劉思佳,胡林敏,劉朝彩

(燕山大學(xué)理學(xué)院,河北 秦皇島066004)

1.引言

對(duì)于工程系統(tǒng)來(lái)說(shuō),維持較高的可靠性是至關(guān)重要的.表決系統(tǒng)作為典型的冗余系統(tǒng),能夠提高系統(tǒng)的可靠度和可用度,因此被廣泛應(yīng)用于各種實(shí)際工程中.一些對(duì)表決系統(tǒng)經(jīng)典模型及擴(kuò)展模型的研究可見(jiàn)文[1-3].這些文獻(xiàn)都假定部件只有正常和失效兩種狀態(tài),但很多實(shí)際情況中,部件可能不止一種失效模式.例如,電子線路中就有開(kāi)路失效和短路失效兩類失效模式.對(duì)于具有多類失效模式的表決系統(tǒng)的研究還較少.Ben-Dov[4]研究了部件(例如開(kāi)關(guān)和電磁繼電器)具有打開(kāi)失效和關(guān)閉失效兩類失效模式的k/n(G)系統(tǒng).Moustafa[5?6]分別研究了具有兩類失效模式和多類失效模式的表決系統(tǒng)可靠性.TANG等[7]對(duì)基于微馬爾可夫模型的多類失效模式k/n(G)系統(tǒng)的不可用性進(jìn)行了分析.

重試排隊(duì)系統(tǒng)以其在實(shí)際問(wèn)題中的廣泛應(yīng)用得到大量學(xué)者的關(guān)注[8?10].在系統(tǒng)可靠性分析中,重試系統(tǒng)指系統(tǒng)內(nèi)部沒(méi)有失效部件的等待空間,如果部件失效時(shí),修理工正在忙或者休假,則失效部件進(jìn)入重試空間,一段時(shí)間后再進(jìn)行嘗試,直到得到修理.Krishnamoorthy和Ushakumari[11]分別對(duì)三種不同情況的k/n(G)重試系統(tǒng)進(jìn)行了研究,得到了相應(yīng)的可靠度函數(shù).KE等[12]研究了具有溫貯備部件的表決可修重試系統(tǒng),給出了計(jì)算系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度的有效算法.KUO等[13]考慮了具有混合貯備部件的表決可修重試系統(tǒng),得到了系統(tǒng)平均壽命和穩(wěn)態(tài)可用度的具體表達(dá)式.最近,YANG和Tsao[14]對(duì)修理工可工作休假的k/n(G)重試系統(tǒng)可靠性進(jìn)行了分析,利用矩陣分析法和拉普拉斯變換等方法得到了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度和平均壽命.

在可修系統(tǒng)中,修理工由于各種各樣的原因需要休假.很多文獻(xiàn)都假設(shè)只有修理完系統(tǒng)中的失效部件,修理工才去休假.但大多數(shù)情況下,即使系統(tǒng)中還有失效部件,修理工也會(huì)進(jìn)行休假,典型的此類休假有Bernoulli休假.涉及到可靠性指標(biāo)的具有Bernoulli休假的重試排隊(duì)系統(tǒng)可見(jiàn)文[15-17],但在系統(tǒng)可靠性分析中,還沒(méi)有文獻(xiàn)對(duì)具有Bernoulli休假及多類失效模式的重試系統(tǒng)模型進(jìn)行研究.本文考慮部件具有兩類失效模式的表決重試系統(tǒng),且修理工進(jìn)行Bernoulli休假.首先,提出假設(shè),構(gòu)建模型;然后,通過(guò)對(duì)系統(tǒng)的整體分析,求得穩(wěn)態(tài)可用度、可靠度函數(shù)和系統(tǒng)首次故障前平均壽命等可靠性指標(biāo);最后,通過(guò)數(shù)值例子分析系統(tǒng)參數(shù)的變化對(duì)可靠性指標(biāo)的影響.

2.模型假定

本文對(duì)研究的系統(tǒng)模型作如下假定：

1) 系統(tǒng)由n個(gè)同型部件和一個(gè)修理工組成,當(dāng)n個(gè)部件中有k個(gè)或k個(gè)以上部件正常工作時(shí),系統(tǒng)正常工作,即當(dāng)失效的部件數(shù)大于或等于L=n?k+1時(shí),系統(tǒng)失效.特別地,本文僅研究n=5,k=4時(shí)的表決系統(tǒng),此時(shí)L=2.

2)每個(gè)部件有兩類失效模式,記為類型a失效和類型b失效,失效概率分別為p和q,且p+q=1,p >0,q >0.所有部件的壽命均服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布.修理工修理部件類型a失效的時(shí)間服從參數(shù)為μa的指數(shù)分布,修理部件類型b失效的時(shí)間服從參數(shù)為μb的指數(shù)分布,部件修復(fù)如新.

3) 修理工進(jìn)行Bernoulli休假,當(dāng)修理完一個(gè)部件后,修理工或者以概率h進(jìn)行休假,或者以概率ˉh在系統(tǒng)中保持空閑,且h+ˉh=1,h>0,ˉh>0.休假時(shí)間服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布.

4) 系統(tǒng)中沒(méi)有等待空間,當(dāng)部件失效時(shí),如果修理工空閑,則立即修理失效部件;如果修理工正忙或正在休假,則失效部件進(jìn)入重試空間,一段時(shí)間后進(jìn)行重試,直到得到修理.部件的重試時(shí)間服從參數(shù)為γ的指數(shù)分布.

5) 所有隨機(jī)變量均相互獨(dú)立.

6) 初始時(shí)刻所有部件都是新的,系統(tǒng)開(kāi)始工作,修理工空閑.

3.模型分析

令M(t) =m表示時(shí)刻t重試空間中的部件數(shù),m=0,1,2;I(m) =i表示m個(gè)部件的組合序列數(shù),i=1,2,...,2m;xmi表示m個(gè)部件的失效類型組合的所有可能情況,x01=0,x11=a,x12=b,x21=aa,x22=ba,x23=ab,x24=bb;J(t)表示時(shí)刻t修理工的狀態(tài)：

則{J(t),M(t),I(m),t ≥0,m ≥0}構(gòu)成一個(gè)向量馬爾可夫過(guò)程,系統(tǒng)在時(shí)刻t的狀態(tài)概率定義如下：

P0,mxmi(t)=P{J(t)=0,M(t)=m,I(m)=i},m=0,1,2;i=1,2,...,2m,

P1a,mxmi(t)=P{J(t)=1a,M(t)=m,I(m)=i},m=0,1;i=1,2,...,2m,

P1b,mxmi(t)=P{J(t)=1b,M(t)=m,I(m)=i},m=0,1;i=1,2,...,2m,

P2,mxmi(t)=P{J(t)=2,M(t)=m,I(m)=i},m=0,1,2;i=1,2,...,2m.

記λm=(n?m)λ,0≤m ≤L;γm=mγ,1≤m ≤L.進(jìn)一步可得系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖3.1所示.在圖3.1中,方框內(nèi)的狀態(tài)為系統(tǒng)的失效狀態(tài).

圖3.1 系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

4.系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度

其中,

定理4.1系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度為

證方程(4.1)-(4.11)可以寫(xiě)成矩陣形式

矩陣Q的各分塊矩陣表示如下：

用正則條件

替換掉(4.13)式中的任何一個(gè)等式,則可由克萊姆法則計(jì)算得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率：Pj,mxmi(j=0,1a,1b,2;m=0,1,2;i=1,2,...,2m),從而得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度為

當(dāng)λ=0.1,γ=0.5,θ=0.5,h=0.5,μa=2.0,μb=3.0,p=0.5時(shí),由MATLAB軟件計(jì)算得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度的數(shù)值解為

5.系統(tǒng)首次故障前平均壽命

令所有系統(tǒng)故障狀態(tài)為馬爾可夫過(guò)程吸收態(tài)，可得系統(tǒng)狀態(tài)概率拉普拉斯變換方程組為

A(s)=A+sI,I為單位矩陣,

矩陣A的各分塊矩陣表示如下：

當(dāng)λ=0.1,γ=0.5,θ=0.5,h=0.5,μa=2.0,μb=3.0,p=0.5時(shí),由MATLAB軟件計(jì)算得到系統(tǒng)首次故障前平均壽命的數(shù)值解為

6.數(shù)值例子

本節(jié)主要考慮系統(tǒng)參數(shù)λ,γ,θ,h,μa,μb,p的變化對(duì)穩(wěn)態(tài)可用度AT(∞)和系統(tǒng)首次故障前平均壽命MTTFF的影響.令λ=0.1,γ=0.5,θ=0.5,h=0.5,μa=2.0,μb=3.0,p=0.5,再分別改變以上各參數(shù)的值進(jìn)行分析,所得結(jié)果如圖5.1-5.4和表5.1-5.4所示.正如我們所期望的,AT(∞)和MTTFF的值隨λ的增大而減小,隨μa或μb的增大而增大.從圖5.1和表5.1可看出,AT(∞)和MTTFF的變化與γ的變化成正相關(guān),說(shuō)明失效部件越快得到修理,系統(tǒng)的可靠性越高.另外,圖5.2和表5.2顯示AT(∞)和MTTFF的值隨θ的增大而增大,隨h的增大而減小,這種情況可以解釋為雖然休假對(duì)于修理工來(lái)說(shuō)是必不可少的,但是休假時(shí)間越少,系統(tǒng)可靠性越高.特別的,從圖5.3、5.4和表5.3、5.4中可以看出,當(dāng)μa <μb時(shí),AT(∞)和MTTFF隨p的增大而減小;當(dāng)μa >μb時(shí),AT(∞)和MTTFF隨p的增大而增大;當(dāng)μa=μb時(shí),AT(∞)和MTTFF的值不隨p的改變而改變.這說(shuō)明系統(tǒng)的可靠性很大程度上依賴于修理工的修理效率.因此,可以通過(guò)適當(dāng)提高部件的重試效率、增大修理工的修理效率、減少修理工的休息時(shí)間等方法來(lái)提高系統(tǒng)的可靠性,同時(shí)也要兼顧系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)成本.

圖5.1 不同參數(shù)λ和γ下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度變化曲線

圖5.2 不同參數(shù)θ和h下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度變化曲線

表5.1 不同參數(shù)λ和γ下系統(tǒng)首次故障前平均壽命變化值

表5.2 不同參數(shù)θ和h下系統(tǒng)首次故障前平均壽命變化值

圖5.3 不同參數(shù)μa和p下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度變化曲線

圖5.4 不同參數(shù)μb和p下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度變化曲線

表5.3 不同參數(shù)μa和p下系統(tǒng)首次故障前平均壽命變化值

表5.4 不同參數(shù)μb和p下系統(tǒng)首次故障前平均壽命變化值

7.結(jié)論

本文研究了部件具有兩類失效模式且修理工Bernoulli休假的k/n(G)(k=4,n=5)重試系統(tǒng),得到了一些重要的可靠性指標(biāo),分析了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)可靠性指標(biāo)的影響,為設(shè)備的管理與維護(hù)提供了理論依據(jù).在今后的研究中,我們將進(jìn)一步推廣該模型: 1)考慮一般的具有兩類失效模式和休假的k/n(G)重試系統(tǒng);2)考慮修理工休假時(shí)間服從一般分布的k/n(G)重試系統(tǒng).