尹 豪,唐 猛, 侯 凡

(西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，成都 610031)

0 引言

四旋翼無人機(jī)是當(dāng)下比較熱門的一種多旋翼無人機(jī)，目前已被大量應(yīng)用于航拍，偵察，巡線，噴灑農(nóng)藥等眾多領(lǐng)域。而常用的PID控制方法具有結(jié)構(gòu)比較簡單，其參數(shù)調(diào)整也相對(duì)方便的特點(diǎn)，故在四旋翼無人機(jī)控制的工程實(shí)際應(yīng)用中技術(shù)人員一般都采用PID控制策略。但在某些特定的高精度控制和抗擾動(dòng)應(yīng)用場(chǎng)合，常用的PID控制算法往往不能滿足需求。為了能夠適應(yīng)這些應(yīng)用對(duì)四旋翼無人機(jī)控制性能的特定需求，在國內(nèi)外都出現(xiàn)了多種更智能的控制方法應(yīng)用在四旋翼無人機(jī)中的研究，比如：模糊PID控制[1]、自抗擾飛行控制[2]、滑膜控制[3]以及多種控制方法的結(jié)合等等。這些控制器相對(duì)于PID控制器的控制效果都比較好，但這些控制器的結(jié)構(gòu)也更加復(fù)雜，以及建立它們的數(shù)學(xué)模型變得困難，不利于四旋翼無人機(jī)的實(shí)際控制應(yīng)用[4]。

偽微分反饋(Pseudo Derivative Feedback)控制策略[5]，簡稱為PDF控制，是由美國紐約州康奈爾大學(xué)的Phelan教授于1977年在其書籍《Automatic Control Systems》中提出的，是一種基于One-Master原則的實(shí)用性很強(qiáng)的控制架構(gòu)。以往許多的研究表明，PDF策略相比PID控制策略具有更強(qiáng)的魯棒性、較強(qiáng)的抗干擾能力和好的動(dòng)態(tài)控制性能。本文就主要工作就是研究將偽微分反饋控制方法引入到四旋翼無人機(jī)中，以提高其控制性能；通過建立PID和PDF姿態(tài)控制器的控制仿真模型，研究PDF和PID策略在階躍輸入和外部干擾下的的性能提升。

1 四旋翼無人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型

1.1 坐標(biāo)系建立及坐標(biāo)系變換

四旋翼無人機(jī)的旋翼結(jié)構(gòu)布局常用的有十型結(jié)構(gòu)和X型結(jié)構(gòu)，本文的四旋翼機(jī)型采用X型，它的4個(gè)旋翼(1、2、3、4)分別位于X型結(jié)構(gòu)的前后左右4個(gè)端點(diǎn)上，分為正對(duì)角線和反對(duì)角線兩組，且飛行時(shí)兩組旋翼的旋轉(zhuǎn)方向剛好相反。即電機(jī)1和3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，電機(jī)2和4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，四旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 四旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)簡圖

為描述四旋翼無人機(jī)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，本文為此建立了兩個(gè)坐標(biāo)系，分別為地面坐標(biāo)系與以無人機(jī)重心為原點(diǎn)的機(jī)體坐標(biāo)系。其中地面坐標(biāo)系是用來表示四旋翼無人機(jī)在整個(gè)地球空間的三維位置坐標(biāo)XN、YN、ZN，以便觀察飛行器相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，由此可以得到四旋翼無人機(jī)的航向、姿態(tài)和位置信息。地面坐標(biāo)系示意圖如圖2所示，規(guī)定坐標(biāo)原點(diǎn)與四旋翼無人機(jī)的起飛點(diǎn)重合，沿飛行器的前進(jìn)方向?yàn)镺NYN正軸，垂直于水平面向上為ONZN正軸，垂直于ONXNZN平面向上為ONYN正軸，其與軸ONXN、軸ONZN構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

本文機(jī)體坐標(biāo)系的定義如下：機(jī)體坐標(biāo)系的選擇在以下幾個(gè)前提的假設(shè)下，不管飛行器高度如何變化，重力加速度是不會(huì)變的，也即四旋翼無人機(jī)的重量是不會(huì)變的；無人機(jī)的結(jié)構(gòu)保持穩(wěn)定，使得它的重心要保持不變；且飛行器是剛體，因此不會(huì)發(fā)生彈性形變。該坐標(biāo)系是一直附著在機(jī)體上的，其原點(diǎn)位于四旋翼無人機(jī)的重心位置，OBXB軸與無刷直流電機(jī)1和2的對(duì)稱線平行，假定向前為正；無刷直流電機(jī)2和3的對(duì)稱線即為機(jī)體坐標(biāo)系的OBYB軸 ，假定向左為正；而機(jī)體坐標(biāo)系的OBZB假定向上為正，符合右手坐標(biāo)系的規(guī)定。

圖2 地面坐標(biāo)系與機(jī)體坐標(biāo)系示意圖

由于四旋翼無人機(jī)具有特殊的結(jié)構(gòu)，使得僅通過調(diào)整4個(gè)旋翼的轉(zhuǎn)速，就可以改變它的飛行姿態(tài)。對(duì)于四旋翼的各種姿態(tài)控制有以下幾種情況：1)四只旋翼的旋轉(zhuǎn)速度恒定并相等，而且它們的升力之和等于四旋翼的重力，此時(shí)無人機(jī)處于懸停狀態(tài)；2)旋翼1和4的轉(zhuǎn)速增大，而旋翼2和3的轉(zhuǎn)速減小(或者旋翼1和4的轉(zhuǎn)速減小，而旋翼2和3的轉(zhuǎn)速增大)，此時(shí)無人機(jī)做滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；3)旋翼1和2的轉(zhuǎn)速增大，而旋翼3和4的轉(zhuǎn)速減小(或者旋翼1和2的轉(zhuǎn)速減小，而旋翼3和4的轉(zhuǎn)速增大)，此時(shí)無人機(jī)做俯仰運(yùn)動(dòng)；4)旋轉(zhuǎn)方向相同的一組旋翼轉(zhuǎn)速增大(或減小)，而另一組旋轉(zhuǎn)方向相反的旋翼轉(zhuǎn)速減小(或增大)，此時(shí)無人機(jī)做偏航運(yùn)動(dòng)。為方便描述四旋翼無人機(jī)的姿態(tài)，本文將3個(gè)歐拉角分別定義如下：滾動(dòng)角φ為機(jī)體軸ZB與地面坐標(biāo)系中XNONZN平面之間的夾角，假定飛行器向右滾動(dòng)角度為正；俯仰角θ為機(jī)體軸XB與地面坐標(biāo)系中XNONYN平面之間的夾角，假定飛行器低頭時(shí)為正；偏航角ψ為機(jī)體軸XB在水平面上的投影與地面坐標(biāo)系XN軸之間的夾角，假定飛行器機(jī)頭向左偏航時(shí)為正。

由歐拉角定義可知，從機(jī)體坐標(biāo)系到地面坐標(biāo)系的位置變換，可以通過繞不同機(jī)體坐標(biāo)軸的三次連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)來實(shí)現(xiàn)。因此，將四旋翼飛行器的機(jī)體坐標(biāo)系依次繞ZB軸，YB軸，XB軸(即Z-Y-X順序)旋轉(zhuǎn)三次可以轉(zhuǎn)換到地球坐標(biāo)系，機(jī)體坐標(biāo)系到地面坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣為：

(1)

其中：c代表cos函數(shù)，而s代表sin函數(shù)。

1.2 動(dòng)力學(xué)模型的建立

四旋翼無人機(jī)，顧名思義就是它具有4個(gè)旋翼，每個(gè)旋翼由一個(gè)無刷電機(jī)驅(qū)動(dòng)旋轉(zhuǎn)，而4個(gè)旋翼一共需要4個(gè)無刷電機(jī)驅(qū)動(dòng)，這4個(gè)無刷電機(jī)即為系統(tǒng)的動(dòng)力輸入。而四旋翼無人機(jī)在三維空間有6個(gè)自由度，6個(gè)自由度僅有4個(gè)動(dòng)力輸入，所以它是一個(gè)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。而且它的姿態(tài)角度與水平位置之間具有較強(qiáng)的耦合關(guān)系，故四旋翼無人機(jī)是一個(gè)強(qiáng)耦合、欠驅(qū)動(dòng)的非線性系統(tǒng)。本文采用牛頓-歐拉公式推導(dǎo)四旋翼無人機(jī)的動(dòng)力學(xué)方程，由于它的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)是非常復(fù)雜的，想要完全準(zhǔn)確的建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型極其困難。本文為了方便的研究對(duì)象，將無人機(jī)的動(dòng)力模型簡化，建立一個(gè)相對(duì)準(zhǔn)確的模型，提出以下假設(shè)[6]：

1)把飛行器視為一個(gè)剛體，忽略它的彈性變形；

2)把地面坐標(biāo)系視為慣性坐標(biāo)系，以忽略地球自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)對(duì)飛行器的影響；

3)飛行器的飛行領(lǐng)域內(nèi)，重力加速度保持不變；

4)無人機(jī)的形狀與質(zhì)量關(guān)于它的中心都是X型對(duì)稱的；

5)忽略它在飛行中所受到的空氣阻力；

6)四旋翼無人機(jī)在低速的，小角度情況下飛行。

在上面假設(shè)的情況下，四旋翼無人機(jī)所受合外力主要由飛行器本身的重力和4個(gè)旋翼旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的升力和某些外部干擾力(比如風(fēng)力)組成。飛行器受到的升力與4個(gè)旋翼的旋轉(zhuǎn)速度的平方是正比關(guān)系，記4個(gè)旋翼的轉(zhuǎn)速分別為Ωi(下標(biāo)i的取值為1,2,3,4)，則

(2)

其中，kF為旋翼升力系數(shù)。

四旋翼在地面坐標(biāo)系下受到的合力為：

(3)

其中:Fx、Fy、Fz為XN、YN、ZN軸所受合力，fx、fy、fz為XN、YN、ZN軸的擾動(dòng)。由牛頓第二定律得：

(4)

由于四旋翼無人機(jī)的結(jié)構(gòu)布局是均勻?qū)ΨQ的，故Jxy、Jyz和Jzx都等于零，可知機(jī)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣為對(duì)稱矩陣，即

(5)

其中，Jx、Jy、Jz為無人機(jī)繞機(jī)體坐標(biāo)系XB、YB、ZB軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

則由歐拉方程可得

(6)

其中Mx、My、Mz為繞機(jī)體坐標(biāo)系三軸所受力矩，p、q、r為繞機(jī)體坐標(biāo)系三軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。

進(jìn)一步對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)力矩進(jìn)行分析：

(7)

其中:L為旋翼中心與機(jī)體重心之間的距離，kM為旋翼反扭矩系數(shù)。

將式(7)代入式(6)得

(8)

機(jī)體角速度與歐拉角速度對(duì)應(yīng)關(guān)系：

(9)

本文研究的情況為四旋翼無人機(jī)小角度、低速飛行，因此可以做如下近似：

(10)

將式(10)代入式(8)整理得

(11)

為簡化系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，令

(12)

它們?yōu)樗男頍o人機(jī)4個(gè)獨(dú)立通道的控制量，U1、U2、U3、U4分別為垂直升降、滾動(dòng)力矩、俯仰力矩、偏航力矩控制量。四旋翼無人機(jī)飛行器的動(dòng)力學(xué)最終模型為：

(13)

2 無人機(jī)PDF姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)

2.1 PDF控制策略

PDF控制器的架構(gòu)類似PI控制器，但是目標(biāo)值和反饋的誤差只作為I(積分)控制器的輸入，誤差不是P(比例)控制器的輸入，改用反饋?zhàn)鳛镻(比例)控制器的輸入，因?yàn)檎`差不是比例控制器的輸入，因此也被Phelan稱之為偽微分反饋(PDF)[7]。

圖3 二階PDF策略控制器結(jié)構(gòu)

由公式(13)可知，四旋翼無人機(jī)的姿態(tài)控制模型是一個(gè)二階控制系統(tǒng)。PDF策略的二階控制結(jié)構(gòu)如圖3所示，整個(gè)系統(tǒng)的末級(jí)控制元件由傳遞函數(shù)1代表，其物理元件的最大能量輸出決定了輸出最大值M2的取值[8]，Ki、Kd1和Kd2都為PDF控制系統(tǒng)的系數(shù)。

2.2 PDF控制器系數(shù)確定

本研究對(duì)象模型參數(shù)如表1所示。

表1 四旋翼模型參數(shù)

由文獻(xiàn)[9]可知，對(duì)于一個(gè)二階對(duì)象來說，PDF控制系數(shù)的設(shè)定公式如下：

Ki=6.52·[Mmax/(I·r0)]1.5

(14)

Kd1=8.53·Mmax/(I·r0)

(15)

Kd2=4.13·[Mmax/(I·r0)]0.5

(16)

式中，I為被控對(duì)象的最大階項(xiàng)系數(shù)，r0為系統(tǒng)的階躍參考輸入的最大值，Mmax為末級(jí)控制元件的最大輸出值。由式(13)可知，I等于機(jī)體軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，r0=30*pi/180，末級(jí)控制元件最大輸出為滾動(dòng)、俯仰和偏航最大瞬時(shí)力矩乘以對(duì)應(yīng)的機(jī)體軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，最大力矩為2.5 N·m，3個(gè)PDF姿態(tài)控制器的系數(shù)如表2所示。

表2 四旋翼PDF控制器參數(shù)

2.3 四旋翼仿真模型

由式(13)可知，四旋翼無人機(jī)的3個(gè)姿態(tài)控制量具有耦合關(guān)系。但在較小的姿態(tài)角速率情況下，可以忽略它們相互間的耦合影響，由此可以按照單通道控制系統(tǒng)分別設(shè)計(jì)。Matlab/Simulink軟件平臺(tái)具有強(qiáng)大的仿真功能，可以在此平臺(tái)上對(duì)四旋翼的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真。本文對(duì)滾動(dòng)、俯仰、偏航3個(gè)通道分別獨(dú)立進(jìn)行PID和PDF控制仿真，整個(gè)系統(tǒng)的Simulink仿真模型如圖4所示。

在圖4中，仿真模型的構(gòu)成主要有四部分：姿態(tài)信號(hào)模塊、控制器、控制量轉(zhuǎn)換和四旋翼無人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型。其中姿態(tài)信號(hào)模塊包括姿態(tài)角命令信號(hào)和反饋信號(hào)。姿態(tài)控制器采用PID和PDF控制器，其輸入為歐拉角命令值和反饋值，輸出為U1、U2、U3、U4。姿態(tài)控制器的輸出是中間控制量，這些量的實(shí)現(xiàn)最終都是靠四旋翼無人機(jī)的4個(gè)電機(jī)實(shí)現(xiàn)的，要達(dá)到這些控制，每個(gè)電機(jī)的具體值可有前面的式(12)反推得到。四旋翼無人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型通過一個(gè)level-2 MATLAB S-Function來實(shí)現(xiàn)。四旋翼PID控制器仿真模型和PDF控制大致結(jié)構(gòu)類似，只是把PDF控制器換成里Simulink自帶的PID Controller模塊。

3 控制及仿真結(jié)果

下面通過如下幾個(gè)方面進(jìn)行控制性能仿真，從而從仿真的角度評(píng)估PDF算法在四旋翼姿態(tài)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)及抗干擾的優(yōu)越性。

3.1 PID和PDF在階躍輸入的輸出響應(yīng)

3個(gè)姿態(tài)角Φ、θ、ψ的初始值都是0，最終輸出分別是10*pi/180rad、20*pi/180rad和30*pi/180rad，階躍時(shí)間點(diǎn)分別是4 s、7 s和10 s。滾動(dòng)角Φ、俯仰角θ和偏航角ψ的PID和PDF控制輸出仿真如圖5所示。

圖4 四旋翼基于PDF控制的仿真模型

圖5 PID和PDF控制下的姿態(tài)角曲線

在沒有外部擾動(dòng)作用時(shí)，加上積分環(huán)節(jié)控制會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能變差，而當(dāng)有變化的外部擾動(dòng)作用時(shí)，積分控制又不能很好的發(fā)揮它對(duì)干擾的抑制作用。因此，在對(duì)四旋翼無人機(jī)的Simulink模型進(jìn)行基于PID姿態(tài)控制和抗干擾控制模擬仿真時(shí)，本文主要利用比例環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)對(duì)姿態(tài)進(jìn)行控制[10]?；赑ID控制算法的調(diào)試主要是利用試湊法整定PID算法的各個(gè)參數(shù)，通過先比例、后微分的步驟反復(fù)試湊調(diào)試，觀察仿真結(jié)果，以便得到滿意的控制效果，各個(gè)控制參數(shù)最終調(diào)得分別為[0.5 0 1.4],[0.4 0 1.4],[0.3 0 1.0]。圖5中，基于PID控制算法的姿態(tài)角Φ、θ、ψ的響應(yīng)曲線超調(diào)量分別為14.4%、13.1%和15.7%，上升時(shí)間分別為0.9 s、0.94 s和1.3 s。圖5中，基于PDF控制算法的姿態(tài)角Φ、θ、ψ的響應(yīng)曲線超調(diào)量分別為0.505%、0.505%和0.505%，上升時(shí)間分別為0.77 s、0.77 s和0.78 s?？芍?，在階躍輸入、無干擾的情況下，PID控制器經(jīng)過多次調(diào)參后，仍有較小的超調(diào)，而PDF控制器則幾乎無超調(diào)，且它們的上升時(shí)間相差不大。

3.2 抗干擾能力比較

通過模擬在第20 s給機(jī)體軸X軸施加一個(gè)階躍負(fù)載轉(zhuǎn)矩為1 N·m，得到的仿真結(jié)果如圖6～8所示。

圖6 干擾下PID和PDF控制的滾動(dòng)角

圖7 干擾下PID和PDF控制的俯仰角

圖8 干擾下PID和PDF控制的偏航角

由圖6～8可知，在階躍輸入姿態(tài)控制器響應(yīng)穩(wěn)定后，當(dāng)給仿真模型系統(tǒng)一個(gè)較大的外在干擾力矩時(shí)，該干擾使得系統(tǒng)的總力矩相比原來的力矩瞬時(shí)增加數(shù)倍，基于PID控制器的滾動(dòng)角姿態(tài)響應(yīng)會(huì)立刻出現(xiàn)失穩(wěn)的情況，并且由于耦合的原因，使得俯仰角的控制會(huì)受到干擾，最終使得整個(gè)控制系統(tǒng)不可控。但是在PDF控制器下，雖然滾動(dòng)角也會(huì)受到擾動(dòng)影響，但是立刻就會(huì)恢復(fù)到設(shè)定的姿態(tài)角度，并且不會(huì)影響到俯仰角的控制，姿態(tài)控制完全受控，對(duì)四旋翼的整體控制基本上沒有影響。

4 結(jié)束語

本文以四旋翼無人機(jī)為研究對(duì)象，在某些假設(shè)的條件下，對(duì)它的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了理論分析，然后建立了四旋翼無人機(jī)的簡化數(shù)學(xué)模型，并在Matlab/Simulink軟件平臺(tái)上對(duì)四旋翼無人機(jī)的高度和姿態(tài)控制建立了基于PID和PDF兩個(gè)控制器的仿真模型和工況仿真。仿真結(jié)果表明：采用PDF控制策略的四旋翼姿態(tài)控制系統(tǒng)仿真結(jié)果符合理論分析，較短的系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間，極其小的超調(diào)或無超調(diào)，轉(zhuǎn)矩波動(dòng)小，較好的穩(wěn)態(tài)性能，具有很強(qiáng)的魯棒性，相比傳統(tǒng)的PID控制策略有更好的控制效果。在外部干擾下也能夠達(dá)到很好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，并快速恢復(fù)到命令姿態(tài)角度。對(duì)今后PDF控制在四旋翼無人機(jī)姿態(tài)控制中的研究與應(yīng)用有一定的實(shí)際意義。