凌健

有一年初三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期中試卷第28題的第（3）小題，筆者任教的兩個(gè)班得分率特別低，得滿(mǎn)分的寥寥無(wú)幾。為此筆者對(duì)這個(gè)題目進(jìn)行了深入的研究，試圖找出癥結(jié)所在，通過(guò)思考問(wèn)題的本質(zhì)，找到了其中的共性和特性。本文給出對(duì)該題的一題多解，解后反思及教學(xué)反思，期待與同行交流。

一、試題呈現(xiàn)

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（8，0），點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，6），點(diǎn)P從點(diǎn)O開(kāi)始沿軸向點(diǎn)以1 cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿y軸向點(diǎn)以相同的速度移動(dòng)，若P、Q同時(shí)出發(fā)，移動(dòng)時(shí)間為t（s）（0

（1）當(dāng)PQ//AB時(shí)，求t的值;

（2）是否存在這樣t的值，使得線(xiàn)段PQ將△AOB的面積分成1：5的兩部分。若存在，求出t的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;

（3）當(dāng) t=2時(shí)，試判斷此時(shí)△POQ的外接圓與直線(xiàn)AB

的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。

二、 解法展示

當(dāng)然，本題也可以用垂直的兩條直線(xiàn)斜率互為負(fù)倒數(shù)來(lái)解決，但由于超出了初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，這里就不予討論了。

三、命題思考

1.經(jīng)典問(wèn)題，推陳出新，有的放矢，考查素養(yǎng)。

這道期中壓軸題以一次函數(shù)為背景，推陳出新，圖形簡(jiǎn)潔，題干簡(jiǎn)約易懂。第3小題集中考查了判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，直角三角形外接圓的圓心確定方法，點(diǎn)到直線(xiàn)距離的精準(zhǔn)作圖能力，垂直條件的轉(zhuǎn)化方法，運(yùn)用基本思想和方法構(gòu)造基本圖形計(jì)算垂線(xiàn)段長(zhǎng)度等數(shù)學(xué)的核心概念和內(nèi)容。在解題的過(guò)程中對(duì)學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)都提出了很高的要求。

2.一題多解，發(fā)散思維，殊途同歸，考查能力。

本考題第3小題的設(shè)問(wèn)簡(jiǎn)潔，言簡(jiǎn)意賅，學(xué)生思路清晰，解法自然生成。判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵要找到圓的半徑r和圓心到直線(xiàn)的距離d。由于圖中沒(méi)有d，故第一步就是作d。接著要轉(zhuǎn)化垂直這個(gè)條件，方法很多，起到鍛煉學(xué)生思維的作用。比較常用的有等積轉(zhuǎn)化，構(gòu)造K型相似等等，針對(duì)本題定三角形定直線(xiàn)也可以找到最值等特殊的解法。解法的起點(diǎn)很低，但解題過(guò)程中卻困難重重，每一種方法都對(duì)解題的抽象思維和邏輯推理要求很高，試題的區(qū)分度明顯。

鬼斧神工的解法，無(wú)不以學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力為基礎(chǔ)，對(duì)學(xué)生能力的要求尤為突出。這些都給教師平時(shí)的教學(xué)提出了要求，指明了方向。

四、教學(xué)思考

1.要重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

王尚志教授指出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六個(gè)方面。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就是從已知條件出發(fā)，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，通過(guò)邏輯推理，數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)運(yùn)算等等解決問(wèn)題。在日常的教學(xué)過(guò)程中，要重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展，一切以學(xué)生的發(fā)展為中心，以生為本，培養(yǎng)能力。在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，要幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題，要幫助學(xué)生建立一套研究問(wèn)題的方法，創(chuàng)造足夠的時(shí)間和空間，讓學(xué)生自主探究和創(chuàng)造。

2.要重視對(duì)學(xué)生“四基”“四能”的培養(yǎng)。

教師在教學(xué)的過(guò)程中要高度重視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等內(nèi)容。在學(xué)習(xí)的過(guò)程中深化對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解并逐步遷移，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展的全過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。試卷中的試題，其本質(zhì)考查的是學(xué)生對(duì)書(shū)本上的基本概念和基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度和靈活應(yīng)用能力，因此不管題目的形式如何改變，但萬(wàn)變不離其宗。要引導(dǎo)學(xué)生注意基礎(chǔ)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系和對(duì)一些問(wèn)題通性通法的熟練掌握，重視基本技能和數(shù)學(xué)思維方法的應(yīng)用。本題我任教的兩個(gè)班級(jí)得分很低充分暴露出學(xué)生基礎(chǔ)不扎實(shí)和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力不足的短板。

3.要重視對(duì)經(jīng)典問(wèn)題的回顧和反思。

這道試題給了我們很多的教學(xué)啟示，比如，要重視對(duì)經(jīng)典問(wèn)題的回顧和反思。平時(shí)常考的一些問(wèn)題，要讓學(xué)生自己歸納總結(jié)。類(lèi)似的問(wèn)題，要讓學(xué)生總結(jié)題目的條件會(huì)有哪幾種形式，題目的問(wèn)題有哪些常見(jiàn)的提問(wèn)角度，解答的方法具體有哪些，最優(yōu)化的解答如何選擇等等。培養(yǎng)學(xué)生自己悟數(shù)學(xué)，將知識(shí)點(diǎn)連成線(xiàn)，線(xiàn)再連成片織成一張網(wǎng)，在不斷的回顧和反思的過(guò)程中提升能力，發(fā)展素養(yǎng)。

4.要重視基本圖形的研究。

所謂基本圖形就是將在“圖形與幾何”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)過(guò)程中具有一定典型性的概念、公式、定理、例題、習(xí)題中反復(fù)出現(xiàn)、經(jīng)常用到的對(duì)應(yīng)圖形，是結(jié)論化的圖形，是圖形化的公式。借助基本圖形，可以使得復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，有利于提高學(xué)生的幾何直觀能力。

例如，對(duì)于垂直條件的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為K型相似是一種方法。研究的過(guò)程，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從圖形本身開(kāi)始研究，慢慢進(jìn)行變式和變形，最后實(shí)現(xiàn)升華，讓學(xué)生根據(jù)圖形特征創(chuàng)造性的自主建構(gòu)基本圖形，最后通過(guò)總結(jié)條件和構(gòu)圖步驟等將知識(shí)點(diǎn)內(nèi)化，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在遇到例如圖8的垂直問(wèn)題時(shí)，學(xué)生就會(huì)創(chuàng)造性的建立圖9或圖? 10，利用相似轉(zhuǎn)化垂直條件了。

在平時(shí)的教學(xué)中要重視引導(dǎo)學(xué)生分析條件，聯(lián)想基本圖形。有了基本圖形的積累，學(xué)生能夠在它們的指引下主動(dòng)探索，創(chuàng)造性的添加輔助線(xiàn)，發(fā)現(xiàn)解題思路，并解決問(wèn)題。對(duì)基本圖形的研究，不僅僅是為發(fā)現(xiàn)了多少新的規(guī)律和結(jié)論，更為重要的是掌握?qǐng)D形研究的步驟、方式方法和途徑，以及通過(guò)研究圖形不斷的提高圖形研究意識(shí)、形成圖形研究能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

編輯/傅? ? 戈