f(x)＞g(x)或f(x)＜?g(x).

f(x)≥x對于任意的實數(shù)x恒成立,即|x?k|≥在R 上恒成立,令

令g(x)≤0 解得x≤?1,也即當x≤?1 時,|x?k|≥0≥g(x)恒成立.

當x＞?1 時,|x?k|≥g(x)恒成立?x?k≥g(x)或x?k≤?g(x)恒成立.

①由x?k≥g(x)恒成立得,恒成立,即所以k≤?1.

②由x?k≤?g(x)恒成立得,恒成立,顯然這樣的k不存在.綜上所述,所以k≤?1.

點評|f(x)|＞g(x)?f(x)＞g(x)或f(x)＜?g(x),主要源自|x|＞a(a＞0)不等式的解法,所以在應(yīng)用時要特別注意g(x)＞0,也即首先需要對g(x)≤0 進行討論,部分同學(xué)會因為忽略了這一點,就容易在①那里求錯k的范圍,由恒成立直接得k≤?2,導(dǎo)致錯解.所以,教師在給學(xué)生講授解題方法時,要特別注意強調(diào)方法的應(yīng)用條件.

解法3(通過構(gòu)造函數(shù),將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題,然后再結(jié)合零點分段法求最值)令g(x)=f(x)?x=恒成立?g(x)≥0 恒成立?g(x)min≥0

若k=?3,則由g(x)≥0 解得x ∈R,滿足條件.

若k＞?3,則所以g(x)在(?∞,k)單調(diào)遞減,(k,+∞)在單調(diào)遞增,所以所以?3＜k＜?1.

若k＜?3,則g(x)=所以g(x)在(?∞,?3)單調(diào)遞減,在(?3,+∞)單調(diào)遞增,所以g(x)min=g(?3)=?k?2≥0,所以k≤?2,又k＜?3,所以k＜?3.綜上所述,k≤?1.

點評通過構(gòu)造函數(shù),將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題是解決恒成立問題常用的方法,從解題過程我們可以看出分類討論的標準還是比較清晰的,主要就是對兩個零點的大小進行討論,但因分類較多,也導(dǎo)致了計算比較繁瑣,無疑增加了解題的難度,那么什么情況更適合使用這種方法呢? 如果題目中的兩個零點的大小已知,可以嘗試使用這種方法.如以下題目:

例已知函數(shù)f(x)=|x|+2|x?a|(a＞0),若不等式f(x)≥4 對一切x ∈R 恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

題目中的含絕對值部分的零點分別是x1=0,x2=a,又因為a＞0,所以這時候x1＜x2,這樣就極大的減少了分類討論的情況,這時使用這種方法就相對比較簡單.

解法4(逐段分類討論法(參考答案))由f(x)≥x對于任意的實數(shù)x恒成立,得對于任意的實數(shù)x恒成立.

當x≤?2 時,恒成立;當x＞?2 時,恒成立恒成立,即恒成立,當?2＜x≤?1 時,顯然恒成立,當x＞?1 時,恒成立或恒成立,即x≥2k+1 或恒成立.所以2k+1≤?1,解得k≤?1,所以實數(shù)k的取值范圍為{k|k≤?1}.

點評解法4 主要是對x進行逐段有序的分類討論,也充分應(yīng)用了方法二的思想在里面,需要學(xué)生具有扎實的分類討論功底,對學(xué)生的要求較高.在平時的學(xué)習(xí)過程中,教師可以多引導(dǎo)學(xué)生進行這方面的訓(xùn)練,提高解題能力.

研題心得通過如上探討各種方法的優(yōu)劣,及其適用條件,不僅能有效的梳理自己的知識體系,也可以給學(xué)生的解題提供巨大幫助,一題多解,不僅能更牢固地掌握和運用所學(xué)知識,而且,通過分析比較,尋找解題的最佳途徑和方法,能夠培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力.