劉素娟 包天悅 原大明

摘?要：在衛(wèi)星導航系統(tǒng)中，能同時接收到兩種衛(wèi)星信號的雙模接收機將發(fā)揮越來越重要的作用。在接收機單點定位中，通常采用最小二乘法。由于它需要進行多次迭代運算，導致計算量很大。針對這一問題，本文以GPS/GLONASS雙模接收機為例，提出了一種無須進行迭代運算的直接定位解算方法，將單點定位問題轉化為二元一次方程組求解。文中給出了直接定位解算方法的具體實現(xiàn)流程，實驗數(shù)據(jù)驗證了算法的有效性。

關鍵詞：衛(wèi)星導航;雙模接收機;單點定位;接收機鐘差;直接解算

中圖分類號：TP273文獻標識碼：A

衛(wèi)星導航系統(tǒng)在載體定位、導航以及授時領域有著非常廣泛的應用[1]。隨著衛(wèi)星導航系統(tǒng)的不斷完善與發(fā)展，目前已經(jīng)投入運行或者已經(jīng)具備成熟發(fā)展規(guī)劃的代表性衛(wèi)星導航系統(tǒng)主要包括：美國的GPS系統(tǒng)、俄羅斯的GLONASS系統(tǒng)以及中國的北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)等。對于接收機單點定位而言，目前主要采用最小二乘法及其各種改進方法[2]。最小二乘法首先根據(jù)接收機初始位置進行線性化展開，然后進行多次迭代直至滿足相關收斂準則。在最小二乘法中，迭代次數(shù)越多運算量越大，尤其當接收機初始坐標的誤差較大時運算量更大。

針對這一問題，本文提出一種無須迭代的直接定位解算方法用于GPS/GLONASS雙模接收機的單點定位解算，以降低定位解算過程的運算量。該方法首先對平方后的接收機偽距觀測方程進行差分處理，獲得接收機位置向量與接收機鐘差參數(shù)之間的數(shù)學表達式;然后將上述表達式與其他差分方程結合，得到以接收機鐘差作為未知參數(shù)的方程組;最后通過求解方程組實現(xiàn)接收機定位解算功能。

1 最小二乘法基本原理

在GPS/GLONASS雙模接收機中，假設分別有n1顆GPS衛(wèi)星與n2顆GLONASS衛(wèi)星參與定位解算過程，則偽距觀測方程可以表示為：

ρi=‖r-ri‖+α1，1SymbolcB@

iSymbolcB@

n1

ρi=‖r-ri‖+α2，（n1+1）SymbolcB@

iSymbolcB@

（n1+n2）（1）

以GPS為例，ρi表示接收機與第i顆衛(wèi)星之間的偽距觀測值，ri表示第i顆衛(wèi)星的三維坐標;α1與α2分別表示接收機與GPS系統(tǒng)以及GLONASS系統(tǒng)之間的接收機鐘差;r為接收機的三維位置坐標。求解接收機位置坐標與接收機鐘差的過程，即為定位解算。

令接收機的初始坐標為r0，將式（1）在r0處線性展開，得到：

Δρi=ρi-ρi0=hiΔrT+α1，1SymbolcB@

iSymbolcB@

n1

hiΔrT+α2，（n1+1）SymbolcB@

iSymbolcB@

（n1+n2）（2）

在式（2）中，ρi0=‖r0-ri‖，Δr=r-r0，hi=rT0-rTi/ρi0表示接收機與第i顆衛(wèi)星之間的方向余弦向量。

經(jīng)過線性化之后，將式（2）轉化為矩陣向量形式，即：

z=HΔx（3）

在式（3）中，未知參數(shù)向量Δx的最小二乘解為：

Δx=Δr?α1?α2T=（HTH）-1HTz（4）

根據(jù)Δr值，按照式（5）對接收機初始坐標進行更新：

r0=r0+Δr（5）

并重復上述線性化展開等多次迭代過程，直至‖Δr‖小于規(guī)定的閾值。式（5）表明，應用最小二乘法對GPS/GLONASS雙模接收機進行定位解算時，需要進行多次迭代，尤其是當接收機初始坐標的誤差較大時迭代次數(shù)更多。

2 GPS/GLONASS接收機直接定位解算方法

針對上述問題，本文提出了一種無須迭代的直接定位解算方法用于GPS/GLONASS雙模接收機的單點定位解算。

將接收機鐘差移至方程左邊并進行平方處理：

rTr-2rTir+rTiri=ρ2i-2ρiα1+α21，1SymbolcB@

iSymbolcB@

n1

ρ2i-2ρiα2+α22，（n1+1）SymbolcB@

iSymbolcB@

（n1+n2）（6）

選擇第一顆GPS衛(wèi)星與第一顆GLONASS衛(wèi)星作為參考衛(wèi)星，對經(jīng)過平方后的偽距觀測方程（6）進行差分處理：

μir=νiα1+ωi，1SymbolcB@

iSymbolcB@

（n1-1）

νiα2+ωi，n1SymbolcB@

iSymbolcB@

（n1+n2-2）（7）

在式（7）中，系數(shù)μi、νi以及ωi分別為：

μi=2（rTi+1-rT1），1SymbolcB@

iSymbolcB@

（n1-1）

2（rTi+n1+3-rTn1+1），n1SymbolcB@

iSymbolcB@

（n1+n2-2）（8a）

νi=2（ρi+1-ρ1），1SymbolcB@

iSymbolcB@

（n1-1）

2（ρi+n1+3-ρn1+1），n1SymbolcB@

iSymbolcB@

（n1+n2-2）（8b）

ωi=（ρ21-ρ2i+1）-（rT1r1-rTi+1ri+1），1SymbolcB@

iSymbolcB@

（n1-1）

（ρ2n1+1-ρ2i+n1+3）-（rTn1+1rn1+1-rTi+n1+3ri+n1+3），n1SymbolcB@

iSymbolcB@

（n1+n2-2）（8c）

在式（7）中，分別保留每個子系統(tǒng)的最后一個方程，然后根據(jù)剩余的n1+n2-4個方程將接收機位置坐標轉化為兩個接收機鐘差參數(shù)之間的函數(shù)，即：

μ1

…

μn1-2

μn1

…

μn1+n2-3r=α1ν1

…

νn1-2

0

…

0+α20

…

0

νn1

…

νn1+n2-3+ω1

…

ωn1-2

ωn1

…

ωn1+n2-3（9）

令矩陣A=μT1?…?μTn1+n2-2T，則式（9）可以簡化為：

Ar=α1b+α2c+d（10）

式（10）經(jīng)過整理，則接收機位置坐標可以表示為：

r=α1（ATA）-1ATb+α2（ATA）-1ATc+（ATA）-1ATd=α1bEuclid ExtrazB@

+α2cEuclid ExtrazB@

+dEuclid ExtrazB@

（11）

將式（10）中分別代入式（7）中每個子系統(tǒng)的最后一個方程，得到以兩個接收機鐘差之間為未知數(shù)的二元一次方程組，并整理得：

（μn1-1bEuclid ExtrazB@

-νn1-1）α1+（μn1-1cEuclid ExtrazB@

）α2=ωn1-1-μn1-1dEuclid ExtrazB@

（μn1+n2-2bEuclid ExtrazB@

）α1+（μn1+n2-2cEuclid ExtrazB@

-νn1+n2-2）α2=ωn1+n2-2-μn1+n2-2dEuclid ExtrazB@

（12）

求解方程組（12），得到接收機鐘差為：

α1=（μn1+n2-2cEuclid ExtrazB@

-νn1+n2-2）（ωn1-1-μn1-1dEuclid ExtrazB@

）-（μn1-1cEuclid ExtrazB@

）（ωn1+n2-2-μn1+n2-2dEuclid ExtrazB@

）（μn1+n2-2cEuclid ExtrazB@

-νn1+n2-2）（μn1-1bEuclid ExtrazB@

-νn1-1）-（μn1-1cEuclid ExtrazB@

）（μn1+n2-2bEuclid ExtrazB@

）

α2=（μn1+n2-2bEuclid ExtrazB@

）（ωn1-1-μn1-1dEuclid ExtrazB@

）-（μn1-1bEuclid ExtrazB@

-νn1-1）（ωn1+n2-2-μn1+n2-2dEuclid ExtrazB@

）（μn1+n2-2bEuclid ExtrazB@

）（μn1-1cEuclid ExtrazB@

）-（μn1-1bEuclid ExtrazB@

-νn1-1）（μn1+n2-2cEuclid ExtrazB@

-νn1+n2-2）（13）

進一步地，將接收機鐘差α1，α2代入式（11），即可以計算出接收機的位置坐標，從而實現(xiàn)接收機定位解算。從以上推導過程可以看出，本文提出的用于GPS/GLONASS雙模接收機的直接定位解算方法無須根據(jù)接收機初始坐標進行迭代計算，而是可以通過代數(shù)運算直接給出接收機位置坐標以及接收機鐘差的具體表達式。該方法避免了多次迭代過程，可以有效降低運算量。

3 實驗分析

為了檢驗本文方法的有效性，本節(jié)將采用實際的衛(wèi)星數(shù)據(jù)進行驗證，并與最小二乘法進行比較分析。所用數(shù)據(jù)來自文獻[3]，一共包含8顆GPS衛(wèi)星，如表1所示。在實驗過程中，將第5—8顆衛(wèi)星視為GLONASS衛(wèi)星。

根據(jù)表1，分別應用最小二乘法和本文提出的直接定位解算方法計算出GPS/GLONASS雙模接收機的位置坐標以及接收機鐘差，如表2所示。從表2可以看出，分別應用上述兩種方法進行定位解算時，定位結果的區(qū)別是完全可以忽略的。以GPS/GLONASS雙模接收機Y方向的定位結果為例，兩種方法的解算誤差為1×105米，這主要是由于計算過程的舍入誤差造成的。因此，本文提出的直接定位解算方法，其解算精度與最小二乘法是一致的。

4 結論

結果表明，相對于傳統(tǒng)方法，本文提出的直接定位解算方法無須迭代，可以直接給出接收機坐標與接收機鐘差的數(shù)學表達式，易于工程實現(xiàn)。

參考文獻：

[1]劉基余.全球導航衛(wèi)星系統(tǒng)及其應用[M].北京：測繪出版社，2015.

[2]Tabatabaei A，Khavari A，Shahhoseini H.Reliable Urban Canyon Navigation Solution in GPS and GLONASS Integrated Receiver Using Improved Fuzzy Weighted LeastSquare Method[J].Wireless Personal Communications，2017，94（4）：31813196.

[3]Lundberg J.Alternative algorithms for the GPS static positioning solution[J].Applied Mathematics and Computation，2001，119（1）：2134.

基金項目：東北石油大學引導性創(chuàng)新基金（2019QNQ—07）

作者簡介：劉素娟（1982—），女，碩士，講師，研究方向為控制理論與控制算法。