張好運(yùn),趙海涵,徐昕陽(yáng),薛 彬

(天津大學(xué)海洋科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,天津 300072)

1 引 言

自誕生以來(lái),光學(xué)頻率梳在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。光學(xué)頻率梳是一種新穎的功能強(qiáng)大的激光光源,它不僅具備了傳統(tǒng)激光光源的優(yōu)點(diǎn),比如高功率、優(yōu)秀的準(zhǔn)直性和單色性等,還有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。在時(shí)域內(nèi),光學(xué)頻率梳是一連串單個(gè)的脈沖,相鄰脈沖之間的時(shí)間間隔為T,單個(gè)脈沖的脈寬(半高全寬)可以窄至飛秒量級(jí)(甚至更窄)；在頻域內(nèi),光學(xué)頻率梳包含了一系列的等頻率間隔的頻率模式,單個(gè)頻率模式可以表示為m×frep+fceo。frep為光學(xué)頻率梳的重復(fù)頻率,frep=1/T,fceo為初始頻率偏移,m為一個(gè)整數(shù)。當(dāng)精密鎖定frep和fceo至一個(gè)外部頻率基準(zhǔn)時(shí),頻域內(nèi)光學(xué)頻率梳的每一個(gè)頻率模式就都具備了與外部頻率基準(zhǔn)一樣的頻率穩(wěn)定性,所以,基于光學(xué)頻率梳,可以實(shí)現(xiàn)光學(xué)頻率與微波頻率、光學(xué)頻率與光學(xué)頻率的一步連接[1]。正是由于光學(xué)頻率梳優(yōu)秀的時(shí)間和頻率穩(wěn)定性,在過(guò)去的20年里,光學(xué)頻率梳在許多的科學(xué)研究和工程應(yīng)用領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用,并取得了顯著的成果,比如絕對(duì)頻率測(cè)量[2]、精密光譜學(xué)[3]、天文光譜學(xué)[4]、時(shí)頻傳遞[5]、絕對(duì)距離測(cè)量[6-7]等。

地球70 %以上的表面積被海洋覆蓋,海洋蘊(yùn)藏著豐富的礦產(chǎn)資源,發(fā)展性能優(yōu)秀的海洋探測(cè)方法和設(shè)備,對(duì)研究海洋的物理和化學(xué)性質(zhì)、氣候與環(huán)境監(jiān)測(cè)、海洋勘探、漁業(yè)、航行、軍事等領(lǐng)域都具有重要的意義[8]?？茖W(xué)家們發(fā)現(xiàn)藍(lán)綠激光(480～540 nm)在水下傳輸時(shí),衰減系數(shù)較低。于是基于藍(lán)綠激光,水下激光通信[9]、機(jī)載激光雷達(dá)[10]、海底底質(zhì)探測(cè)[11]等應(yīng)用得到了廣泛的研究。需要注意的是,藍(lán)綠激光在水下傳輸時(shí),一個(gè)基本的問(wèn)題是水的折射率的測(cè)量,這直接影響了測(cè)量的精度。類似大氣折射率,純水的折射率也可以通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式(Harvey公式)計(jì)算得到,純水的折射率是激光波長(zhǎng)、溫度、和密度的函數(shù)[12],但是,每一個(gè)傳感器都會(huì)引入測(cè)量不確定度,同時(shí),經(jīng)驗(yàn)公式本身也存在不確定度?？茖W(xué)家們研究了許多直接測(cè)量水的折射率的方法,可分為折射原理和干涉原理。基于折射的原理,阿貝折射儀(Abbe refractometer)[13]可通過(guò)測(cè)量全反射臨界角實(shí)現(xiàn)水的折射率的測(cè)量,浦耳弗里許折射計(jì)(Pulfrich refractometer)[14]可通過(guò)測(cè)量折射角實(shí)現(xiàn)水的折射率的測(cè)量,但是,輔助棱鏡的折射率是必需的,并且需要精確地測(cè)量所需的角度值,這使得測(cè)量系統(tǒng)復(fù)雜,測(cè)量不確定度僅在10-4量級(jí)?；诟缮娴脑?科學(xué)家們也進(jìn)行了許多的探索。通常,在邁克爾遜干涉儀的測(cè)量路徑中設(shè)置水容器,當(dāng)水容器完全置于測(cè)量路徑中時(shí),未注水時(shí),測(cè)量測(cè)量臂與參考臂在空氣中的光程差,注水后,測(cè)量測(cè)量臂與參考臂的光程差,可計(jì)算得到水的折射率[15],所以水容器的幾何尺寸需要精確測(cè)量,于是水容器本身的熱膨脹會(huì)產(chǎn)生可觀的測(cè)量不確定度?？蓪y(cè)量鏡置于水容器內(nèi),測(cè)量鏡固定在位移臺(tái)上,移動(dòng)測(cè)量鏡,測(cè)得光程差的變化,測(cè)量鏡的幾何位移已知,可計(jì)算出水的折射率[16]。此外,也有自適應(yīng)的測(cè)量裝置實(shí)現(xiàn)水容器的熱膨脹的補(bǔ)償[17],測(cè)量不確定度可以達(dá)到優(yōu)于10-5。但是,現(xiàn)有的報(bào)道都是基于單色激光光源的條紋計(jì)數(shù)原理實(shí)現(xiàn)光程差的測(cè)量,這需要測(cè)量鏡的連續(xù)移動(dòng),且不能斷光,光學(xué)頻率梳作為測(cè)量光源可以解決這一問(wèn)題。光學(xué)頻率梳已經(jīng)用于測(cè)量玻璃[18]、硅片[19]等的厚度和折射率,然而用于水的折射率測(cè)量鮮有報(bào)道。

本文提出一種基于光學(xué)頻率梳光譜干涉實(shí)現(xiàn)純水的群折射率測(cè)量的方法,分析了光譜干涉測(cè)量水折射率的原理,搭建了實(shí)驗(yàn)裝置,在不同溫度下測(cè)量了純水的群折射率；實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,在不同溫度下,與參考值相比,測(cè)量不確定度在10-5量級(jí),表明該方法可以實(shí)現(xiàn)水的群折射率的高精度測(cè)量。

2 光譜干涉實(shí)現(xiàn)水的群折射率測(cè)量

圖1為光譜干涉的實(shí)驗(yàn)原理圖,光源發(fā)出一串連續(xù)的脈沖光,其在分束器處分為兩束光,一束進(jìn)入?yún)⒖急?在參考鏡處被反射,為參考脈沖光；一束進(jìn)入測(cè)量臂,在目標(biāo)鏡處被反射,為測(cè)量脈沖光；最后兩束被反射的光射入光譜儀,光譜發(fā)生相干干涉,觀察到光譜干涉條紋。光梳的中心角頻率為ωc,記參考脈沖光為Eref(t),對(duì)應(yīng)光譜為Eref(ω)；測(cè)量脈沖光為Epro(t),對(duì)應(yīng)光譜為Epro(ω)。

圖1 光譜干涉的原理

假設(shè)光梳發(fā)出的脈沖為理想高斯脈沖,則其光譜為理想高斯光譜,記為E(ω),進(jìn)而參考脈沖的光譜可以表示為:

Eref(ω)=αE(ω)

(1)

測(cè)量脈沖的光譜則可以表示為:

Epro(ω)=βE(ω)exp(-iτω)

(2)

其中,α和β為參考脈沖與測(cè)量脈沖的功率因子,參考脈沖與測(cè)量脈沖的功率比為α2/β2,α< 1,β< 1。理想情況下,邁克爾遜干涉系統(tǒng)中,光譜儀探測(cè)到的參考脈沖與測(cè)量脈沖的功率是嚴(yán)格相等的。

參考脈沖的光譜與測(cè)量脈沖的光譜發(fā)生干涉,光譜儀探測(cè)到的光譜強(qiáng)度可以表示為:

I(ω)=(Eref(ω)+Epro(ω))2

=〈(Eref(ω)+Epro(ω))(Eref(ω)+Epro(ω))*〉

=|Eref(ω)|2+|Epro(ω)|2+2Re[Eref(ω)Epro*(ω)]

=E2(ω)[α2+β2+2αβcos(τω)]

=E2(ω)[α2+β2+2αβcos(2k(ω)l)]

(3)

其中,k(ω)=ngω/c;ng為介質(zhì)的群折射率;c為真空中的光速。獲得干涉光譜條紋后,可以通過(guò)傅里葉變換,獲得解卷相位的斜率,求得光程差ngl[20]。

測(cè)量過(guò)程分為兩步:第一步,水容器未注水時(shí),可以測(cè)得測(cè)量臂與參考臂在空氣中的光程差為L(zhǎng)a,La=ngal,nga為空氣的群折射率,由Ciddor公式[21]計(jì)算可得；第二步,水容器注水,可以測(cè)得測(cè)量臂與參考臂在水中的光程差為L(zhǎng)w,Lw=ngwl,ngw為水的群折射率。所以水的群折射率ngw可以計(jì)算為:

(4)

由公式(4)可知,通過(guò)兩步測(cè)量后,我們可以實(shí)現(xiàn)水的群折射率的測(cè)量。但是,受光譜儀分辨率的限制,測(cè)量臂與參考臂的幾何長(zhǎng)度差l較小(最大毫米量級(jí)),無(wú)法實(shí)現(xiàn)任意位置的折射率測(cè)量。同時(shí),La和Lw的小的測(cè)量不確定度會(huì)帶來(lái)大的折射率的測(cè)量不確定度。我們?cè)O(shè)計(jì)了圖2所示的改進(jìn)型實(shí)驗(yàn)原理圖,不受光譜儀分辨率的限制,可實(shí)現(xiàn)任意位置的水的折射率的測(cè)量。如圖2所示,光源發(fā)出的光在分光鏡1處,被分為兩束,一束射入邁克爾遜干涉儀,一束經(jīng)分光鏡2、反射鏡1和反射鏡2后,在分光鏡4處與邁克爾遜干涉儀的輸出光合束,最后由光譜儀探測(cè),得到光譜干涉條紋。反射鏡2固定在精密掃描平臺(tái)上,可通過(guò)改變反射鏡2的位置,使得反射鏡2反射的光分別與參考光和測(cè)量光發(fā)生光譜干涉,從而獲得參考鏡與目標(biāo)鏡(即參考臂與測(cè)量臂)引入的光程差。

圖2 改進(jìn)后的光譜干涉測(cè)量折射率原理圖

改進(jìn)后的測(cè)量過(guò)程同樣分為兩步:第一步,水容器未注水,調(diào)節(jié)反射鏡2的位置,與參考光(即參考鏡反射的光)發(fā)生光譜干涉,可測(cè)得光程差Lra；移動(dòng)反射鏡2,與測(cè)量光(即測(cè)量鏡反射的光)發(fā)生光譜干涉,可測(cè)得光程差Lma；假設(shè)反射鏡2移動(dòng)的距離為Da,則測(cè)量臂與參考臂的光程差可以計(jì)算為L(zhǎng)a=Lma-Lra+ngaDa=ngaL。需要注意的是,反射鏡2的不同位置會(huì)引起Lma和Lra的正負(fù)變化,在我們以往的工作中[22],進(jìn)行了詳細(xì)的推導(dǎo)和分析,在此不再敘述。實(shí)驗(yàn)中,調(diào)節(jié)反射鏡2,使其總是滿足上式(即La=Lma-Lra+ngaDa)關(guān)系。第二步,水容器注水,調(diào)節(jié)反射鏡2的位置,分別測(cè)得與參考光和測(cè)量光的光程差為L(zhǎng)rw和Lmw,假設(shè)反射鏡2移動(dòng)的距離為Dw,則測(cè)量臂與參考臂的光程差可以計(jì)算為L(zhǎng)w=Lmw-Lrw+ngaDw=ngwL。則水的群折射率可以計(jì)算為:

(5)

由公式(4)和公式(5)可以看出,基于光學(xué)頻率梳的光譜干涉,可以實(shí)現(xiàn)水的群折射率的測(cè)量。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.1 小長(zhǎng)度下的水的群折射率測(cè)量實(shí)驗(yàn)

我們首先搭建了圖1所示原理圖的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)。光源為Menlo system orange,中心波長(zhǎng)為518 nm,光譜寬度為5 nm,重復(fù)頻率為100 MHz,輸出功率為500 mW。光譜儀為Thorlabs OSA201C。水容器材料為石英玻璃,熱膨脹系數(shù)較低,為5×10-7/℃。需要指出的是,在我們的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)設(shè)計(jì)中,將邁克爾遜干涉儀的參考鏡和測(cè)量鏡都置于水容器中,水容器熱膨脹會(huì)同時(shí)引起參考臂和測(cè)量臂的光程變化,所以參考臂和測(cè)量臂的光程差對(duì)水容器熱膨脹不敏感。圖3所示為所采用光源的光譜曲線,可以看出,中心波長(zhǎng)為約518 nm,光譜寬度為約5 nm。

圖3 采用光源的光譜曲線

圖4(a)所示為水容器未注水時(shí),光譜儀采集到的光譜干涉條紋,可以看出,參考光與測(cè)量光發(fā)生光譜干涉后,在原光譜曲線上(圖3所示),疊加了一個(gè)穩(wěn)定的交流調(diào)制頻率。圖4(b)所示為將圖4(a)中的光譜干涉條紋進(jìn)行傅里葉變換后,光譜干涉條紋包含的頻率成分,對(duì)應(yīng)的參考光與測(cè)量光的時(shí)間延遲為1.47 ps。圖4(c)所示為提取正的交流成分,對(duì)其進(jìn)行傅里葉反變換后,求得的卷裹的相位。圖4(d)所示為對(duì)圖4(c)所示卷裹相位解卷裹后的相位,可用解卷裹相位的斜率求得被測(cè)距離,所以,水容器未注水時(shí),測(cè)量臂與參考臂的光程差La可以計(jì)算為1.47 ps×299792458 m/s=440.7 μm。實(shí)驗(yàn)時(shí),環(huán)境參數(shù)為溫度24.2 ℃,氣壓99.47 kPa,相對(duì)濕度37 %,則空氣的群折射率nga可以計(jì)算為1.0002762。

圖4 未注水時(shí)光譜干涉數(shù)據(jù)處理過(guò)程

圖5(a)所示為水容器注水后,光譜儀采集到的光譜干涉條紋,可以看出,光譜干涉條紋的調(diào)制頻率增大了。圖5(b)所示為將圖5(a)中的光譜干涉條紋進(jìn)行傅里葉變換后,光譜干涉條紋包含的頻率成分,對(duì)應(yīng)的參考光與測(cè)量光的時(shí)間延遲為2.006 ps。所以,水容器注水后,測(cè)量臂與參考臂的光程差Lw可以計(jì)算為2.006 ps×299792458 m/s=601.7 μm。根據(jù)公式(4),水的群折射率可以計(jì)算為601.7/440.7×1.0002762=1.364987。

圖5 注水后光譜干涉數(shù)據(jù)處理過(guò)程

實(shí)驗(yàn)中,采用的水是自來(lái)水,溫度為25.7 ℃,密度為996.9 kg/m3,根據(jù)Harvey公式可以計(jì)算得水的群折射率為1.3651?？梢园l(fā)現(xiàn),我們的系統(tǒng)測(cè)得值與Harvey公式測(cè)得值差異為1.1×10-4。

3.2 大長(zhǎng)度下,不同溫度的水的群折射率測(cè)量實(shí)驗(yàn)

我們搭建了如圖2所示的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng),反射鏡2固定在掃描臺(tái)上,掃描臺(tái)為PI M521,最大行程200 mm。首先,水容器未注水時(shí),調(diào)節(jié)反射鏡2的位置,使其反射的光與參考光發(fā)生光譜干涉,測(cè)得的光譜干涉條紋如圖6(a)所示,圖6(b)為將圖6(a)的光譜干涉條紋傅里葉變換后的頻率成分,為5.332 ps。所以,Lra可以計(jì)算為5.332 ps×299792458 m/s=1.598 mm。實(shí)驗(yàn)時(shí),環(huán)境參數(shù)為溫度24.8 ℃,氣壓99.77 kPa,相對(duì)濕度38 %,則空氣的群折射率nga可以計(jì)算為1.00027728。調(diào)節(jié)反射鏡2的位置,使其反射的光與測(cè)量光發(fā)生光譜干涉,反射鏡2平移的距離Da為93.742 mm,測(cè)得的光譜干涉條紋如圖7(a)所示,圖7(b)為將圖7(a)的光譜干涉條紋傅里葉變換后的頻率成分,為3.108 ps。所以,Lma可以計(jì)算為3.108 ps×299792458 m/s=931.7 μm。

圖6 未注水時(shí)反射鏡2反射光與參考光光譜干涉數(shù)據(jù)處理過(guò)程

圖7 未注水時(shí)反射鏡2反射光與測(cè)量光譜干涉數(shù)據(jù)處理過(guò)程

水容器注水后,調(diào)節(jié)反射鏡2的位置,使其反射的光與參考光發(fā)生光譜干涉,測(cè)得的光譜干涉條紋如圖8(a)所示,圖8(b)為將圖8(a)的光譜干涉條紋傅里葉變換后的頻率成分,為1.772 ps。所以,Lrw可以計(jì)算為1.772 ps×299792458 m/s=531.2 μm。實(shí)驗(yàn)時(shí),環(huán)境參數(shù)為溫度24.8 ℃,氣壓99.77 kPa,相對(duì)濕度38 %,則空氣的群折射率nga可以計(jì)算為1.00027728。調(diào)節(jié)反射鏡2的位置,使其反射的光與測(cè)量光發(fā)生光譜干涉,反射鏡2平移的距離Dw為126.83 mm,測(cè)得的光譜干涉條紋如圖9(a)所示,圖9(b)為將圖9(a)的光譜干涉條紋傅里葉變換后的頻率成分,為2.436 ps。所以,Lmw可以計(jì)算為3.108 ps×299792458 m/s=730.3 μm。根據(jù)公式(5),水的群折射率可以計(jì)算為1.365168。

圖9 注水后反射鏡2反射的光與測(cè)量光的光譜干涉數(shù)據(jù)處理過(guò)程

圖8 注水后反射鏡2反射的光與參考光的光譜干涉數(shù)據(jù)處理過(guò)程

實(shí)驗(yàn)中,水的溫度為25.2 ℃,密度為997.1 kg/m3,根據(jù)Harvey公式可以計(jì)算得水的群折射率為1.36516?？梢园l(fā)現(xiàn),我們的系統(tǒng)測(cè)得值與Harvey公式測(cè)得值差異為8×10-6。

我們?cè)诓煌瑴囟认聦?duì)水的群折射率進(jìn)行了測(cè)量,實(shí)驗(yàn)中,水的溫度變化范圍為24 ℃到30 ℃,在每一個(gè)溫度點(diǎn)處,我們快速的測(cè)量10次。測(cè)得結(jié)果與Harvey公式計(jì)算結(jié)果比對(duì),結(jié)果如圖10所示。圖10中,縱坐標(biāo)為我們測(cè)得的結(jié)果與Harvey公式的差異,黑色實(shí)心點(diǎn)為10次測(cè)量結(jié)果的平均值,誤差空間為10次測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差。可以看出,我們測(cè)得的結(jié)果與Harvey公式的差異小于3.5×10-5,這表明,我們提出的方法可以高精度的實(shí)現(xiàn)水的群折射率的測(cè)量。

圖10 不同溫度下的測(cè)量結(jié)果

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

由3.1節(jié)和3.2節(jié)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比可知,大長(zhǎng)度場(chǎng)合下水的群折射率測(cè)量不確定度要優(yōu)于小長(zhǎng)度下的不確定度,這是由于小長(zhǎng)度下每一個(gè)被測(cè)物理量的小的擾動(dòng)對(duì)合成不確定度的相對(duì)影響都很大。本節(jié)我們主要以公式(5)為基礎(chǔ),對(duì)水的群折射率的測(cè)量不確定度進(jìn)行分析。根據(jù)公式(4),水的群折射率的測(cè)量不確定度可以計(jì)算為:

(6)

由于空氣群折射率的不確定度在10-8量級(jí),對(duì)合成不確定度的貢獻(xiàn)很小,所以在不確定度分析中忽略了空氣群折射率的貢獻(xiàn)。公式(6)右邊第一項(xiàng)是與Lmw相關(guān)的不確定度,采用快速測(cè)量10次Lmw的標(biāo)準(zhǔn)差作為L(zhǎng)mw的不確定度,Lmw的不確定度為1.5 μm,所以第一項(xiàng)可以計(jì)算為1.6×10-5；同理,右邊第二項(xiàng)中,Lrw的不確定度為1.6 μm,第二項(xiàng)可以計(jì)算為1.7×10-5；右邊第三項(xiàng)與掃描臺(tái)移動(dòng)距離Dw有關(guān),掃描臺(tái)的分辨率優(yōu)于1 μm,所以第三項(xiàng)可以計(jì)算為1×10-5；右邊第四項(xiàng)與Lma有關(guān),采用快速測(cè)量10次Lma的標(biāo)準(zhǔn)差作為L(zhǎng)ma的不確定度,Lma的不確定度為1.3 μm,所以第四項(xiàng)可以計(jì)算為1.4×10-5；同理,右邊第五項(xiàng)中,Lra的不確定度為1.2 μm,第五項(xiàng)可以計(jì)算為1.3×10-5；右邊第六項(xiàng)與掃描臺(tái)移動(dòng)距離Da有關(guān),掃描臺(tái)的分辨率優(yōu)于1 μm,所以第六項(xiàng)可以計(jì)算為1.5×10-5；此外,水容器的熱膨脹系數(shù)為5×10-7/℃,實(shí)驗(yàn)中溫度變化范圍為24 ℃到30 ℃,測(cè)量臂與參考臂的光程差為約126.83 mm,則水容器的熱膨脹為0.4 μm,對(duì)應(yīng)折射率的測(cè)量不確定度為3×10-6；最后,合成不確定度可以計(jì)算為3.52×10-5,與圖10所示實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。

5 結(jié) 論

光在水下或者海洋中傳輸時(shí),折射率的測(cè)量是一個(gè)基本且重要的問(wèn)題。本文基于518 nm光學(xué)頻率梳提出了一種光譜干涉實(shí)現(xiàn)水折射率測(cè)量的方法,設(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)系統(tǒng),系統(tǒng)不受光譜儀分辨率的限制,可以在任意長(zhǎng)度下實(shí)現(xiàn)水的折射率測(cè)量。為了消除水容器熱膨脹對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響,將邁克爾遜干涉儀整體設(shè)置在水容器中,并采用低熱膨脹系數(shù)的材料制備水容器。在不同溫度下,進(jìn)行了測(cè)量實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)對(duì)溫度變化不敏感。我們提出的方法測(cè)得的結(jié)果與參考值的差異小于 3.5×10-5,說(shuō)明我們提出的方法可以高精度地實(shí)現(xiàn)水的群折射率的測(cè)量。