徐旭 呂鳴 李毅 鄭曉燕 武楠 代志軍 葉香華 呂軍

放療是治療惡性腫瘤的有效方法之一。每例放療患者均有專屬的個體化精準(zhǔn)放療方案，由醫(yī)師團(tuán)隊根據(jù)腫瘤的類型、部位、大小，以及患者的身體狀況等綜合制定而成，詳細(xì)規(guī)劃了患者的放療方式和放療時長等關(guān)鍵指標(biāo)。不同計劃的放療方式和時長差異很大，導(dǎo)致對直線加速器（linear accelerator，LINAC）的使用需求不同。在新型冠狀病毒肺炎（coronavirus disease 2019，COVID-19）疫情期間，如何優(yōu)化放療患者的排程，減少放療前等待時間及來院次數(shù)，避免疫情防控期間病毒交叉感染，是值得臨床醫(yī)師探討的問題。

癌癥患者從首次入院咨詢到首次放療有時間間隔，研究表明此等待時間通常不短[1]。在中國，由于癌癥患者治療相對集中，因此在疫情防控期間，有效抑制COVID-19在人群中傳播將有助于疫情防控[2]。研究表明，放療患者等待時間長短和患者治療療效存在相關(guān)性[3-4]。當(dāng)前醫(yī)院多采取先到先服務(wù)（first come first service，F(xiàn)CFS）原則，在缺乏充足服務(wù)資源前提下，不少患者只能面臨長時間等待或轉(zhuǎn)院的情況。因此，如何提升科室床位利用率，縮短患者等待時間，合理高效收治患者進(jìn)而避免交叉感染，就成為管理者關(guān)注的問題。本文基于對陜西、浙江兩省部分三甲醫(yī)院前期調(diào)研，以西安交通大學(xué)第一附屬醫(yī)院腫瘤放療科癌癥患者為實例，建立了放療患者入院排程問題的混合整數(shù)規(guī)劃（mixed integer programming，MIP）模型，并以該院實際數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，求解并分析。

1 模型建立

1.1 假設(shè) 為了簡化問題便于分析，筆者作出如下假設(shè)。

假設(shè)1：放療期間的人力和物力資源齊備，不存在短缺現(xiàn)象；所有患者放療均需住院治療。

假設(shè)2：患者的入院安排決策非實時，需每隔一段時間作出安排。作出決策時，由于患者入院會對后續(xù)時間資源占用產(chǎn)生影響，還需考慮一個較長時間的計劃期。因為放療部門周末休假，所以只考慮工作日，模型中的每一天均代表一個工作日。

假設(shè)3：在決策周期內(nèi)，患者的信息是已知的；患者的放療所需時間可以通過計算機(jī)仿真預(yù)先估計，并且首次放療和后續(xù)放療時間一致；所有患者優(yōu)先級一致。

假設(shè)4：床位均在病房中，一個病房可能有多個床位，利用病房編號而非具體的床位號來表示患者的住院情況。

假設(shè)5：決策期的時間長度小于所有治療方案中相鄰兩個周期間隔的最小值。該假設(shè)的提出是為了可以避免在決策期內(nèi)出現(xiàn)兩次入院的情況，方便建模。1.2 集合與變量 此步驟將分別針對建模過程中所涉及的標(biāo)號、集合、變量以及決策變量等予以闡述，見表 1～3。

表1 標(biāo)號與集合說明

表2 變量說明

表3 決策變量說明

1.3 約束

約束（1）和（2）確?；颊呙刻熳疃嘀粫谝粋€班次和一臺 LINAC上放療；約束（3）～（5）確保患者的放療只會開始一次；患者在不可行的班次均不會被安排放療，因此設(shè)定約束（6）；放療患者的放療必須在同一臺LINAC上進(jìn)行，這樣能夠確保每次的劑量一致，故采用約束（7）；約束（8）～（10）是床位約束，包含患者每天最多住在一個病房內(nèi)，且病房內(nèi)患者的數(shù)量不會超過可用床位的數(shù)量等條件；為了保證患者每次入住床位的一致，構(gòu)造了約束（11）；約束（12）和（13）固定了患者的放療天數(shù)和住院天數(shù)；約束（14）說明了患者放療時間之和不會超過LINAC的可用時間；約束（15）和（16）將治療方案結(jié)合，約束了患者的放療計劃；約束（17）和（18）說明了兩個決策變量oijt和xmist之間的關(guān)系；約束（19）是關(guān)于變量的約束。

1.4 目標(biāo)函數(shù)

問題的目標(biāo)是最大化入住患者的人數(shù)，這樣可以提高醫(yī)療設(shè)備的利用率，同時減少患者的轉(zhuǎn)院風(fēng)險和等待時間，保證患者能夠得到及時的治療。為了方便比較，筆者也可以用患者的接收率來代替原來的目標(biāo)函數(shù)，如（21）所示最大化的患者接收率。

2 參數(shù)設(shè)定與數(shù)值實驗

2.1 參數(shù)設(shè)定 模型中參數(shù)的數(shù)據(jù)基于西安交通大學(xué)第一附屬醫(yī)院2015年的數(shù)據(jù)，由于少部分?jǐn)?shù)據(jù)的缺失和不滿足假設(shè)等情況，筆者對數(shù)據(jù)進(jìn)行了重新整理并設(shè)置了標(biāo)準(zhǔn)算例。根據(jù)整理后數(shù)據(jù)，標(biāo)準(zhǔn)算例基本參數(shù)設(shè)置如下。

*兩臺LINAC M1和M2。

*LINAC工作分為上午和下午兩個班次，每個班次的時間均為5h。

*3種放療方案[二維放療（2DRT）、適形放療（CRT）、調(diào)強(qiáng)適形放射治療（IMRT）]的放療時間使用計算機(jī)仿真預(yù)先估計，包含實際治療時間和患者擺位時間。

*70例等待患者，患者的不可行放療班次、每日可用床位和LINAC可用時間均參考實際情況設(shè)置。

* 決策期|T|=5（即一周），計劃期|H|=15×6（所有治療方案中用時最長的）+|T|。

*共9種治療方案（表4），每種治療方案的子方案（即截取其中若干個周期）可以看作是一種新的治療方案。某些癌癥治療方案名稱不一致，但其LINAC使用和床位占用時間一致。因此，這9種基本治療方案及其衍生的子方案可以覆蓋絕大多數(shù)情況。

由于患者入院安排決策不需要實時作出，在求解的及時性上要求不高，故本文所建立的模型可以應(yīng)用商業(yè)求解軟件實現(xiàn)。數(shù)值實驗具體的運行環(huán)境為Intel Xeon E5 CPU（3.5 GHz，12線程）、16 GB內(nèi)存和 Windows 7操作系統(tǒng)，利用Matlab2012a軟件鏈接CPLEX12.5優(yōu)化軟件求解。同時，為了同醫(yī)院現(xiàn)有的FCFS策略進(jìn)行對比，筆者使用Matlab程序?qū)υ摬呗赃M(jìn)行了模擬，求解1 000次取最優(yōu)值。

2.2 結(jié)果分析 相比FCFS法，MIP法可以顯著提高已安排患者比例，進(jìn)而提升床位利用率和LINAC利用率，因此可以得出結(jié)論：MIP法相比FCFS法具有非常明顯的優(yōu)勢，見表5。實際上，這個結(jié)果也符合預(yù)期，因為MIP法得到的解是全局最優(yōu)解，而FCFS法近似于一個貪婪算法，并未考慮全局優(yōu)化，因此得到的解肯定不會優(yōu)于MIP法。

表4 實驗中應(yīng)用到的癌癥治療方案

表5 標(biāo)準(zhǔn)計算結(jié)果

就本文所求解的放療問題來說，制約已安排患者比例提高的瓶頸資源主要有兩個：床位和LINAC。觀察算例的求解結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)制約患者入院的主要瓶頸在于某些日期LINAC的可用時間不足，為了驗證這一猜想，筆者修改了標(biāo)準(zhǔn)算例的一些參數(shù)來進(jìn)行數(shù)值實驗。在算例MIP_2中，將LINAC每一個班次的工作時間均增加1h；在算例MIP_3中，每一個工作日增加了16個可用床位。這兩個算例繼續(xù)使用MIP法進(jìn)行求解，求解結(jié)果見表6。

表6 新增算例求解結(jié)果

對比表5和表6求解發(fā)現(xiàn)：提高LINAC可用時間時，已安排患者比例會大幅度增長，而增加可用床位時，已安排患者比例并沒有任何變化，筆者的猜想獲得證實。由此可以得出結(jié)論：MIP法可幫助決策者識別制約已安排患者比例提高的瓶頸資源，從而增加醫(yī)院的床位周轉(zhuǎn)率；更進(jìn)一步，通過不斷調(diào)整模型中的參數(shù)，可以得出當(dāng)前情況下床位和LINAC的最優(yōu)配比，從而提高醫(yī)院資源的使用效率，避免浪費。

3 研究結(jié)果

本文結(jié)合目前中國疫情控制實際情況，以省級三甲醫(yī)院為背景，研究了COVID-19疫情期間醫(yī)院放療部門患者入院排程問題，該問題目前國內(nèi)研究中尚屬首次。本研究結(jié)合放療患者的放療方案和一系列臨床約束條件構(gòu)建了MIP模型，鑒于問題求解及時性要求不高，故采用了CPLEX軟件來求解模型，并編程模擬了醫(yī)院常用的FCFS法進(jìn)行對比。計算結(jié)果表明，筆者所提出的MIP法，相比FCFS法，能夠顯著提升已安排患者比例。同時，利用本文所提出的MIP模型法，可以幫助決策者識別制約醫(yī)療服務(wù)提升的瓶頸資源，得到當(dāng)時情形下各種資源的最優(yōu)配比，在疫情期間最大程度降低患者因等待時間過長和多次就診而造成的交叉感染概率。本文是基于國內(nèi)某三甲醫(yī)院的實際情況，鑒于國內(nèi)醫(yī)療狀況的相似性，所提出的模型和求解方法易于復(fù)制到其他相似單位。

4 討論

現(xiàn)有諸多研究都提及了日益增長的腫瘤患者人數(shù)[5-6]，但是注重于提升醫(yī)療部門服務(wù)效率的研究卻很少。相關(guān)論文大致可以分為兩個來源，分別是醫(yī)學(xué)研究層面，包含改善現(xiàn)有的治療技術(shù)[7-9]、引入新的治療設(shè)備[10]等內(nèi)容；以及運作管理層面，包含引入統(tǒng)計學(xué)[11]、運籌學(xué)[12-22]和仿真[23]的方法來提升人員和設(shè)備的工作效率等內(nèi)容。但是，這些論文分屬于兩個領(lǐng)域，并未在宏觀上將兩者很好的結(jié)合起來。此外，關(guān)于放療患者管理的論文較少，也未結(jié)合具體的國家和地區(qū)的情況予以考慮，因此存在研究體量不足的情況。再者，由于國內(nèi)醫(yī)院的管理辦法大多采取FCFS原則，考慮到當(dāng)前醫(yī)療服務(wù)資源不充分的背景，諸如長時間等待或者轉(zhuǎn)院的情況較為常見。因此，筆者認(rèn)為非常有必要采用運籌學(xué)的方法來解決此類問題。