王改霞,劉紀軒,李學志

(1.信陽學院數學與統計學院,河南 信陽464000;2.空軍工程大學航空機務士官學校基礎部,河南 信陽464000;3.河南師范大學數學與信息科學學院,河南 新鄉(xiāng)453007)

1.引言

2017年10月27日,世界衛(wèi)生組織國際癌癥研究機構公布的致癌物清單初步整理參考,乙型肝炎病毒(慢性感染)在一類致癌物清單中.慢性乙型肝炎(簡稱乙肝)是指乙肝病毒檢測為陽性,病程超過半年或發(fā)病日期不明確而臨床有慢性肝炎表現者.臨床表現為乏力、畏食、惡心、腹脹、肝區(qū)疼痛等癥狀.從肝炎病毒入侵到臨床出現最初癥狀以前,這段時期稱為潛伏期[1?4].乙肝潛伏期為6周～6個月,一般為3個月.潛伏期隨病原體的種類、數量、毒力、人體免疫狀態(tài)而長短不一.

因為不同年齡的人對乙肝的免疫能力、潛伏期長短、感染能力及傳播能力不同,故年齡對乙肝傳播的影響不可忽略[5?10].而不同體質的易感者接觸乙肝病人后可能會直接發(fā)病,也可能潛伏一段時間才表現出來,因而討論易感類人群接觸病人后比例進入潛伏類和染病類的傳染病模型更加符合實際.

2.模型

把總人口分為易感類、潛伏類、染病類、免疫類,分別用S(a,t),E(a,t),I(a,t),R(a,t)表示各類年齡密度函數,a為年齡,t為時間.μ(a)為年齡依賴自然死亡率,[ε(a)]?1平均潛伏周期,[α(a)]?1為平均染病周期,b(a)為年齡依賴出生率.令感染力函數[5]為

其中β(a)為年齡依賴的染病率,k(a)為年齡依賴的接觸率.不考慮因病死亡,則易感類人群接觸病人后按比例q和1?q進入潛伏類和染病類的年齡結構SEIR傳染病模型為

這是一個標準的Mckendrick-von forester方程.假設所有的參數都非負,且

假設當個體超過一定生育年齡時b(a)=0.假設總人口處于穩(wěn)定狀態(tài)[6],即假設

設S0(a)≥0,E0(a)≥0,I0(a)≥0,R0(a)≥0,S0(a)+E0(a)+I0(a)+R0(a)=P∞(a).則有

由(2.3)得

對系統(2.1) 作歸一化處理

則系統(2.1) 轉化為

及邊界條件

3.無病平衡點及其穩(wěn)定性

系統(2.4) 及其邊界條件的平衡解滿足

易得(3.1)的無病平衡點E0(1,0,0,0).為討論其穩(wěn)定性,將系統(2.4)在E0處線性化,考慮如下形式的指數解

省略高階項得

其中

為常數.由(3.2)第二個方程得

代入(3.2)第三個方程得

把(3.4)代入(3.3),兩邊同除以V0(其中V0≠0) 可得特征方程為

4.地方病平衡點的存在性和穩(wěn)定性

其中N是總人口,β+=max{sup[0,+∞)β(a)}.

定理4.2若條件(4.9)滿足,則

1)T(λ)關于λ遞減且當λ →+∞時趨近于0;

2)T(0)<1.

證1) 若條件(4.9)滿足,則(4.8)式兩個中括號內的式子都大于零,進而可得T(λ)≥0,關于指數λ遞減且當λ →+∞時T →0.

2) 令λ=0得

由(4.4)可以看出上式第一項積分等于1.因此,T(0)<1.證畢.

定理4.2及(4.8)說明方程T(λ)=1,也就是(4.7)有唯一的負實根且所有的復根實部都小于這個實根.因此有

定理4.3假設(4.9)成立,則系統(2.4)的地方病平衡點局部漸近穩(wěn)定.

5.討論