汪燁 夏豪杰 林志超 周禮剛 肖箭

摘要：文章提出一種基于區(qū)間q-rung Orthopair模糊Minkowski距離測度、熵測度及加權平均算子的TOPSIS多屬性決策方法。首先提出區(qū)間q-rung Orthopair模糊Minkowski距離測度并研究其性質，其次提出區(qū)間q-rung Orthopair模糊熵測度和區(qū)間q-rung Orthopair模糊加權平均算子，然后針對方案屬性權重完全未知的情況提出一種基于區(qū)間q-rung Orthopair模糊Minkowski距離測度和熵測度的TOPSIS多屬性決策方法，最后將新方法應用于證券投資方案選擇多屬性決策，驗證文章方法的可行性和有效性。

Abstract： This paper presents a TOPSIS method for multicriteria decision-making based on q-rung interval-valued Orthopair fuzzy Minkovsky distance measure， entropy measure and weighted averaging aggregation operators. Firstly， we propose q-rung interval-valued Orthopair fuzzy Minkovsky distance measure and study its properties. Secondly， we present q-rung interval-valued Orthopair fuzzy entropy measure and q-rung interval-valued Orthopair fuzzy weighted averaging aggregation operators. Then we put forward a TOPSIS method for multicriteria decision-making based on q-rung interval-valued Orthopair fuzzy Minkovsky distance measure and entropy measure in which the weights of attributes are completely unknown. Finally， we apply the new method to multicriteria decision-making for securities investment in order to verify the feasibility and effectiveness of proposed method.

關鍵詞：多屬性決策;區(qū)間q-rung Orthopair模糊;距離測度;熵;TOPSIS

Key words： multi-attribute group decision-making;q-rung interval-valued Orthopair fuzzy;distance measure;entropy;TOPSIS

中圖分類號：C934? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1006-4311（2020）21-0231-08

0? 引言

模糊理論是美國加州大學Zadeh教授于1965年創(chuàng)立的，該理論使得數(shù)學上的思維和方法可以運用到模糊現(xiàn)象中。眾多學者對模糊集進行了深入研究[1]，并提出了很多新的概念及理論分支，如Atanassov提出了直覺模糊集[2]的概念;Yager提出了畢達哥拉斯模糊集[3-4]的概念，并在畢達哥拉斯模糊集的基礎上提出了q-rung Orthopair模糊集[5]。q-rung Orthopair模糊集中隸屬度與非隸屬度的q次方之和滿足小于1的條件。q-rung Orthopair模糊集更具有靈活性和實用性，更適合不確定的模糊環(huán)境，因此研究q-rung Orthopair模糊集具有十分重要的意義。區(qū)間q-rung Orthopair模糊集[6]是q-rung Orthopair模糊集的進一步推廣，將隸屬度與非隸屬度引申為隸屬度區(qū)間與非隸屬度區(qū)間。由于一些模糊性質的現(xiàn)實問題，其隸屬度確定性較低，在模糊集理論體系的發(fā)展過程中，模糊性和不確定性已經廣泛的應用于決策問題中，區(qū)間模糊信息更加貼近現(xiàn)實的模糊群決策模型。相對來說，目前為止，關于區(qū)間q-rung Orthopair模糊環(huán)境下的多屬性決策方法研究仍然不多，尤其是與距離測度和熵測度進行結合的相關研究較少。這篇文章研究基于區(qū)間q-rung Orthopair模糊Minkowski距離測度、熵測度及加權平均算子的區(qū)間q-rung Orthopair模糊TOPSIS多屬性決策方法，并結合證券投資領域的多屬性決策案例分析驗證新方法的合理性和有效性。

4? 案例分析

隨著經濟的發(fā)展，中國資產管理行業(yè)以及證券市場逐步市場化，證券投資基金慢慢進入大眾視野，正確的選擇證券投資基金能讓投資者獲得最大收益?，F(xiàn)有一位投資者要在5種證券投資基金Ai（i=1，2，…5）中選擇一種進行投資[11]。

投資者針對這5種投資基金咨詢了三位基金分析人員（決策者）Ek（k=1，2，3），三位決策者對五種基金購買的5項屬性指標：基金收益能力C1、風控水平C2、業(yè)績持續(xù)性C3、基金經理擇股能力C4和擇時能力C5進行評價，將評價使用區(qū)間q-rung Orthopair模糊數(shù)表示。

利用文章提出的基于區(qū)間q-rung Orthopair模糊Minkowski距離測度和熵測度的TOPSIS方法決策步驟如下（這里取q=2）：

由表5可以看出，對于區(qū)間q-rung Orthopair模糊的參數(shù)q取不同數(shù)值時，方案排序結果不盡相同，但最優(yōu)方案都是A5，且其他方案的排序變化不大，這與文獻[11]中的方案排序結果十分相近，這表明了文章使用方法進行決策的有效性與實用性。另外，由圖1可以看出，方案A5的貼近度始終最高但當q>8后有下降趨勢，方案A3的貼近度隨q值增大而增大，并逐漸接近方案A5，方案A1的貼近度隨q值增大先有較緩的上升趨勢然后開始下降，方案A4的貼近度隨值q增大而逐漸減小，方案A2的貼近度始終最小，變化不大。

在多屬性決策問題中，屬性權重是一個重要的關鍵因素，文章提出的區(qū)間q-rung Orthopair模糊熵測度是解決方案屬性權重完全未知情況下的決策問題的有效且客觀實用的方法。文獻[12]提出了基于q-rung Orthopair模糊加權平均算子（q-ROFWA）和q-rung Orthopair模糊加權幾何算子（q-ROFWG）的且屬性權重已知的多屬性決策問題的方法，相比較而言，文章利用區(qū)間q-rung Orthopair模糊熵測度計算屬性權重，使得最終的決策結果更為客觀。相比于文獻[11]而言，文章基于區(qū)間q-rung Orthopair模糊多屬性決策方法是對直覺模糊多屬性決策方法的推廣，決策者可根據(jù)不同情況或個人風險態(tài)度選定參數(shù)q，因此文章提出的新方法更具廣泛性。

5? 結束語

文章給出了一個基于區(qū)間q-rung Orthopair模糊Minkowski距離測度、熵測度、q-RIVOFWA算子和TOPSIS的多屬性決策方法。首先提出了區(qū)間q-rung Orthopair模糊Minkowski距離測度，討論其性質;其次提出區(qū)間q-rung Orthopair模糊熵測度，并針對各方案屬性權重未知的情況，基于區(qū)間q-rung Orthopair模糊熵測度構建屬性權重模型，然后提出基于區(qū)間q-rung Orthopair模糊Minkowski距離測度、熵測度、q-RIVOFWA算子的TOPSIS多屬性決策方法。新的多屬性決策方法適用于人力資源評價、金融風險分析、重大基建工程選址、運營商選擇等眾多多屬性決策問題領域，具有廣泛的應用性。

參考文獻：

[1]Zadeh L A. Fuzzy sets [J].Information and Control， 1965， 8（3）： 338-353.

[2]Atanassov K. Intuitionistic fuzzy sets [J]. Fuzzy Sets and Systems， 1986， 20（1）：87-96.

[3]Yager R R， Abbasov A M. Pythagorean membership grades， complex numbers and decision making [J]. International Journal of Intelligent Systems， 2013， 28（5）：436-452.

[4]Yager R R. Pythagorean membership grades in multicriteria decision making [J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems， 2014， 22（4）： 958-965.

[5]Yager R R. Generalized Orthopair fuzzy Sets [J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems， 2017， 25（5）：1222-1230.

[6]Wang J， Gao H， Wei G， et al. Methods for multiple-attribute group decision making with q-rung interval-valued Orthopair fuzzy information and their applications to the selection of green suppliers [J]. Symmetry， 2019， 11（1）： 56.

[7]Wu L， Wei G， Gao H， et al.Some interval-valued intuitionistic fuzzy Dombi Hamy mean operators and their application for evaluating the elderly tourism service quality in tourism destination [J]. Mathematics， 2018， 6（12）： 294.

[8]Wei G， Wang H J， Lin R. Application of correlation coefficient to interval-valued intuitionistic fuzzy multiple attribute decision-making with incomplete weight information [J]. Knowledge and Information Systems， 2011， 26（2）： 337-349.

[9]Tang X， Wei G， Gao H. Models for multiple attribute decision making with interval-valued Pythagorean fuzzy muirhead mean operators and their application to green suppliers selection [J]. Informatica， 2019， 30（1）： 153-186.

[10]Wang J， Wei G， Wang R， et al. Some q‐rung interval‐valued Orthopair fuzzy maclaurin symmetric mean operators and their applications to multiple attribute group decision making [J]. International Journal of Intelligent Systems， 2019， 34（11）： 2769-2806.

[11]郭祺.證券投資基金業(yè)績評價的區(qū)間直覺模糊多屬性群決策方法[D].南昌：江西財經大學碩士論文，2016.

[12]Liu P， Wang P. Some q‐rung Orthopair fuzzy aggregation operators and their applications to multiple‐attribute decision making [J]. International Journal of Intelligent Systems， 2018， 33（2）： 259-280.